第05讲：等比数列的前n项和公式【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

第05讲：等比数列的前n项和公式 【考点梳理】 · 考点一：等比数列前n项和公式的基本运算 · 考点二：等比数列的片段和性质的应用 · 考点三：等比数列奇偶项和的性质 · 考点四：等比数列中前Sn和其他的性质 · 考点五：等比数列的简单应用 · 考点六：等比数列前n项和综合问题 【知识梳理】 知识点一：等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 知识点二：等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 知识点三：等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 【题型归纳】 题型一：等比数列前n项和公式的基本运算 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 2．（24-25高二上·全国）已知等比数列． (1)若，，求的值； (2)若，，求和的值． 3．（23-24高二上·上海）在等比数列中， (1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 题型二：等比数列的片段和性质的应用 4．（24-25高三上·云南昆明）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 5．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江西南昌）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型三：等比数列奇偶项和的性质 7．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（22-23高二上·全国）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 9．（20-21高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 题型四：等比数列中前Sn和其他的性质 10．（23-24高二上·河北邢台）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（    ） A．786 B．240 C．486 D．726 11．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 12．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：等比数列的简单应用 13．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 14．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 15．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 题型六：等比数列前n项和综合问题 16．（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 17．（24-25高二上·全国）在数列中，已知． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和． 18．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列是递增数列，且. (1)求数列的公比； (2)若数列的前项和为，且，求的最小值. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·全国）已知等比数列，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 20．（24-25高三上·全国·阶段练习）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（    ） A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 21．（24-25高二上·全国·课后作业）某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 23．（23-24高二下·湖南）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 24．（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 25．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 26．（23-24高二下·北京·期中）设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（2024·四川攀枝花·三模）若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 二、多选题 29．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若为等比数列，则一定成等比数列 C．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 D．若等比数列的前项和，则 30．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设为等比数列的前n项和，若，则的公比可取的值为（   ） A． B． C． D．2 31．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知公比为q的等比数列，，则（） A． B． C．若，则 D．若，记，则 32．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列的前n项和 33．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和与数列的前项和相等 D．数列的前项和为，则 三、填空题 34．（2024高二·全国）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 35．（24-25高二上·江苏苏州）记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 36．（24-25高二上·甘肃张掖）设等比数列的前项和为，则 . 37．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且，则使成立的的最小值为 ． 38．（24-25高二上·全国）已知数列满足定义使为整数的叫作“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为 ． 四、解答题 39．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 40．（24-25高二上·全国）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 41．（23-24高二下·全国·课堂例题）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 42．（24-25高二上·全国）烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园．将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推．假设第个图的樱花数是． (1)试写出樱花数所成数列的递推公式，并求出数列的通项公式； (2)求的前项和． 43．（24-25高二上·全国）设数列的前n项和为，，且数列是以为公比的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求． 44．（24-25高二上·全国）在数列中，前项和. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲：等比数列的前n项和公式 【考点梳理】 · 考点一：等比数列前n项和公式的基本运算 · 考点二：等比数列的片段和性质的应用 · 考点三：等比数列奇偶项和的性质 · 考点四：等比数列中前Sn和其他的性质 · 考点五：等比数列的简单应用 · 考点六：等比数列前n项和综合问题 【知识梳理】 知识点一：等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 知识点二：等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 知识点三：等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 【题型归纳】 题型一：等比数列前n项和公式的基本运算 1．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或． (3)50 【分析】（1）应用等比数列前项和公式，代入基本量运算即可； （2）应用等比数列前项和公式建立方程组求解基本量，再由通项公式可得； （3）由等比数列的定义可得，化奇数项和为偶数项和，整体求解可得. 【详解】（1）由已知， 则 ； （2）若，则，不符合题意，， ，且， 两式相除得， 解得或． 当时，；当时，， 或； （3），则，即， ， ， ． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列． (1)若，，求的值； (2)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：代入等比数列的前项和公式，即可求解；方法二：根据与的关系，即可求解； （2）根据等比数列的通项公式，列方程组即可求解. 【详解】（1）方法一  ∵，， ∴，即，∴． 方法二  ∵，且， ∴． （2）设等比数列的公比为， 由题意得，即 ∵，，∴得，，即， ∴，∴，． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）在等比数列中， (1)，，求； (2)，，求； (3)，，求； (4)，，求． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据等比数列前项和公式求解即可； （2）根据等比数列通项公式求解可得，再根据等比数列前项和公式求解即可； （3）根据代入化简求解即可； （4）根据等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1），，故 （2），又，故，故， （3）由，可得，即，解得或. （4），故，即 题型二：等比数列的片段和性质的应用 4．（24-25高三上·云南昆明）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 5．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 6．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由可求出，再由等比数列前项和的性质可求出的值. 【详解】由，得， 因为数列为等比数列，所以成等比数列， 所以， 所以，整理得，, 解得或， 因为等比数列的各项为正数，所以， 所以， 故选：D 题型三：等比数列奇偶项和的性质 7．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 8．（22-23高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 9．（20-21高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 题型四：等比数列中前Sn和其他的性质 10．（23-24高二上·河北邢台）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（    ） A．786 B．240 C．486 D．726 【答案】D 【分析】根据等比数列前n项和的性质可得，，，…成等比数列．结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】因为为等比数列，所以，，，…仍为等比数列． 设，因为，，所以6，，成等比数列． 由，解得或（舍去）， 所以数列，，…的公比为3． 因为，，， 所以，， 故，. 故选：D 11．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案. 【详解】法一：因为等比数列的公比为， 则，， 所以，解得. 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为， 所以，即，解得.. 故选：C 12．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定. 【详解】充分性：设等比数列的公比为， ，， ， 可得或， 又， 当时，若为奇数，， ，，当为奇数时单调增，则无最大值， 当时， ，,单调增, 则无最大值； 必要性：当时，，又，则无最大值. 可得“”不是“无最大值”的必要条件； 由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件. 故选：A. 题型五：等比数列的简单应用 13．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 【答案】A 【分析】由题意得感染人数形成等比数列，然后利用等比数列求和公式列不等式，结合指对互化解不等式即可求解. 【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列， 由，可得，两边取对数得， 所以，所以，故需要的天数约为. 故选：A 14．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（   ）万元.（参考数据：，） A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6 【答案】A 【分析】首先设每年应该存入万元，写出每年存入前到2027年底的本利和，再利用等比数列求和公式，即可求解. 【详解】设每年应该存入万元， 则2021年初存入的钱到2027年底本利和为， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为， ……， 2027年存入的钱到2027年底本利和为 则， 即，解得：. 故选：A 15．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（    ） A．3937万元 B．3837万元 C．3737万元 D．3637万元 【答案】A 【分析】根据配凑法、分组求和法求得正确答案. 【详解】设，，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 则 （万元）. 故选：A 题型六：等比数列前n项和综合问题 16．（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系式结合等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列求和公式以及累加法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以. 因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以，，，…，， 累加可得. 因为，所以. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，已知． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）因为数列中，， 可得，,所以， 因为，所以数列是首项为2，公比为的等比数列． （2）由（1），可得，所以， 所以数列的前项和． 18．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等比数列是递增数列，且. (1)求数列的公比； (2)若数列的前项和为，且，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)4 【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得，再结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据等比数列求和公式可得，结合题意运算求解即可. 【详解】（1）因为在等比数列中，，可得或， 且数列是递增数列，则 设等比数列的公比为， 可得，解得， 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可知：，，则， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 且，所以的最小值为4. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高二上·全国）已知等比数列，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式及基本量运算得出，再应用等比数列的通项化简求值. 【详解】由题， 得， 设等比数列的公比为，则， 即． 故选：B. 20．（24-25高三上·全国·阶段练习）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（    ） A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 【答案】D 【分析】根据等比数列通项公式求得或，再利用等比数的求和公式求解即可. 【详解】解：由等比数列的通项公式可得， 整理得， 解得或． 当1时，； 当时，． 所以的值为2或17． 故选：D． 21．（24-25高二上·全国·课后作业）某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列求和公式计算化简即可. 【详解】从今年起到第年，这个厂的总产值为， 故选：B. 22．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 23．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 24．（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解. 【详解】设公比为， 由成等差数列，得， 又数列为等比数列，所以得，解得， 所以， 令， 则， 所以数列递增数列， 所以当时，取得最小值1. 故选：D. 25．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）已知等比数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用求出数列的公比，进而求出通项公式，求出数列的前项和，然后利用放缩法和恒成立问题的应用求出的最大值，最后得到结果． 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，即， 因为，所以，解得，所以， 所以， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，所以. 故选：C. 26．（23-24高二下·北京·期中）设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列的求和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】为等比数列，设公比为， 当，数列不一定是递增数列， 如当，时，中的各项均为负数， ，是递减数列，充分性不成立； 当数列为递增数列时，不一定成立， 如当，时，，，，必要性不成立. “” 是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 27．（2024·四川攀枝花·三模）若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，求解可得，进而可求得，可求得数列的前4项的和的值. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，所以， 解得，所以， 所以，所以， 所以， 所以数列的前4项的和的值为. 故选：A. 28．（2024·北京顺义·二模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（    ） A．511 B．61 C．41 D．9 【答案】B 【分析】利用对数运算法则可求得，即可知数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果. 【详解】由可得， 即，所以，两式相除可得； 即， 由可得，因此数列的奇数项是以为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 故选：B 二、多选题 29．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若为等比数列，则一定成等比数列 C．若数列为等差数列，则数列也为等差数列 D．若等比数列的前项和，则 【答案】ABD 【分析】根据等比中项的性质可对A判断；利用等比数列求和公式即可对B判断；利用等差数列定义可对C判断；由等比数列定义及递推公式可对D判断. 【详解】A：当，或时，满足，但不成等比数列，故A符合题意； B：当时，为等比数列，，， ，不满足则成等比数列，故B符合题意； C：设，则，， 所以，所以数列也为等差数列，故C不符合题意； D：当时，，当时，， 因为数列为等比数列，所以当时，，则，故D符合题意； 故选：ABD. 30．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设为等比数列的前n项和，若，则的公比可取的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【分析】由判断，然后分，，讨论即可得解. 【详解】因为，所以. 当时，，显然不满足； 当时，有，此时，不符合题意； 当时，， 又，所以，解得. 故选：AB 31．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知公比为q的等比数列，，则（） A． B． C．若，则 D．若，记，则 【答案】CD 【分析】根据等比数列的基本量计算即可判断. 【详解】对于选项因为,所以错误； 对于选项,当首项,公比时，满足题意， 但此时,错误; 对于选项,由,得,正确; 对于选项,, 又,得正确. 故选:. 32．（23-24高二下·安徽合肥·期末）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列的前n项和 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的定义即可求解A，由公比和首项写出等比数列的通项即可求解B，根据分组求和，裂项相消法求和即可求解CD. 【详解】对于AB，由可得又， 故为等比数列，且首项为2，公比为2， 则，故，AB正确， 对于C，数列的前n项和，故C错误， 对于D，， 故 ，D正确. 故选：ABD 33．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和与数列的前项和相等 D．数列的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】由递推关系可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而可得，再结合等比数列的求和公式，即可判断ABC，再由裂项相消法代入计算，即可判断D 【详解】由可得，且， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，即， 则，所以，故A正确； 因为，由等比数列的求和公式可得该数列的前项和为，故B错误； 因为，，这两个数列的通项公式相同， 则其前项和相等，故C正确； 因为，则， 则其前项和 ， 且当时，取得最小值为，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 34．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 35．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【详解】设公比为，由题意得， 即， 所以，故， 解得. 故答案为：. 36．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）设等比数列的前项和为，则 . 【答案】1 【分析】利用等比数列的通项公式和性质可知为等比数列，由此列式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由可知， 因为，， 所以，且，解得， 故答案为：1 37．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且，则使成立的的最小值为 ． 【答案】3 【分析】在等式左右同时取对数，设数列，构造等比数列求出，再求出，代入计算得出n的最小值. 【详解】因为，所以，则，即， 令，则，则， 所以，则数列是以为首项，5为公比的等比数列，所以， 即， 则， 则， 即， 由于当时，， 当时，， 当时，，所以的最小值为3． 故答案为：3. 38．（24-25高二上·全国·随堂练习）已知数列满足定义使为整数的叫作“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为 ． 【答案】2036 【分析】根据“幸福数”的定义及对数的运算性质可得“幸福数”需满足的关系，由此确定区间内的“幸福数”，再利用分组求和法，结合等比数列求和公式求结论. 【详解】当时，， 所以， 当时，也满足上式． 设，， 则，即， 令，可得，， 所以在内的所有“幸福数”的和为． 故答案为：. 四、解答题 39．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2），利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【详解】（1）根据为等差数列，设公差为. ，即①， ，，成等比数列 ∴，②， 由①②解得：， 数列的通项公式为. （2）由， 数列的前n项和 . 40．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式构造应用等差数列定义证明即可； （2）应用错位相减得出数列的和 【详解】（1）由题得，则数列是以为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）可得， 所以， 则①， ①得，②， ①-②得，， 故． 41．（23-24高二下·全国·课堂例题）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元． (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式； (2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 【答案】(1)， (2)乙超市在第7年将被收购 【分析】（1）根据求甲超市第年销售额的表达式，利用累加法求乙超市第年销售额的表达式； （2）利用（1）中得表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 【详解】（1）设甲超市前年总销售额为，第年销售额为， 则， 因为时，， 则时，， 故； 设乙超市第年销售额为，则， 时，， ， 显然时也符合， 所以. （2）当时，，，有； 当时，，，有； 当时，，，故乙超市有可能被收购， 当，令，则， 整理得， 又当时，，故当且时，必有， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购. 42．（24-25高二上·全国·课后作业）烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园．将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推．假设第个图的樱花数是． (1)试写出樱花数所成数列的递推公式，并求出数列的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据已知得出递推公式再应用累加法得出通项公式即可； （2）应用分组求和结合等比数列求和公式计算. 【详解】（1）由题得数列的递推公式为， 则 ， ，又符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）， 即． 43．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的前n项和为，，且数列是以为公比的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解； （2）分和两种情况，结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，且数列是以为公比的等比数列， ①当时，则， 因为，可得； ②当时，则， 因为，可得； 且符合上式，综上所述：. （2）①当时，由（1）可知：， 所以； ②当时，由（1）可知：， 则， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 且符合上式，综上所述：. 44．（24-25高二上·全国·单元测试）在数列中，前项和. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据的关系以及等比数列的定义求解即可； （2）直接根据等比数列的定义即可写出通项公式； （3）直接由等比数列求和公式运算即可. 【详解】（1）因为，① ，② 由①-②得， 所以. 当时，， 所以. 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）因为，， 所以. （3）因为在数列中，， 公比， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 当时，是首项为，公比为的等比数列， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$