4.2.2 等差数列的前n项和公式（七大题型）题型训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列前n项和 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（多选）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】AB 【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确. 【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确； 对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确； 对于C，取，可得，而，所以C错误； 对于D，取，可得，而，所以D错误. 故选：AB. 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 4．等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足.求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列下标的性质，等差中项和等差数列的求和公式列方程组可得，，再由基本量法可求； （2）由题设得即可分析计算求解. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以. （2）由（1）可得， 则， 当时，， 所以， 当时也符合，故. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 5．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 【答案】D 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：D. 6．（多选）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．若，则数列的前项和 【答案】ABD 【分析】根据等差中项的性质可判断A选项；根据等差中项的性质得出，结合A选项可得出的值，可判断B选项；求出数列的通项公式，结合等差数列前项和的最值可判断C选项；直接计算可判断D选项. 【详解】在等差数列中，有，所以，故A正确； 又因为，可得，所以，. 所以等差数列的公差，，故B正确. 当时，；当时，； 当时，，故当或时，取得最大值，故C错误， 因为，，所以. 则，故D正确. 故选：ABD. 7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】2025 【分析】设数列的公差为，利用等差数列的定义与求和公式推出数列为等差数列，根据题设条件求得，写出其通项公式，代值计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 由，得数列为等差数列，首项为，公差为， 由，则， 因此，所以. 故答案为：2025 8．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本量计算即可求解； （2）设，由（1）可得，则是以为首项，以1为公差的等差数列，进而，结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由， 所以，得， 故等差数列的通项公式为， （2）由（1）知，， 设，则，得， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 所以， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为，且， 所以当或14时，取到最小值-91. 题型三 含绝对值的等差数列前n项和 9．已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 10．（多选）在等差数列中，，，记数列的前n项和为，下列选项正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C．当取得最小值时， D．数列的前10项和为50 【答案】ABD 【分析】首先根据等差数列的通项公式求首项和公差，即可求通项和，再结合选项依次判断. 【详解】由条件可知，，解得：，，故A正确； 所以， 所以，，所以数列是递增数列，故B正确； 的对称轴为，所以当取得最小值时，，故C错误； 当时，，当时，，所以数列的前10项和为 ，故D正确. 故选：ABD 11．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 【答案】 【分析】先由解得，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由，即时，，时，， 所以 ． 故答案为：755. 12．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 题型四 等差数列奇数项或偶数项的和 13．已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 14．（多选）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 【答案】ABD 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即； ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即； 所以，A对， ，B对； ，C错； 为奇数时， ，D对. 故选：ABD 15．若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 16．已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1) (2) (3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【详解】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 题型五 由前n项和判断数列是否是等差数列 17．已知数列的前项和，则是（    ） A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】根据数列的第项与前项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，有， ，得， 当时，适合上式， 因为， 所以该数列是以2为公差的等差数列， 故选：A 18．（多选）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（    ） A．（，为常数，）； B．（为常数，）； C．； D．的前项和（）. 【答案】AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列． 【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确， B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误； C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确； D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误． 故选：AC 19．已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为 ． 【答案】7 【分析】先由与的关系推导出数列为等差数列，再代入等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程组求解k即可. 【详解】 ， 即， 又成等差数列， 即， 故数列是公差为1的等差数列， 则，解得，． 故答案为：7. 20．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，记，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系，即可证明是等差数列 （2）利用错位相减法求得，可以证明 【详解】（1））当时，，得， 当时，， 又，两式相减得，， 整理得， ∵，∴， ∴数列是首项为1，公差为的等差数列. （2）由（Ⅰ）可知，数列的通项公式为， 故， ∴①，②， ①－②得，， 故， ∴. 题型六 由Sn求通项公式 21．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 22．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 【答案】ABD 【分析】利用数列前项和公式求出数列的通项公式和数列的求和公式，进而判断各选项的结论． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，也成立， ，故A正确； ，令，解得， 当时，，， ，故B正确； ，为开口向下的二次函数，对称轴为， ，，均为最大值，故C错误； ， 数列是首项为公差的等差数列， 数列奇数项组成的新数列是首项为，公差为的等差数列，项数为， ，故D正确． 故选：． 23．已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 【答案】 【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 24．在数列中，为其前项和，． (1)若数列为等差数列，求； (2)若，求． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，两式相减可得，即可求得公差或，即可求得答案； （2）根据时，，可求得，将化为，即可求得答案. 【详解】（1）因为，故， 则， 设等差数列的公差为d，则，则或， 当时，由于，可知，故； 当时，，可知， 则； （2）当时，，所以，即， 当时， 即，而也适合， 故可化为， 即， 解得，结合，可得， 故. 题型七 等差数列片段和的性质及应用 25．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，设公差为， 所以，，， 所以数列，，是等差数列，公差为， 所以，解得， 故选：B 26．已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D． 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的通项公式和性质来求解判断即可. 【详解】因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 27．在一个等差数列中，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前和的片断和性质列式求解. 【详解】由等差数列前和的性质知，成等差数列， 即，，所以. 故答案为： 28．（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得； （2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出. 【详解】（1）∵为等差数列，∴，， ∴． （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 求等差数列前n项和 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．30 C．60 D．120 2．（多选）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 4．等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式. (2)若数列满足.求数列的通项公式. 题型二 等差数列前n项和的基本量计算 5．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 6．（多选）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．若，则数列的前项和 7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 8．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最小值． 题型三 含绝对值的等差数列前n项和 9．已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 10．（多选）在等差数列中，，，记数列的前n项和为，下列选项正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C．当取得最小值时， D．数列的前10项和为50 11．在等差数列中，，记，则数列的前30项和为 ． 12．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型四 等差数列奇数项或偶数项的和 13．已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 15．若等差数列的项数为，则 ． 16．已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 题型五 由前n项和判断数列是否是等差数列 17．已知数列的前项和，则是（    ） A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 18．（多选）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（    ） A．（，为常数，）； B．（为常数，）； C．； D．的前项和（）. 19．已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为 ． 20．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，记，证明：. 题型六 由Sn求通项公式 21．设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 22．（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 23．已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 24．在数列中，为其前项和，． (1)若数列为等差数列，求； (2)若，求． 题型七 等差数列片段和的性质及应用 25．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　） A． B． C． D． 26．已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是递减数列 C．当时， D． 27．在一个等差数列中，，则 ． 28．（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $