精品解析：江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学 2024.11 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知空间向量、 ，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 在平面直角坐标系xOy中，设，点P满足，动点Q满足，当时，点P的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不选或错选不得分．） 9. 已知直线被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则（ ） A. 圆O的方程是 B. 直线与圆相离 C. 过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值是 D. 已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是2 10. 已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为为椭圆上一点（异于左，右顶点），且面积的最大值为，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的焦距为1 B. 椭圆C的短轴长为 C. 的周长为6 D. 椭圆C上存在4个点P，使得 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 向量与的夹角是 C. D. 直线与AC所成角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________. 13. 已知圆 ，圆，.如果这两个圆相切，则实数a的值是_________ 14. 在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为______ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知三棱柱为直三棱柱，为AC的中点. （1）证明：平面 （2）若，求直线所成角的余弦值. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点. （1）若与相交于点P，求直线AP的方程； （2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程. 17. 已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 18. 在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点. （1）求证：. （2）求PC与平面PAB所成角的正弦值. （3）在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 （1）若过点的直线与圆C相切，求切线的方程； （2）点P在直线上，过P作圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，问经过P，M，N的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标； （3）过点的动直线l与圆C交于E，F两点，线段EF的中点为G，若构成等腰三角形，求此时点G的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学 2024.11 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程； 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率， 因此，其直线方程为，即 故选：B 2. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 3. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以， 又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即. 故选：D 4. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，圆心为，半径为，且圆心到直线的距离，而，即，也即，解得. 点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的弦长公式.直线和圆相交所得弦长公式为，先将圆心和半径求出来，然后利用圆心到直线的距离公式求出，这个是含有参数的，将代入题目所给弦长不小于这个不等式，解这个不等式即可求得的取值范围. 5. 已知空间向量、 ，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求出结果. 【详解】向量、 ，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪．木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E．已知，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据已知结合图形，得出a，b，然后求出c，由椭圆的离心率公式求得答案． 【详解】由题意知与的长度不变， 已知，设，则， 当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长， 又由已知可得，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长． 所以， 故椭圆E的离心率为． 故选：B． 7. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在直线的方程．由题意知圆的圆心在直线上，可得，再利用二次函数的性质可求最小值． 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系xOy中，设，点P满足，动点Q满足，当时，点P的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设，，点的轨迹是，由得点的轨迹，由得，联立计算即可求解. 【详解】由题意，，设， 则，化简得， 所以点的轨迹是以圆心为，半径为的圆， 设，由， 得，化简得， 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 由，得，代入， 得，联立， 解得，即点的纵坐标为. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不选或错选不得分．） 9. 已知直线被圆心在坐标原点的圆O所截得的弦长为2，则（ ） A. 圆O的方程是 B. 直线与圆相离 C. 过点的直线被圆所截得的弦的长度的最小值是 D. 已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是2 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，结合弦长，半径和弦心距的关系计算即可求；对于B，计算弦心距，与半径比较即可；对于C，根据垂径定理得弦的最小值是，计算即可；对于D，数形结合即可知四边形的面积，计算即可. 【详解】对于A，设圆的方程为， 因为直线与圆相交所得的弦长为2， 且圆心到直线的距离 所以 所以圆的方程为故A正确； 对于B，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，因为圆的圆心是，半径，且， 可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故C正确； 对于D，因为四边形的面积， 如图，由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积的最小值为故D错误. 故选：ABC 10. 已知椭圆C：的离心率为，左，右焦点分别为为椭圆上一点（异于左，右顶点），且面积的最大值为，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的焦距为1 B. 椭圆C的短轴长为 C. 的周长为6 D. 椭圆C上存在4个点P，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意分析可得当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，进而结合离心率即可求得即可判断AB；结合椭圆定义求出的周长即可判断C；假设椭圆C上存在点P使得，设，，根据椭圆定义和余弦定理求出即可判断D. 【详解】由题意，当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大， 此时， 结合，解得，，， 则椭圆C的焦距为，故A错误； 椭圆C的短轴长为，故B正确； 的周长为，故C正确； 假设椭圆C上存在点P，使得，设，， 则，， 解得，即为椭圆上顶点或下顶点时，满足题意，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 向量与的夹角是 C. D. 直线与AC所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断. 【详解】对于A，由于四边形是菱形，所以， ， 所以，即，由于，平面， 所以平面，故A正确. 对于B，， 所以， ， 则， 所以向量与的夹角是，所以选项B错误； 对于C，由题意可知， 则 ， 所以，故C正确； 对于D，设与所成角的平面角为， 因为， 所以 ， ， ， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，熟练掌握空间向量法的线性运算与数量积运算，从而得解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可. 【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则， 直线方程为，即， 当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：. 故答案为或． 【点睛】本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 已知圆 ，圆，.如果这两个圆相切，则实数a的值是_________ 【答案】0或 【解析】 【分析】两个圆相切，则两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论. 【详解】圆，半径，圆，半径， 因为两个圆相切所以两个圆内切或外切， 两个圆内切时，，即，解得； 两个圆外切时，，即，解得； 所以实数a的值为0或． 故答案为：0或． 14. 在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令， 则，又点共线，于是，解得， 则，的面积， 由，得，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用平面向量求得，再借助阿氏圆求出最大距离是解题的关键. 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知三棱柱为直三棱柱，为AC的中点. （1）证明：平面 （2）若，求直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题意知，平面，又平面， 所以，又，故建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，故，即，又平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可证明； （2）由（1），利用空间向量法求解线线角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由（1）得， 所以， 故， 即直线所成角的余弦值为. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知两直线和，定点. （1）若与相交于点P，求直线AP的方程； （2）若恰好是△ABC的角平分线BD所在的直线，是中线CM所在的直线，求△ABC的边BC所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线的方程； （2）根据题意，设，则，利用点在直线上，得，，再利用到角公式得，即可得到的直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，即两直线的交点， 所以，直线的斜率，故直线的方程为：. （2）设点B的坐标为，则点，又点在直线上， 即，解得，故， 所以， 直线的斜率，由到角公式得，， 即，解得， 所以BC所在直线方程为，化简得. 【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题. 17. 已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）；或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由已知，得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 由题可设. 将代入，消去，得. 当，即时，有. 所以 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为， 此时直线的方程为或. 18. 在三棱锥中，平面平面ABC，△为等腰直角三角形，，，，M为AB的中点. （1）求证：. （2）求PC与平面PAB所成角的正弦值. （3）在线段PB上是否存在点N，使得平面平面PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 若为中点，连接、，又M为AB的中点. ∴，由，则， 又△为等腰直角三角形，，易知：， 由，则面， ∵面，∴. （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论. （2）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，分别求PC与平面PAB的方向向量、法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求PC与平面PAB所成角的正弦值. （3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， ∴，则，，， 若为面PAB的一个法向量，则，令，即， ∴，则PC与平面PAB所成角的正弦值为. 【小问3详解】 若存在N使得平面平面PAB，且，， 由（2）知：，，则，， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，可得. ∴存在N使得平面平面PAB，此时. 19. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程 （1）若过点的直线与圆C相切，求切线的方程； （2）点P在直线上，过P作圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N，问经过P，M，N的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标； （3）过点的动直线l与圆C交于E，F两点，线段EF的中点为G，若构成等腰三角形，求此时点G的坐标. 【答案】（1）或 （2）过定点，定点为 （3） 【解析】 【分析】（1）易知当切线斜率不存在时符合题意；当切线斜率存在时，设直线方程，利用直线与圆的位置关系求出斜率即可； （2）由题意知过点的圆是以为直径的圆，设，表示得该圆的方程为，解方程组即可； （3）设，表示出，根据可得点的轨迹，分类讨论当，，时，建立对应的方程组，解之即可求解. 【小问1详解】 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设为，即， 又圆与切线相切，所以圆心到切线的距离为， 即，解得， 故切线方程为， 综上，符合题意的切线方程为或； 【小问2详解】 如图， 因为均为圆的切线，所以， 故过点的圆是以为直径的圆，设， 则线段的中点坐标为，， 所以过点的圆的方程为， 整理得， 令，消去，得，解得或， 当时，；当时，， 所以过点的圆过定点. 【小问3详解】 如图， 由题意知圆的圆心为，半径为2，， 设，则， 由，得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 又， 若，则，又点在圆上， 所以，解得或； 若，则，又点在圆上， 所以，解得； 若，则，又点在圆上， 所以，解得或. 综上，满足题意的点坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $