精品解析：河北省石家庄二中润德学校2024-2025学年高二上学期期中数学试题

2024-2025学年第一学期11年级期中考试数学试题 一、单项选择题：本愿共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由斜率公式得出，进而得出直线的倾斜角. 【详解】 因为倾斜角，所以 故选：B 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 3. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 4. 双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（） A. 1 B. 4 C. 1或9 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦距,可得值,根据的关系,可得值,根据双曲线定义,分类讨论,即可求得答案. 【详解】因为，所以, 所以,解得, 根据双曲线定义可得, 所以,解得或, 当时,不合题意,故舍去, 当时,,满足题意, 综上,, 故选：D. 5. 已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：， 如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为, 过点作的垂线，垂足为点, 设，直线的倾斜角为， 因为,所以， 由抛物线的定义：， 结合图形易知：, 所以， 在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 6. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】   过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 7. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，确定，由直线与圆相切于点，求出，再求出，，，再由得到，进而求出离心率. 【详解】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得， 又， 则， 即，于是，即， 有，解得：或，而，所以. 故选：C. 8. 设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，，因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，， 即的中点到轴的最短距离为， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 平面外的直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的方向向量及法向量的位置关系分别判断各选项. 【详解】对于选项A,由已知，则不存在，使，即与不平行，故A选项错误； 对于B选项,由已知，则，即，则，故B选项正确； 对于C选项,由，则，即，则，故C选项正确； 对于D选项,由，则，即，则，故D选项错误. 故选：BC 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项：把的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为，直接判断即可； B选项，把的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可； D选项，由直线平行时，斜率相等，可求得得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可. 【详解】对于A，当时，那么直线为，直线为，此时两直线的斜率分别为和，所以有，所以，故A选项正确； 对于B，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误； 对于C，由直线：，整理可得： ，故直线过定点，直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项错误； 对于D，当，平行时，两直线的斜率相等，即，解得：或，当时，两直线重合，舍去；当时，直线为，为，此时两直线的距离，故D选项正确. 故选：AD. 11. 已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若的中点为，则 C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若时，则的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆定义可知的周长为，可判断A正确；联立直线和椭圆方程求出点的坐标，表示出斜率公式即可得，可得B正确；由易知点在以为圆心，半径为的圆上，即可得圆与椭圆有交点，需满足，可得离心率，可知C正确；将代入联立的方程可得的面积，可得D正确. 【详解】由可知，； 显然直线过点，如下图所示： 由椭圆定义可知的周长为，所以A正确； 设，中点； 将直线和椭圆方程联立，消去整理可得； 由韦达定理可得，所以， 代入直线方程解得，即； 所以， 可得，所以B错误； 根据B选项，由可得， 可得，即点在以为圆心，半径为的圆上； 又点在椭圆上，即可得圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，所以可得离心率，即C正确； 若时，由选项B可知联立直线和椭圆方程可得； 所以可得； 所以 易知的面积 即可得的面积是，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先确定，然后根据为等边三角形得到，带入已知计算即可. 【详解】由已知得，则， 又为等边三角形，则，即 所以，解得. 故答案为：. 13. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是． 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由倾斜角得到斜率，写出对称直线方程，设对称点坐标得到：①中点在直线上；②两点直线与对称直线垂直.分别得出对应方程并解出的代数式，再代入抛物线求得的值. 【详解】，∴， 设点，则中点在直线上， 则，即①， 又∵，即∴②， 联立①②可得，又∵对称点在上， ∴，即，∴（舍去）或 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程. 【详解】解：设点 则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为 （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即. （2）由条件可知：，的面积为2，则的高为， 又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为. 直线方程为，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用.. 方法点睛：（1）设出交点坐标 （2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标. 16. 已知圆关于直线对称，且在圆上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】（1）； （2），或. 【解析】 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 17. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，，理由： 由（1）可得，所以为 当直线的斜率存在时，设方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点，使为常数，且. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】 由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为， 因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以， 又点在双曲线上，所以，整理得： 因为的面积为8，所以，则， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （1）证明：平面． （2）若，求点到平面的距离． （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，， 所以平面， 又平面，所以． 因为，且，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离； （3）设，利用垂直关系构造线面角，并利用三角函数表示边长，并表示线面角的正弦值，利用三角函数求解最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，． 以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向， 过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 得，，． 设为平面的一个法向量， 则取，得， 所以点到平面的距离． 【小问3详解】 取为的中点，连接，过点作，垂足为，连接． 易知平面，平面BCD，所以，则． 设，则，， 因为，平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 故， 当且仅当时，取得最大值， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 已知椭圆，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且． （1）求C的方程； （2）若M，N是C上任意两点 ①若点，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设和的面积分别为，，若，求线段MN的长度； ②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段的长度不大于． 【答案】（1） （2）①3； ②证明：设直线， ，则 联立可得， 所以，， ，得． 所以中点H的坐标为，所以， 故直线OH：. 由P，Q，M，N四点共圆，则， 由; 联立可得，，所以， 所以， 所以得， 所有，得 即. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及弦长计算求出即可得出椭圆方程； （2）①应用图形特征结合已知，再联立方程得出即可求出弦长； ②先设方程再联立方程得出H的坐标为，再由P，Q，M，N四点共圆，则，计算得出. 【小问1详解】 由离心率为，得， 由得在椭圆上，可得， 解得， 所以故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 连接，因为， ， 所以，得; 所以，所以直线ON的方程为， ， 由得（舍去）. 所以. ②略 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由P，Q，M，N四点共圆，则，进而结合弦长公式即可得出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期11年级期中考试数学试题 一、单项选择题：本愿共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 4. 双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（） A. 1 B. 4 C. 1或9 D. 9 5. 已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 6. 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）    A. B. C. D. 7. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 8. 设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 平面外的直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 两个不同的平面的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面的法向量是，则 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 直线过定点，直线过定点 D. 当，平行时，两直线的距离为 11. 已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的周长为 B. 若的中点为，则 C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若时，则的面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是______． 13. 正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是___________. 14. 已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 16. 已知圆关于直线对称，且在圆上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 17. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （1）证明：平面． （2）若，求点到平面的距离． （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 已知椭圆，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且． （1）求C的方程； （2）若M，N是C上任意两点 ①若点，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设和的面积分别为，，若，求线段MN的长度； ②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段的长度不大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $