第03讲：等差数列的前n项和公式【9大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第03讲：等差数列的前n项和公式 【考点梳理】 考点一：等差数列前n项和的基本量计算 考点二：等差数列片段和的性质 考点三：等差数列前n项和与n的比值问题 考点四：两个等差数列前n项和的比值问题 考点五：等差数列前n项和的最值问题 考点六：等差数列前n项和偶数项和奇数项 考点七：等差数列前n项和绝对值问题 考点八：等差数列的简单应用 考点九:等差数列求和的综合 【知识梳理】 知识点一：等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知识点二：等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 知识点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【题型归纳】 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 【答案】(1)110(2)，(3)14 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式以及求和公式求得，进而可得结果； （2）根据等差数列求和公式求得，进而可得结果； （3）根据等差数列性质可得，再结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）因为， 整理得，解得或（舍去）， 所以． （3）因为，， 可得，即． 又因为，所以． 2．（2023高二上·江苏·专题练习）在等差数列中， (1)已知，，，求和； (2)已知，，求； (3)已知，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出，再由通项公式求出； （2）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，再由求和公式计算可得 （3）利用等差数列前项和公式及下标和性质求出，从而得到，最后由求和公式计算可得. 【详解】（1）由题意得，解得． 又，∴，∴，． （2）设等差数列的公差为， ，， ，解得， 则． （3）， ， ， ． 3．（22-23高二下·全国）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以 （2）因为，所以， 又因为，所以 （3）方法一：由，即， 所以 方法二：由，得， 所以 题型二：等差数列片段和的性质 4．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 【答案】C 【分析】由等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】等差数列的前项和中，也成等差数列， 即成等差数列，． 故选：C． 6．（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得. 【详解】因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 于是，代入，，解得：， 又,代入上述值，解得：. 故选：D. 题型三：等差数列前n项和与n的比值问题 7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 8．（23-24高三上·四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 【答案】C 【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案. 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 9．（2022·贵州毕节·模拟预测）等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒ 【详解】设的公差为d， ∵ ∴， 即{}为等差数列，公差为， 由知， 故﹒ 故选：A﹒ 题型四：两个等差数列前n项和的比值问题 10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 11．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 12．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 题型五：等差数列前n项和的最值问题 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先判断是等差数列，由题设条件求出首项和公差，代入的表达式，配方化简,即可求出取得最小值时的值. 【详解】由可知，数列是等差数列，公差， 由，解得． 则 故当取得最小值时，的值是6． 故选：A． 14．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 15．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解. 【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为. 故选：C. 题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项 16．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】 设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 17．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 18．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求，； (2)设，求数列的前8项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，将原式化简得，当时，求得，当时，由和的关系得出，由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，最后根据等差数列的通项公式和前项和公式求出，； （2）根据题意，化简得，从而得出，代入计算即可得出结果. 【详解】（1）解：由原式可得：， 当时，； 当时，， 两式作差可得：， 所以， 又因为，则，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴，； （2）解：， 即， 所以 ， 即数列的前8项和. 题型七：等差数列前n项和绝对值问题 19．（24-25高二上·江苏盐城）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 20．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求出的通项公式，可求得，再由与的关系求出； （2）由的通项公式，知，分和讨论，并利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时， ， . 21．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，210； (2)212. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合性质求出公差及首项即可得解. （2）由（1）求出数列的通项公式，判断项的正负，再结合（1）的结论求解即得. 【详解】（1）等差数列的前项和为，由，得，解得， 由，得，解得，则，公差， 因此，对称轴为，因为，则当或时，， 所以，的最大值为210. （2）由（1）知，，则， 所以 . 题型八：等差数列的简单应用 22．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C 23．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 【答案】A 【分析】根据题意建立数列模型，由等差数列定义可求得首项和公差，即可求出结果. 【详解】设从下至上各节的容积分别为， 由题意知为等差数列，公差为， 因为，即， 解得 所以． 故选：A 24．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列， 可得， 所以，则. 故选：C. 题型九:等差数列求和的综合 25．（24-25高二上·全国）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到所以是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：由，可得，且， 所以是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，解得． （2）解：由（1）知， 当时，， 又由符合上式，故， 则， 所以是首项为2，公差为4的等差数列． 26．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 27．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若数列的前项和为，求． (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及的定义即可求解； （2）由等差数列前n项和基本量的计算结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）由，得，解得， 则，又， 有，即，解得或（舍去）， 所以. （ⅱ），则， 则 . （2）若为等差数列，则有，即， 得，即，解得或， 由，则， 又，，由等差数列性质知，， 即，得， 即，解得或（舍去）， 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 时，，，符合题意， 所以等差数列的公差. 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高三上·湖南）已知等差数列的前项和为，若，且，则（   ） A．60 B．72 C．120 D．144 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：B 29．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（   ） A． B．30 C．80 D．不存在 【答案】B 【分析】根据题意分析的符号性，进而可得前项和的最值. 【详解】由题意可知：，且数列为递减数列， 当时，；当时，；当时，； 所以数列的前项和的最大项数为5或6，最大值为. 故选：B. 30．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解即可. 【详解】解：因为，即， 所以． 故选：A. 31．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 【答案】A 【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 故选:A. 32．（24-25高二上·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 【答案】D 【分析】设等差数列，公差为，根据条件列出关于的方程组，求出可得答案. 【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有， 解得，则. 故选：D. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【分析】应用等差数列和的公式计算得出，再结合基本量运算得出通项，根据数列正负值及得出和的最大值. 【详解】，则， 由于，所以， 则等差数列是首项为正的单调递减数列， 令，解得， 所以当或6时，取得最大值． 故选：C. 34．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （    ） A．2021 B．-2022 C．2024 D．-2023 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式，由，求出，利用等差数列求和公式即可求解． 【详解】在等差数列中，，其前项和为， ， ，解得， 则． 故选：C． 35．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式可求得公差，结合通项和求和公式可知AB正误；利用的二次函数性可确定CD正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得：； 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 当或时，，C正确； 对于D，由得：， 又，满足的的最大值为，D错误. 故选：D. 36．（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和分段和的性质计算即可求值. 【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴， ∴，∴． 故选:C. 37．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及与之间的关系，利用等差数列的前项和公式，结合一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由整理得，． 又为等差数列，则， 故．对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C． 二、多选题 38．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】当时，，可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确；由可得选项C正确；根据等差数列的性质求和可得选项D正确. 【详解】A.当时，， 当时，， 故，选项A错误. B.由得，，故，选项B正确. C. ∵， ∴是单调递增数列，选项C正确. D. 由得，, 故，选项D正确. 故选：BCD. 39．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知题意，探索的递推规律，由规律得通项，由此判断各选项. 【详解】由题意得，，，，，，故B正确； 而，，，，故C正确； 则，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD. 40．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确； 【详解】因为，， 所以数列是公差为，首项是20的等差数列， 即， 对于A，，所以4是数列中的项，故A正确； 对于B，令，即，前五项大于零， 所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误； 对于C，， 所以，， ， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确； 故选：ACD. 41．（23-24高二下·山东青岛·期中）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的性质，对于A，，计算即可；对于B，由已知计算数列公差，再求值即可； 对于C，结合数列单调性比大小；对于D，由，，得. 【详解】等差数列中，，设公差为， 若，则，A正确； 若，，则，得， ，B正确； 若，，所以公差， 当时，有，则有， 当时，有，得， 所以，则有，C错误； 若，则， 因为，所以，D正确． 故选：ABD． 42．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．数列为等差数列 D．数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】根据即可求解A，根据，故的奇数项和偶数项分别成等差数列，求得对任意的，，故为等差数列即可判断BC，利用裂项相消法求和即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，，即，则，A正确， 对于BC，由可得， 相减可得，即， 由于则， 故的奇数项和偶数项分别成等差数列， 又，， 故， 因此对任意的，， 故为等差数列，且公差为2，故B错误，C正确， 对于D，由于， 故的前项和为，D正确， 故选：ACD. 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据下标和性质求出，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 44．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 45．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故答案为：2 46．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 . 【答案】100 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100 47．（24-25高二上·甘肃·期中）已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为 . 【答案】2025 【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再利用及的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是以首项为4，公差为2的等差数列， 故， 由累加法可知当时， ， 所以，，又也符合该式，所以. 所以， 又时，， 又时，，此时， 所以的前2024项和为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：构造数列并求通项公式，再由累加法求的通项公式，结合函数新定义求目标式的值. 四、解答题 48．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)-57 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得， （2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值 【详解】（1）设数列的公差为d， 则，解得，所以. （2）令，解得，所以当时，. 故当时，取到最小值，为. 49．（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足为数列的前n项和，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列定义根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式； （2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由可得， 解得， 所以； 因此的通项公式为， （2）由（1）可得； 所以， 因此数列的前n项和; 即可得. 50．（23-24高二下·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、求即可. 【详解】（1）时，， 时，， 又， 所以； （2）由（1）， 当时，， 当时， ， . 51．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知递增等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解得，即，从而求解通项公式. （2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可. 【详解】（1）设递增等差数列的公差为d，则， 因为，所以， 即， 因为，，所以，所以，所以， 故数列的通项公式为. （2）解法一： . 解法二： . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：等差数列的前n项和公式 【考点梳理】 考点一：等差数列前n项和的基本量计算 考点二：等差数列片段和的性质 考点三：等差数列前n项和与n的比值问题 考点四：两个等差数列前n项和的比值问题 考点五：等差数列前n项和的最值问题 考点六：等差数列前n项和偶数项和奇数项 考点七：等差数列前n项和绝对值问题 考点八：等差数列的简单应用 考点九:等差数列求和的综合 【知识梳理】 知识点一：等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知识点二：等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 知识点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【题型归纳】 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求及； (3)已知，，，求项数. 2．（2023高二上·江苏）在等差数列中， (1)已知，，，求和； (2)已知，，求； (3)已知，，，求． 3．（22-23高二下·全国）等差数列的公差为，数列的前项和为． (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 题型二：等差数列片段和的性质 4．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 5．（24-25高二上·全国）已知等差数列的前项和为30，前项和为90，则它的前项和为（    ） A．130 B．150 C．180 D．210 6．（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 题型三：等差数列前n项和与n的比值问题 7．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·四川眉山）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 9．（2022·贵州毕节·模拟预测）等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D． 题型四：两个等差数列前n项和的比值问题 10．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：等差数列前n项和的最值问题 13．（24-25高二上·全国）已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 15．（23-24高二上·河南周口）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项 16．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 17．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 18．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求，； (2)设，求数列的前8项和. 题型七：等差数列前n项和绝对值问题 19．（24-25高二上·江苏盐城）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 20．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 21．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 题型八：等差数列的简单应用 22．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 23．（24-25高二上·全国·随堂练习）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（    ） A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升 24．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 题型九:等差数列求和的综合 25．（24-25高二上·全国）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 26．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 27．（24-25高二上·江苏镇江）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若数列的前项和为，求． (2)若为等差数列，且，求． 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高三上·湖南）已知等差数列的前项和为，若，且，则（   ） A．60 B．72 C．120 D．144 29．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（   ） A． B．30 C．80 D．不存在 30．（24-25高三上·辽宁）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且，则的值为（    ） A．300 B． C．210 D． 32．（24-25高二上·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 33．（24-25高二上·全国）已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 34．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知等差数列{ an}中， 其前n项和为 Sn，若 则 （    ） A．2021 B．-2022 C．2024 D．-2023 35．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）在等差数列中，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．满足的的最大值为 36．（24-25高二上·全国·课后作业）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 37．（24-25高三上·全国·单元测试）已知等差数列的前项和为，且对任意的，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 38．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 39．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的前项和为，若，则（    ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 41．（23-24高二下·山东青岛·期中）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 42．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．数列为等差数列 D．数列的前项和为 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 44．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 45．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 46．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 . 47．（24-25高二上·甘肃·期中）已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为 . 四、解答题 48．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 49．（2024·四川泸州·二模）已知等差数列的前n项和为． (1)求的通项公式； (2)数列满足为数列的前n项和，求的值. 50．（23-24高二下·辽宁丹东）已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 51．（23-24高三上·湖南）已知递增等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$