专题14 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题14 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。 2 模型1.“婆罗摩笈多”模型 2 51 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．    例2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点． 其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（2024七年级下·成都市·专题练习）已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点F． (1)如图1，当时①请直接写出与的数量关系： 　　（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证：(2)如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 例4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G．(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由． (3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长． 例5．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）问题提出：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究：（1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决：（2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，．①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 例6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决：如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展：如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是 ． 4．（23-24八年级下·内蒙古乌海·期末）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是 ． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，分别与、为直角边向外作等腰直角、，连结交的延长于点M，则的长为 cm． 6．（23-24八年级上·云南红河·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连接，可证得，即，请根据小颖的方法思考下列问题． （1）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． （2）如图3，在中，若是的中线，是上一点，连接并延长交边于点，且，求证：． （3）如图4，在中，是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，试探索与之间的数量与位置关系，并说明理由． 7．（23-24九年级上·广东深圳·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 8．（23-24八年级上·广东广州·期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       9．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【背景问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．      小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______． A．        B．        C．        D． （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】如图2，是的中线，交于，交于，．求证：； 【深入探究】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，为中点，连接并延长交于，，，则______； （4）如图4，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______．    10．（2024·山东烟台·校考模拟预测）（1）问题探究 如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明． （2）拓展延伸 ①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． ②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明） 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)和　　（“是”或“不是”）兄弟三角形． (2)“取的中点，连接，试说明．”聪明的小井同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明：；②求证： (3)聪明的小井同学进一步研究了与位置关系，请你证明：．    12．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图1，⊿ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt⊿ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）求证：⊿AEP≌⊿BAG；（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由； （4）在（3）的条件下，若BC=AG=10，请直接写出S⊿AEF= . 13．（2024八年级·上海·专题练习）情境·观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角= ° ，与BC相等的线段是 . 问题·探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. 关系·拓展：如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数. 14．（2024·湖北·校考一模）定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．特例感知：在图，图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．    (1)如图，当为等边三角形时，与的数量关系为___； (2)如图，当，时，的长为______，猜想论证； (3)在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给出证明过程． 15．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 6．（23-24湖北省黄石市八年级上学期期末）等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图，求证：；(2)如图，若，，求点的坐标； (3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 17．（23-24湖北省武汉市八年级上学期期中数学试题）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，(1)如图1，求证：∠BCO＝∠CAO(2)如图2，若OA＝4，OC＝2，M是AB与y轴交点，求的面积．(3)如图3，点C（0，2），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝6a．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，问：是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 18．（23-24河南省平顶山市八年级期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系 　　． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点O，若AH＝2，AO＝4，求△AEG的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598年 ~ 660年。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈多”模型。 2 模型1.“婆罗摩笈多”模型 2 51 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 模型1.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点点Q在x轴的负半轴上分别以为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交y轴于P点，则的值为 ．    【答案】10 【分析】过作，交轴于，再，得出，然后根据点，求得，最后判定，得出，即可求得． 【详解】解：过作，交轴于，则，    ∵等腰、等腰，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中， 即 在和中， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用．证明及是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点． 其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 由，则，可判断①的正误；当时，即，此时，可判断②的正误；如图，作于，的延长线于，证明，则，，同理，可证，则，，同理可证，则，，即为中点，可判断④的正误；由，可判断③的正误． 【详解】解：∵以，为腰作等腰直角和等腰直角， ∴，由题意知，， ∴，①正确，故符合要求；同理，， 由题意知，当时，即，此时，②错误，故不符合要求； 如图，作于，的延长线于，    ∵，，， ∴，∴，，同理，，，， ∴，∴，， ∵，，，∴， ∴，，∴为中点，④正确，故符合要求； ∴，③正确，故符合要求；故选：C． 例3．（2024七年级下·成都市·专题练习）已知和，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点F． (1)如图1，当时①请直接写出与的数量关系： 　　（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证： (2)如图2，当时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①＝；②证明见解答(2)成立，证明见解答 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）①根据证，即可得出； ②根据等腰三角形的性质得出，，再根据证，得出，即可得证结论； （2）作于点，作交的延长线于点，根据证，再根据证，同理证，根据线段的等量关系即可得出结论． 【详解】（1）解：①，，，，，， ，，，， 在和中，，，． ②证明：，，，， ，，，， ，，， 在和中，，，，； （2）解：成立，证明如下：作于点，作交的延长线于点， ，，， ，，， ，，，， 在和中，，，， 同理可证，，， 在和中，，，，， ，，， ，，，，， ，，即，． 例4．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G．(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由． (3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长． 【答案】(1)相等，见解析(2)能，相等，见解析(3)18 【分析】（1）根据一线三等角模型，利用证明 ，，推出，推出，即可得出；（2）利用证明，即可得出； （3）利用全等三角形相等，可得，，由此可解． 【详解】（1）解：，证明如下： 是等腰直角三角形，，， ，，， ，，， 在和中，，， ，同理，则，； （2）解：，理由如下： ，，， 在和中，， ，； （3）在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长 ，，， ，，， 在和中，，，∴， ∵，∴∴，是等腰直角三角形，，， ，，， ，，， 在和中，，，， 又∵∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 例5．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）问题提出：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究：（1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决：（2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，．①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）（2）①是，理由见详解②元 【分析】（1）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形，，， ，，， 在和中，，， ，，， 在中，，，，即：，∴ （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则，、是等腰直角三角形，，，， ，，， 在和中，，，， ，，， ，，， ，，与不全等，与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于，则， 点为的中点，，在和中，， ，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，，，． 由①得：与是偏等积三角形，，， ，修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、三边关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 例6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决：如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展：如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得． （3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题； 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：， 是边上的中线，， 在和中，，，， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即，；故答案为：； （2）解：成立．理由：延长至，使，连接，如图2所示： 在和中，，，，， ，，，． （3）证明：如图，延长到，使得． ，，四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，，，， ，，，． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，过点作于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，证明，进而得出点在直线上，结合已知条件，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， 又 ∴ ∴， ∴点在直线上， ∵， 设，，则 ∴，即 ∴ ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则，， 是等腰直角三角形，，， ，． 在和中，∵， ≌,，． 是等腰直角三角形，，，． 在和中，  ∵，≌, ．．故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】作轴于，求出，证，得BN=AO，再由，证，推出=2，由点的坐标为即可得出点的坐标为． 【详解】解：如图，作轴于， ，，，， 在和中， ，，OA=BN ， 在和中，，，， 又因为点的坐标为，，， 又∵点的坐标为，∴点的坐标为．故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 4．（23-24八年级下·内蒙古乌海·期末）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案． 【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC， 即∠CAE＝∠BAG， ∴△ABG≌△AEC（SAS）， ∴BG＝CE，故①正确； 设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1， ∵△ABG≌△AEC， ∴∠ACE＝∠AGB， ∵∠AKG＝∠NKC， ∴∠CNG＝∠CAG＝90°， ∴BG⊥CE，故②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2， ∵AH⊥BC， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确； ∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE， ∴△ABH≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AH， 同理可得GQ＝AH， ∴EP＝GQ， ∵在△EPM和△GQM中， ， ∴△EPM≌△GQM（AAS）， ∴EM＝GM， ∴AM是△AEG的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，分别与、为直角边向外作等腰直角、，连结交的延长于点M，则的长为 cm． 【答案】2 【分析】过点E作于H，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图，过点E作于H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， 在和中， ， ∴（AAS）． ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法． 6．（23-24八年级上·云南红河·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点，使，连接，可证得，即，请根据小颖的方法思考下列问题． （1）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． （2）如图3，在中，若是的中线，是上一点，连接并延长交边于点，且，求证：． （3）如图4，在中，是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，试探索与之间的数量与位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），，理由见解析． 【分析】（1）证明，利用全等三角形对应边相等的性质得到，再结合三角形三边关系解题即可； （2）延长到点，使，连接，先证明，根据全等三角形的性质解得，，由等边对等角性质解得，继而得到，最后根据等角对等边解题； （3）延长至点，使，连接，先证明，再由全等三角形的性质得到，，继而证明，结合等腰直角三角形性质证明，解得，，及，延长交于点，最后证明即可解题 【详解】解：（1）如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在与中， 在中， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长至点，使，连接， 由题意得， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、等角对等边、等腰直角三角形的性质等知识，是重要考点，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． 7．（23-24九年级上·广东深圳·期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 8．（23-24八年级上·广东广州·期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．       【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）由条件可证明，可得，可得； （2）由条件可知，可得，结合条件可证明，同（1）可得出结论； （3）过E作于M，的延长线于N．由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1，    ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）． 如图2，    证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中． ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：延长，过D作于M，的延长线于N，如图所示：    ∴， 由（1）和（2）的结论可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴I是的中点． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【背景问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______． A．        B．        C．        D． （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 如图2，是的中线，交于，交于，． 求证：；    【深入探究】 （3）如图3，在和中，，，且，连接、，为中点，连接并延长交于，，，则______； （4）如图4，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______．    【答案】（1）B；（2）故答案为：；【感悟方法】证明见解析；（3）8，理由见解析；（4）2 【分析】（1）根据三角形全等的判定方法及已知条件即可得出结论； （2）根据三角形三边关系即可得出结论； 感悟方法：延长到M，使，连接，证明，由全等的性质及等腰三角形的性质即可得出结论； （3）延长到R，使得，连接．证明，得到，再证明，由，得到，即可求解； （4）过点B作交于点M，证明，得到为等腰直角三角形，根据，设，则，，根据即可求解． 【详解】【背景问题】解：（1）在和中， ， ∴， 故答案选：B． （2）， ∴． 故答案为：． 【感悟方法】证明：延长到M，使，连接，如图2，    ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【深入探究】解：（3）8 理由如下：如图3，延长到R，使得，连接．    ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． （4）2 解：如图，过点B作交于点M，    ∴， ∵点E为边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分，， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理以及四边形的性质的综合运用，解答时作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系，运用全等三角形对应边相等进行推导是解决问题的关键． 10．（2024·山东烟台·校考模拟预测）（1）问题探究 如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明． （2）拓展延伸 ①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． ②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明） 【答案】（1）D1M=D2N，理由建详解；（2）D1M=D2N成立，理由见详解；②D1M=D2N成立，理由见详解 【分析】（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证． （2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证． ②结论仍然成立，与①的证明方法相同． 【详解】解：（1）D1M=D2N．证明如下： ∵∠ACD1=90°， ∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°． ∵∠AHK=∠ACD1=90°， ∴∠ACH+∠HAC=90°． ∴∠D1CK=∠HAC． 在△ACH和△CD1M中， ∠D1CK=∠HAC，∠AHC=∠C M D1=90°，AC=CD1， ∴△ACH≌△CD1M（AAS）． ∴D1M=CH． 同理可证D2N=CH． ∴D1M=D2N． （2）①D1M=D2N成立．证明如下： 过点C作CG⊥AB，垂足为点G， ∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°， ∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，∠AH1C=∠ACD1， ∴∠H1AC=∠D1CM． 在△ACG和△CD1M中， ∠H1AC=∠D1CM，∠AGC=∠C M D1=90°，AC=C D1， ∴△ACG≌△CD1M（AAS）． ∴CG=D1M． 同理可证CG=D2N． ∴D1M=D2N． ②作图如下： D1M=D2N还成立． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键. 11．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：    (1)和　　（“是”或“不是”）兄弟三角形． (2)“取的中点，连接，试说明．”聪明的小井同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明：； ②求证： (3)聪明的小井同学进一步研究了与位置关系，请你证明：． 【答案】(1)是 (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义“兄弟三角形”，全等三角形的判定与性质等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由“兄弟三角形”的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；②由可得，，推出，根据平行线的性质和可得，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长交于点，由全等三角形的性质可得：，根据平角的定义得到，则，最后根据三角形的内角和定理以及垂直的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又，， 和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）①证明：如图，延长至，使，      为的中点， ． 又， 在和中， ， ， ； ②， ，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，延长交于点，   ， ， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级上·江西赣州·期中）如图1，⊿ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt⊿ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q． （1）求证：⊿AEP≌⊿BAG； （2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由； （4）在（3）的条件下，若BC=AG=10，请直接写出S⊿AEF= . 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）50. 【分析】（1）根据等腰Rt△ABE的性质，求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，∠PEA=∠BAG，根据AAS推出△EPA≌△AGB；（2）根据全等三角形的性质推出EP=AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG=FQ，最后等量代换即可得出答案；（3）求出∠EPH=∠FQH=90°，根据AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH与FH的大小关系；（4）根据全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQAS△AGC，S△FQH=S△EPH，S△EPA=S△AGB，即可求出S△AEF=S△ABC，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：（1）如图1，∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC， ∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°， ∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°， ∴∠PEA=∠BAG， 在△EPA和△AGB中， ， ∴△EPA≌△AGB（AAS）， （2）EP=FQ， 证明：由（1）可得，△EPA≌△AGB， ∴EP=AG， 同理可得，△FQA≌△AGC， ∴AG=FQ， ∴EP=FQ； （3）EH=FH， 理由：如图，∵EP⊥AG，FQ⊥AG， ∴∠EPH=∠FQH=90°， 在△EPH和△FQH中， ， ∴△EPH≌△FQH（AAS）， ∴EH=FH． (4)∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC， ∴S△FQA=S△AGC，S△FQH=S△EPH，S△EPA=S△AGB， ∴S△AEF=S△EPA+S△FQA=S△AGB+S△AGC=S△ABC=×BC×AG=×10×10=50． 故答案为50． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的面积相等． 13．（2024八年级·上海·专题练习）情境·观察： 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角= ° ，与BC相等的线段是 . 问题·探究： 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. 关系·拓展： 如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数. 【答案】（1）  90°，AD；（2）EP=FQ，证明见解析；（3）45°. 【分析】（1）根据矩形的性质、旋转的性质填空； （2）由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ； （3）由旋转的性质易求∠A1CE=45°. 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质、旋转的性质填空； （2）由全等三角形△APE≌△BGA的对应边相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的对应边相等知FQ=AG，所以易证EP=FQ； （3）由旋转的性质易求∠A1CE=45°. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴如图1，在Rt△ADC与Rt△ABC中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）， 即如图2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′， ∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′． 又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°， ∴∠DA′C′+∠CAB=90°， ∴∠CAC′=90°． 问题·探究： 解：EP=FQ ∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90° ∴∠EAP+∠PEA=90° ∠EAP+∠BAG=90° ∴∠BAG=∠PEA ∵∠EPA=∠AGB ∠PEA=∠BAG   AE=AB ∴△EPA≌△AGB ∴EP=AG 同理：QF=AG ∴EP=FQ 联系·拓展： 解：∠A1CE=45° 过A1作A1Q⊥BE于点Q 由上可知：△ABP≌△A1QP ∴BP=A1Q，AB=PQ ∵AB=BC ∴BC=PQ ∴BP=CQ ∴A1Q=CQ ∴∠A1CE =45° 【点睛】本题考查了全等三角形、矩形、旋转的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握全等三角形、矩形与旋转的性质. 14．（2024·湖北·校考一模）定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．特例感知：在图，图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．    (1)如图，当为等边三角形时，与的数量关系为___； (2)如图，当，时，的长为______，猜想论证； (3)在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1)； (2)，猜想论证见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（）首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题； （）首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （）延长至点使得，连接、，证明四边形是平行四边形，根据性质得，，由，则，所以，从而证明即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的“旋补三角形”， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：； （3）猜想：， 证明：如图，延长至点使得，连接、，    ∵是的中线，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ． 在和中， ∴， ∴ ． 16．（23-24湖北省黄石市八年级上学期期末）等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图，求证：； (2)如图，若，，求点的坐标； (3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长度不会发生改变，长度始终是，理由见解析 【分析】（1）根据，，得到，即可证明； （2）过点作轴于点，证明，得到，，进而得到．点在第三象限，即可得到； （3）过点作，交轴于点，先证明，得到，．根据点，，求出，进入得到，再证明，得到，即可求出，从而得到的长度始终是，问题得解． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， 则， 在和中， ∴， ，， ． ∵点在第三象限， ∴； （3）答：的长度不会发生改变． 理由：如图，过点作，交轴于点， 则， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ． 又， ， 在和中， ∴， ，． ， ． ∵点，， ，， ， ． ， ． 在和中， ∴， ． 又， ， 即的长度始终是． 【点睛】本题为等腰直角三角形与平面直角坐标系结合综合题，综合性强，难度较大，考查了平面直角坐标系，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形是解题关键． 17．（23-24湖北省武汉市八年级上学期期中数学试题）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上， (1)如图1，求证：∠BCO＝∠CAO (2)如图2，若OA＝4，OC＝2，M是AB与y轴交点，求的面积． (3)如图3，点C（0，2），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝6a．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，问：是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可； （2）过点B作BN⊥y轴于点N，连接BO，证明△CBN≌△ACO（AAS），由全等三角形的性质得出BN=CO=2，CN=AO=4，设M（0，t），根据三角形AOB的面积求出t的值，则可求出答案； （3）由三角形ACQ的面积得出AQ=6a，设OQ=m，则OA=6a-m，过点M作MH⊥y轴于点H，过N作NF⊥y轴于点F，证明△FNP≌△HMP（AAS），得出FP=HP=3a-m，求出OP的长，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠AOC=90°， ∴∠BCO+∠ACO=90°=∠CAO+∠ACO， ∴∠BCO=∠CAO； （2）过点B作BN⊥y轴于点N，连接BO， ∵∠BCO+∠OCA=∠OCA+∠CAO=90°， ∴∠BCO=∠CAO， 在△CBN和△ACO中 ∴△CBN≌△ACO（AAS）， ∴BN=CO=2，CN=AO=4， ∴ON=2， ∴B（-2，2）， 设M（0，t）， ∵S△AOB=OA×yB＝×4×2=4， S△AOB=S△BOM+S△AOM=×OM（xA-xB）=×t×6=3t， ∴3t=4， ∴t=， ∴M（0，）， ∴S△AOM=； （3）不变，值为6a+4． ∵S△ACQ=CO×AQ=AQ，S△CQA=6a， ∴AQ=6a， 设OQ=m，则OA=6a-m， 过点M作MH⊥y轴于点H，过N作NF⊥y轴于点F， 同（2）可得△MHC≌△COQ，△COA≌△NFC， ∴MH=CO=NF=2，CH=OQ=m， 在△NFP和△HMP中，， ∴△FNP≌△HMP（AAS）， ∴FP=HP=FH＝（FC-CH）=（6a-2m）=3a-m， ∴PO=PH+HC+OC=3a-m+m+2=3a+2， ∴S△MON=S△MOP+S△NOP=OP•（xN-xM）=（3a+2）×4=6a+4． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及直角三角形的性质的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（23-24河南省平顶山市八年级期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系 　　． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？并说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点O，若AH＝2，AO＝4，求△AEG的面积． 【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）成立，证明见解析；（3）8 【分析】（1）由题意可得∠BDA＝∠CEA＝90°，∠BAD+∠CAE＝90°可得出∠CAE＝∠ABD，证△ADB≌△CEA可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA（AAS），同（1）可得出结论． （3）过E作EM⊥HO于M，GN⊥HO的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN＝2，AM＝BH，AN＝HC，证△EMO≌△GNO得OM＝ON，S△EOM＝S△NGO，继而得出BC＝BH+HC＝AM+AN＝AO﹣OM+AO+ON＝2AO＝8，S△AEG＝S△AEO+S△AGO＝S△AEM+S△EOM+S△AGN﹣S△NGO＝S△AEM+S△AGN＝S△ABH+S△ACH＝S△ABC，据此求解可得答案． 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD； 在△ADB和△CEA中， ∵， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE． （2）成立：DE＝BD+CE． ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）如图，过E作EM⊥HO于M，GN⊥HO的延长线于N， ∴∠EMO＝∠GNO＝90°， 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN＝2，AM＝BH，AN＝HC， 在△EMO和△GNO中， ， ∴△EMO≌△GNO（AAS）， ∴OM＝ON，S△EOM＝S△NGO， ∴BC＝BH+HC＝AM+AN＝AO﹣OM+AO+ON＝2AO＝8， 则S△AEG＝S△AEO+S△AGO ＝S△AEM+S△EOM+S△AGN﹣S△NGO ＝S△AEM+S△AGN ＝S△ABH+S△ACH ＝S△ABC ＝×BC•AH ＝×8×2 ＝8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$