15.1 轴对称图形讲义 2024—-2025学年沪科版数学八年级上册

轴对称图形 本节课知识框架： 知识点1：轴对称图形 知识点2：轴对称 知识点3：平面直角坐标系中的轴对称 本节课重难点： 重点：轴对称图形、轴对称、线段的垂直平分线、关于坐标轴对称的点的坐标特征 难点：轴对称和轴对称图形的性质 本节课学习目标： 1、 了解轴对称和轴对称图形的概念，理解轴对称和轴对称图形之间的区别与联系,能够识别简单的轴对称图形，并指出其所有的对称轴 2、 知道轴对称和轴对称图形的性质,能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形和利用轴对称的性质进行简单图案设计 3、 掌握线段的垂直平分线的定义和坐标平面内关于x轴、y轴对称的点的坐标间的关系 知识点1：轴对称图形 1. 定义 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 . 我们也说这个图形关于这条直线(成轴) 对称 . 2.几种常见的轴对称图形及对称轴 名称 图形 对称轴 对称轴条数 线段 线段本身所在直线和过线段中点的垂线 2 角 角平分线所在的直线 1 等腰三角形 底边上的高所在直线 1 等边三角形 各条边上的高所在直线 3 长方形 经过对边中点的直线 2 正方形 (1)经过对边中点的直线 (2)对角线所在的直线 4 圆 经过圆心的任意一条直线 无数 正 n 边形 n 为奇数：过顶点与对边中点的直线； n 为偶数：过两条对边中点的直线或过相对顶点的直线 n 例题1：孙权于公元 221 年 4 月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌，图 15.1-1 所示的四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( ) 教你一招 判断一个图形或图案是不是轴对称图形的方法： 　　根据图形的特征，尝试找到一条直线，使这个图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合 . 牛刀小试： 第一题：下面是由七巧板拼成的图形(只考虑外形，忽略内部轮廓)，其中轴对称图形是(　　) 第二题： 已知下列4个图形：①角；②线段；③直角三角形；④正方形.其中一定是轴对称图形的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第三题：图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 知识点2：轴对称 1.定义 平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴 . 折叠后重合的两点叫做对应点(也叫对称点). 2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 区别 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形 . 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称 例题2：如图 15.1-2，下面镜子里哪个是他的像？ ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 方法点拨 以平面镜为对称轴的轴对称，而识别轴对称的方法： 1. 定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合”. 2. 反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就是轴对称 . 线段的垂直平分线 1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线 . 2. 几何语言 如图 15.1-3， ∵ DC ⊥ AB， AC=BC， ∴ DC 是 AB 的垂直平分线 . 反过来也成立： ∵ DC 是 AB 的垂直平分线， ∴ DC ⊥ AB， AC=BC. 例题3：如图 15.1-4，直线 AE 是线段 BC 的垂直平分线，垂足为 E， D 是直线 AE 上任意一点，求证：∠ ABD= ∠ ACD. 解法提醒 ◆由直线 AE 是线段BC的垂直平分线得出 BE=CE，AE ⊥BC. 这两个结论有时根据证题需要可只写出其中一个结论 . ◆若要证 AE 是线段BC的垂直平分线，则必须同时具备BE=CE，AE ⊥ BC这两个条件 . 轴对称的性质 1. 轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图 15.1-5. 特别地： 成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上 . 2. 反之 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 . 例题4：如图 15.1-6，在△ ABC 中，点 D， E分别在边 AB， BC 上，点 A 与点 E 关于直线 CD 对称．若AB=7， AC=9， BC=12，则△ DBE 的周长为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 解法提醒 轴对称的性质中关键有两点： 一是对应图形的全等性，根据全等的性质可得到对应的边、角相等； 二是对称轴的垂直平分性 . 揭示对称轴与对应点所连线段之间的位置关系 . 例题5：如图 15.1-7， △ ABC 中， D， E， F 三 点 分 别 在AB， BC， AC 上，且四边形 BEFD 是以 DE 为对称轴的轴对称图形，四边形 CFDE 是以 FE 为对称轴的轴对称图形．若∠ C=40°，则∠ DFE 的度数为(　　) A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 解法提醒 利用轴对称的性质求线段的长度或角的度数的方法： 先根据成轴对称的特征确定两个图形 的 对 应 边、 对 应角，再运用轴对称的性质(对应边相等，对应角相等)，把要求的边或角与已知的对应边或对应角建立联系，从而求出待求的线段的长度或角的度数 . 牛刀小试： 第一题： 如图，关于虚线成轴对称的有(　　) A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 第二题： 已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，下列说法正确的是(　　) A. 若 MN 交 AB 于点 O ，则 OM ＝ ON ，且 MN ⊥ AB B. AB 平分线段 MN C. AB 的垂直平分线是 MN ，且只有 MN 这一条 D. MN 可以是射线，也可以是直线或线段 第三题： 关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中，正确的说法有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 第四题：如图，∠ A ＝30°，∠C'＝60°，△ ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，则∠ B 的度数为(　　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 第五题：在下面各图中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ ABC 关于直线 l 成轴对称. 知识点3：平面直角坐标系中的轴对称 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x， y)关于 x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)点( x， y)关于 y 轴对称的点的坐标是(－x， y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数 . 2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点( a， b)关于直线 x=m 对称的点为(2m－a， b)； (2)点( a， b)关于直线 y=n 对称的点为(a，2n－b)； (3)点( a， b)关于原点对称的点为(－a，－b). 例题6：已知点 A( 2a+b， 5+a)， B( 2b－1， －a+b) . (1)若点 A， B 关于 x 轴对称，求 a， b 的值； (2)若点 A， B 关于 y 轴对称，求(4a+4b) 2 023 的值 . 教你一招 利用方程思想解关于坐标系中对称点的思路： 运用方程思想，根据题意列出方程(组)是关键 . 若点 P1( a1，b1) ， P2( a2，b2)关于 x 轴对称， 则a1=a2， b1+b2=0； 若点 P1( a1，b1)， P2(a2，b2)关于 y 轴对称， 则a1+a 2=0， b1=b2. 例题7：△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 15.1-8，已知点 A， B， C 三点在格点上，请分别画出与△ ABC 关于 x 轴和 y 轴对称的图形，并写出对称图形顶点的坐标 . 教你一招 在坐标系中作成轴对称的图形的思路： 思路一：先求出特殊点的对称点的坐标，描出各对称点，再连接各对称点，所得到的图形即为符合条件的图形； 思路二：先作出特殊点的对称点，再连接对称点，所得图形即为所求图形 . 牛刀小试： 第一题： 在平面直角坐标系中，点 P (2，－3)关于 x 轴对称的点P'的坐标是(　　) A. (－2，－3) B. (－2，3) C. (2，－3) D. (2，3) 第二题： 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示. A ， B 两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为 x ， y 轴的平面直角坐标系内，若点 A 的坐标为(－6，2)，则点 B 的坐标为(　　) A. (6，2) B. (－6，－2) C. (2，6) D. (2，－6) 第三题：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 与点 A1关于 x 轴对称，点 A 与点 A2关于 y 轴对称.已知 A1(1，2)，则点 A2的坐标是(　　) A. (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (－1，－2) 课后作业 第一题：小明有一副三角尺和一个量角器(如图所示). (1)小明的这些文具中，可以看成轴对称图形的有 ；(填字母) (2)请用这些文具中的两个拼成一个轴对称图案，画出草图.(只需画出一种) 第二题：如图所示的图形都是正多边形. (1)通过观察或折纸的方法找对称轴完成表格. (2)通过(1)，你有什么发现？用自己的语言写一写. 第三题：如图，格点三角形 ABC 在网格中的位置如图所示. (1)画出△ ABC 关于直线 MN 对称的△A'B'C'； (2)若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ⁠. 第四题：如图，点 P 在∠ AOB 的内部，点 M ， N 分别是点 P 关于直线 OA ， OB 的对称点，线段 MN 分别交 OA ， OB 于点 E ， F . (1)若 MN ＝20 cm，求△ PEF 的周长； (2)若∠ AOB ＝35°，求∠ EPF 的度数. 第五题：如图①， OM 平分∠ AOB ，则称射线 OB ， OA 关于 OM 对称. [理解题意] (1)如图①，射线 OB ， OA 关于 OM 对称且∠ AOB ＝45°，则∠ AOM ＝ °； [应用实际] (2)如图②，若∠ AOB ＝45°， OP 在∠ AOB 内部， OP ， OP1关于 OB 对称， OP ， OP2关于 OA 对称，求∠ P1 OP2的度数； (3)如图③，若∠ AOB ＝45°， OP 在∠ AOB 外部，且0°＜∠ AOP ＜45°， OP ， OP1关于 OB 对称， OP ， OP2关于 OA 对称，求∠ P1 OP2的度数； [拓展提升] (4)如图④，若∠ AOB ＝45°， OP ， OP1关于∠ AOB 的 OB 边对称，∠ AOP1＝4∠ BOP1，求∠ AOP 的度数.(直接写出答案) 第六题： 点 Q 的横坐标为一元一次方程3 x ＋7＝32－2 x 的解，纵坐标为 a ＋ b 的值，其中 a ， b 满足二元一次方程组则点 Q 关于 y 轴对称点Q'的坐标为 ⁠. 第七题：如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是 A (2，3)， B (1，0)， C (0，3). (1)画出“V”字图形向左平移2个单位长度后的图形； (2)画出原“V”字图形关于 x 轴对称的图形； (3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母(任意答一个即可)？ 第八题：如图，在平面直角坐标系中，对△ ABC 进行循环往复的轴对称变换.若原来点 A 的坐标是( a ， b )，则经过第2 024次变换后点 A 的对应点的坐标为 ⁠. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$