专题09 全等三角形模型之半角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、． (1)当绕点旋转到时如图，证明：； (2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 例2．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为120°的等腰三角形．点M，N分别是边和边上的点，并且满足． (1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考．如图2，延长至点F，使，连接，通过证明，得至到，进而证得，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长；(3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 例3．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例4.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例5．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 3．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    5．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 6．（24-25八年级上·江苏假期作业）正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，，请问现在又有什么数量关系？ 7．（2023·辽宁·中考模拟）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． 8．（23-24八年级上·山西长治·期中）综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．       (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． 9．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小萌通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小萌把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形． 想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM．… 请你参考上面的想法，帮助小萌证明PA＝PM（一种方法即可）． 10．（23-24八年级下·湖北期中）探究问题： (1)方法感悟：如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴，， ∵四边形为正方形，∴， ∵，∴， ∵，∴，即______． 又∵，，∴__________．∴， ∵，又，∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； (2)方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)问题拓展：如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 11．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点．(1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒．① 试求当为何值时，为等边三角形？② 若为直角三角形，试求的值．(2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 12．（2024七年级下·成都市·专题练习）操作：如图①，是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接． 探究：线段、、之间的关系，并加以证明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； （2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①（如图②）；②（如图③）． 附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由． 13．（23-24八年级上·河南·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用：如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用：如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 14．（2024八年级上·广东·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 15．（2024·江西宜春·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 17．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 18．（2024·上海·八年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ．参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、． (1)当绕点旋转到时如图，证明：； (2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，见解析 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证得、、三点共线，即可得到≌，从而证得；（2）证明方法与（1）类似； （3）在线段上截取，判断出≌，同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵把绕点顺时针旋转，得到，≌，，， 四边形是正方形，，， 点、、三点共线．， 又，在与中，，≌，， ，，，． （2）证明：如图，把绕点顺时针旋转，得到， ≌，，， 四边形是正方形，，， 点、、三点共线．， 又，在与中，，≌，， ，． （3）解： 理由如下：如图，在线段上截取，连接， 在与中，，≌，，． 在和中，，≌，，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为120°的等腰三角形．点M，N分别是边和边上的点，并且满足． (1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考．如图2，延长至点F，使，连接，通过证明，得至到，进而证得，得证为的平分线；(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长；(3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长． 【答案】(1)见解析(2)10(3)5 【分析】（1）根据题干所给的思路进行证明即可；（2）利用全等三角形的性质求解即可； （3）如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接．通过证明证得的周长． 【详解】（1）证明：延长至点F，使，连接， 由题意得，， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵ ，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴平分； （2）解：∵，∴，∵，∴． ∴的周长是：． （3）解：如图所示，延长交于P，延长交于Q，令，连接． ∵是等腰三角形，且，∴， 又∵等边三角形，∴，∴， ∴， ， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，∴，即， 在△MDN与△KDN中，，∴，∴， ∴的周长 ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例3．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得：∠NBM=∠NBH，然后依据全等三角形的判定定理可得△NBM≌△NBH，由全等三角形的性质可将x、m、n放在△NCH中，即可确定三角形的形状． 【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN， 由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°， ∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，∴∠NBM=∠NBH， 在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x， ∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°， ∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题， 例4.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例5．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析； (3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论； （3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG， ∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°． 又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF． ∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD； （2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立． 证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D， 在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3． ∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF． 在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF； （3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD． 证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF． 在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ，， 在和中，，， ， ，即是直角三角形，， ， 即与的面积之和为21，故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CED，可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长． 【详解】如图所示，延长AC到E,使CE=BM,连接DE, ∵BD=DC,∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°， ∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°， 在△BMD和△CED中， ∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE， 又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM， 在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN=NE=NC+CE=NC+BM， 所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2. 故选A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键. 3．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示：则，，    ，，， 在和中，，，， ，，， ，故选：A． 4．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    【答案】20 【分析】在上截取点，使，连接，首先根据等边三角形的性质，可得，可证得，再根据，可证得，，，根据角之间的关系，可证得，再根据，可证得，得出，根据即可求出结果． 【详解】证明：如图：在上截取点，使，连接，    ∵，∴，为等边三角形，， 又，且，， ， 在和中，，，， ，，，又，， ，， 在与中，，，， ，， ∴ ．故答案为：20． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，故①正确∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，故②正确， ∵若．∴，∴， ∵，∴，故③正确， ∵，，∴，故④错误，故答案为：①②③． 6．（24-25八年级上·江苏假期作业）正方形中，点E在延长线上，点F在延长线上，，请问现在又有什么数量关系？ 【答案】 【分析】本题考查全等三角形和正方形的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 在上取一点，使，根据正方形的性质求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，，全等三角形对应边相等可得，然后求出的度数以及的度数，根据度数求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据图形边的关系进行等量代换即可得解； 【详解】解： 证明：在上取一点，使， 在正方形中，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，，， ，，． 7．（2023·辽宁·中考模拟）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． 【答案】（1）EF=BE+DF．证明见解析；（2）AM=AB；（3）AM=AB．证明见解析 【分析】（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．（2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ，得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，证得△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，从而证得△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可． 【详解】解：（1）EF=BE+DF．证明如下：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°． 在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF， ∴△ABQ≌△ADF（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF． ∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°．∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠EAF． 在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF， ∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF． （2）解：AM=AB，理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ，∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB． （3）AM=AB．证明如下：如答图，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵折叠后B和D重合，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD． 在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF， ∴△ADF≌△ABQ（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF． ∵∠FAE=∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，即∠EAQ=∠FAE． 在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF，∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ． ∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB． 8．（23-24八年级上·山西长治·期中）综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．       (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，       在和中，∴， ∴，∴，∴，∴， 在和中，∴，∴； （2）；理由如下：延长到点，使，则， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴， ∴，即：，∴， 又，∴，∴， ∵，∴； （3），理由如下： 在上取一点，使，    ∵，，∴， 又，∴，∴，， ∴，∴， 又，∴，∴．’ 9．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小萌通过观察、实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小萌把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证PA＝PM，只需证△APM是等边三角形． 想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM．… 请你参考上面的想法，帮助小萌证明PA＝PM（一种方法即可）． 【答案】（1）∠AQB＝75°；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）利用想法1证明：如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代换得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论； 利用想法2证明：在BA上取一点N，使得BN＝BP，连接CM；要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM． 【详解】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ＝15°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝75°； （2）如图2，利用想法1证明；∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC， ∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠PAC＝60°，∴∠PAM＝60°， ∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴PA＝PM． 如图3，利用想法2证明：在BA上取一点N，使得BN＝BP，连接CM； ∵∠B=60°，∴△BPN是等边三角形，∴PN=BP=BN，∠BNP=60°，∴∠ANP=120°． ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠ACB=60°，∴AB−BN=BC−BP，即AN=PC．　 ∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC， 在△APB与△AQC中，∴△APB≌△AQC，∴BP=CQ．∴PN=CQ． ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴CQ＝CM，∠ACM＝∠ACB=60°， ∴PN=CM，∠PCM=∠ACB+∠ACM=120°=∠ANP． 在△ANP与△PCM中，∴△ANP≌△PCM．∴PA=PM． 【点睛】本题考查等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质是解题关键． 10．（23-24八年级下·湖北期中）探究问题： (1)方法感悟：如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴，， ∵四边形为正方形，∴， ∵，∴， ∵，∴，即______． 又∵，，∴__________．∴， ∵，又，∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； (2)方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)问题拓展：如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【答案】(1)；；(2)；；证明见解析(3) 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论； （2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案； （3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出． 【详解】（1）证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形，∴，，∴， ∴，∴，， ∵四边形为正方形，∴，∵，∴， ∵，∴，即． 又∵，，∴．∴， ∵，又，∴． ，理由如下：∵，∴，， ∵，，∴，∴； （2）解：，；证明如下：如图，延长至点G，连接，使得， 将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且， ，，，，，即． 在和中，，，，． 在和中，，，， ，，， ∵，∴，， ∵，，∴，∴； （3）解：当时，．如图，延长至点Q，连接，使得， ，， 在和中，，，，， ，，，即， 在和中，，，， ，，，当时，可使得． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 11．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点． (1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒．① 试求当为何值时，为等边三角形？② 若为直角三角形，试求的值．(2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①秒；②秒或秒(2)不变， 【分析】（1）①由题意得：，，．根据题意当时，为等边三角形，解方程即可求解；②根据题意分类讨论，分， ，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解；（2）延长至，使，连接，证明，进而证明 ，得出，即可求解． 【详解】（1）解：① 由题意得：，，．                 当时，为等边三角形．即． 解得：．即秒时，为等边三角形．             ②是边长为的等边三角形，，． ．若，则．，即 （），解得．                 ．若 ，则 ．，即，解得．                 经验证，和均符合题意． 故若为直角三角形时，的值为秒或秒． （2）的周长不发生变化．理由如下：延长至，使，连接． ，，． 是等边三角形，．．                                     又 ，，．，．                                 ，，． ．即．．                             又，， ．． ． 的周长不发生变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 12．（2024七年级下·成都市·专题练习）操作：如图①，是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接． 探究：线段、、之间的关系，并加以证明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； （2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①（如图②）；②（如图③）． 附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由． 【答案】探究：，见解析；附加题：，图见解析，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． （探究）延长至，使，连接，由已知条件知易得，，通过证明，得出，，再证明，即可得出． （附加题）在上截取，使，连接，先证明，得出，再证明，即可得出结论． 【详解】（探究）证明：， 如图，延长至，使，连接， ∵的等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴． ∴． （附加题），证明如下： 证明：如图，在上截取，使，连接 ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 13．（23-24八年级上·河南·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 14．（2024八年级上·广东·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ，， ，， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， 由（1）知：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 15．（2024·江西宜春·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立；证明见解析；（3）的周长为10 【分析】（1）证明得到，，，从而证明，可得，即可得出结论； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得出结论； （3）延长到点G，截取，连接，证明，可得，，再由，，从而证明，故，再根据的周长为：即可求出结果． 【详解】解：（1）证明：如图1，，，， ，，，， ， ，， 在和中，，， ，； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接，如下图， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中，∵，∴， ∴，，∵，， ∴，∴， 在与中，∵，∴，∴， ∴的周长为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 17．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【分析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．证明△AGE和△AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．从而得出EF=GE； （2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF． 【详解】（1）延长至，使，连接， ∵，，∴≌， ∴，，∴，∴， 在和中，∵，∴≌，∴， ∵，∴．故答案为： （）（）中的结论仍成立，证明：延长至，使， ∵，，∴， 在和中，，∴≌，∴，, ∵，∴，∴即， 在和中，，∴≌，∴，即． （），证明：在上截取使，连接， ∵，，∴， ∵在和中，，∴≌，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴≌，∴， ∵，∴． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形. 18．（2024·上海·八年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ．参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)90°；(2)，见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的长； （2）将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，证明点F，D，G在同一条直线上，进而证明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可证明EF＝BE＋FD． (1)解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF， ∴ 故答案为：90°； (2)猜想：EF=BE＋FD；理由如下： 如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上． ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF．在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$