第01讲 实数及其运算（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点9种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考点三 科学记数法 考点四 平方根、立方根 考点五 比较实数的大小 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 ►题型02 无理数的识别 ►题型03 科学记数法 ►题型04 无理数的估算 ►题型05 实数的大小比较 ►题型06 实数与数轴 ►题型07 平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 ►题型02 实数的混合运算 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年4考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 10年3考 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 10年8考 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年2考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 10年2考 实数的相关 计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 近10年连续考查一个6分计算题 航 考点一 实数的分类 1.正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等. 2.有理数及分类 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中，为整数且） 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等. 有理数分类： 3.无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 4.实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 1．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 2．（2024·湖南永州·期中）在有理数﹣（﹣3），-，（﹣5）2，﹣32，-a中，一定是负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（湖南长沙·中考真题）下列实数中，为有理数的是（   ） A． B． C． D．1 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.33333… 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 1.数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 【补充】 1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； 2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变； 3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2. 相反数 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. 性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 2）一个有理数有且只有一个相反数； 3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数. 3.绝对值 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即. 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 4.倒数 倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 【易混易错】 1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1. 2）若a、b互为倒数，则ab=1. 3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数） 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，整数在数轴上的位置如图所示，则它的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．2024 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）的相反数是（   ） A． B．5 C． D． 5．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知若均为实数，且，则 ． 6．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 考点三 科学记数法 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6- 【补充】 1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 3）科学记数法的常见类型: ① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示； ② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示； ③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示. 2.近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·湖南衡阳·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）2022年岳阳市生产总值超过4750亿元，总量居全省第二．用科学记数法表示4750亿为 ． 考点四 平方根、立方根 1 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 2.平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3.立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 4.常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列各式中，正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知正实数x的两个平方根分别为和，实数y的立方根为，则的值是 ． 考点五 比较实数的大小 1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5）倒数比较法： 6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数，，，中，最小的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（   ） A． B． C．π D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在，，，四个实数中，最小的是 ． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 考点六 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1.实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4.实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【易混易错】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算：． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算： 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）计算： 4．（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算： 5．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算: 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．胜二局与负一局 B．盈利2万元与支出3万元 C．气温升高与气温零下 D．向东行驶和向南行驶 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（   ） A．上升3米和下降5米 B．长大3岁和减少3千克 C．收入200元和支出300元 D．向东走2米和向西走3米 3．（2023·湖南衡阳·一模）如果水位升高记作“”，那么“”表示的意义是 ． 4．（14-15七年级上·湖南永州·期中）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作＋0.22，那么小东跳出了3.85米，记作 ． ►题型02 无理数的识别 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数，，，中，最小的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（   ） A． B． C．π D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在，，，四个实数中，最小的是 ． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． ►题型03 科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）2024年6月29日，长沙正式跻身特大城市行列，排在武汉后面，重庆前面．2023年底的数据显示，长沙的达到了万亿元人民币．这个数字可不得了，在湖南省内可是一枝独秀．将万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约千克，则数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）据报道，李先生改进用水设备，在二十年的时间内帮助当地居民节约用手101000000吨，数据101000000用科学记数法表示为 4．（湖南新宁·一模）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.0000084m，则数据0.0000084用科学记数法表示为 ． ►题型04 无理数的估算 估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的两个相邻平方数. 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）任意实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似的：对数字900进行了次操作后变为1，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）的值在 和 中间． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 ． ►题型05 实数的大小比较 实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 1．（2024·湖南邵阳·一模）下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·二模）下列实数，，，，，中，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 3．（八年级上·长沙·期中）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 4．（23-24八年级下·湖南宁乡·期中）比较大小： （填“”“ ”“”）． ►题型06 实数与数轴 1．（九年级上·长沙·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（八年级上·湖南株洲·期中）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．（九年级·湖南永州·周测）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ． 4．（八年级上·长沙·课后作业）如图所示，，数轴上点表示的数是 ． ►题型07 平方根、立方根 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 2．（22-23八年级上·长沙·开学考试）在下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若单项式与是同类项，则的平方根是 ． 4．（23-24·八年级上长沙·期中）已知，则x的值为 ． 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是: 1）一个实数的绝对值，即|a|； 2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即等； 3）一个实数的算术平方根(即二次根式)，即. 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知，则的立方根为（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知，则的值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则 ． 4．（19-20八年级上·湖南永州·期末）若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． ►题型02 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算： 5．（2023·长沙期中）计算：． 6．（2023·湖南张家界·中考真题）计算：． $$第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+6考点+2命题点9种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考点三 科学记数法 考点四 平方根、立方根 考点五 比较实数的大小 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 ►题型02 无理数的识别 ►题型03 科学记数法 ►题型04 无理数的估算 ►题型05 实数的大小比较 ►题型06 实数与数轴 ►题型07 平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 ►题型02 实数的混合运算 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年4考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 10年3考 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 10年8考 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年2考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 10年2考 实数的相关 计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 近10年连续考查一个6分计算题 航 考点一 实数的分类 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等. 2.有理数及分类 有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中，为整数且） 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数. 例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等. 有理数分类： 3. 无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 4. 实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类： 1．（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 【答案】A 【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食． 故选：A． 2．（2024·湖南永州·期中）在有理数﹣（﹣3），-，（﹣5）2，﹣32，-a中，一定是负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先将这些数化简，然后根据负数是小于0的数判断即可. 【详解】解：-(-3)=3，是正数； =，是负数； (-5)2=25，是正数； -32=-9，是负数； 当＞0时，-是负数，当＝0时，-=0，当＜0时，-是正数，所以-不一定是负数. 综上，有2个负数. 故选B. 3．（湖南长沙·中考真题）下列实数中，为有理数的是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】试题分析：根据实数的意义，有理数为有限小数和有限循环小数，无理数为无限不循环小数，可知1是有理数. 故选D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.33333… 【答案】C 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．=1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．3.33333…是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 1.数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 【补充】 1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； 2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变； 3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2. 相反数 相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. 性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 2）一个有理数有且只有一个相反数； 3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧. 2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数. 3.绝对值 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即. 【易混易错】 1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0. 2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0. 3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论. 4. 倒数 倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 【易混易错】 1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1. 2）若a、b互为倒数，则ab=1. 3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数） 1．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，整数在数轴上的位置如图所示，则它的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，整数表示的数为，则它的相反数是2， 故选：A． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）的绝对值是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】A 【详解】解：的绝对值是． 故选A． 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）的相反数是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 5的相反数是， ∴的相反数是， 故选：A． 5．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知若均为实数，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵互为相反数，为倒数， ∴，，∵，∴， ∴原式， 故答案为：． 考点三 科学记数法 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6- 【补充】 1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数. 2）一个负数也可以用科学记数法表示. 3）科学记数法的常见类型: ① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示； ② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示； ③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示. 2.近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0. 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：158.4万， 故选：C． 2．（2023九年级·湖南衡阳·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7 ∴n=-7 故选：C． 3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）2022年岳阳市生产总值超过4750亿元，总量居全省第二．用科学记数法表示4750亿为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，根据科学记数法的表示形式为得出结果即可． 【详解】解：4750亿 故答案为：． 考点四 平方根、立方根 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即. 4. 常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列各式中，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的意义，根据算术平方根、平方根、立方根的意义逐项分析即可． 【详解】解： A．，故不正确； B． ，正确； C． ，故不正确； D． ，故不正确； 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出的，，的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】∵的算术平方根为， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∵是平方根等于本身的数， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知正实数x的两个平方根分别为和，实数y的立方根为，则的值是 ． 【答案】8 【分析】根据平方根的定义求出的值，进而确定的值，再根据实数的立方根为，求出的值，代入计算即可．本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【详解】解： ∵正实数x的两个平方根分别为和， ∴， 解得， ，， ， 又实数的立方根为， ， ， 故答案为：8 考点五 比较实数的大小 1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b. 4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b 5）倒数比较法： 6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a<b. 【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小. 7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数，，，中，最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小． 先化简绝对值，根据负数的绝对值越大，这个数越小即可进行比较． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（   ） A． B． C．π D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的大小，先确定各数的范围，即可得出答案． 【详解】因为，，，， ∴位于3和4之间的数是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在，，，四个实数中，最小的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数比较大小的方法是解题的关键，根据负数小于零，零小于正数，负数小于正数的方法即可求解． 【详解】解：， 最小的是， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由得到，即可求解． 【详解】∵ ∴． 故答案为：． 考点六 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 6.运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【易混易错】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算，零次幂，绝对值的化简等知识是解题的关键． 先计算乘方，零次幂，绝对值化简，开方，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： =． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式乘法计算，先计算二次根式乘法，零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．首先计算零指数幂、负整数指数幂、开立方，绝对值，然后从左向右依次计算，求解计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 4．（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算： 【答案】4 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： 5．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式除法化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 6．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算: 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解:原式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．胜二局与负一局 B．盈利2万元与支出3万元 C．气温升高与气温零下 D．向东行驶和向南行驶 【答案】A 【详解】解：A、胜二局与负一局，具有相反意义，且属性相同，属于相反意义的量，故符合题意； B、盈利2万元与支出2万元，不具有相反意义，故不符合题意； C、气温升高与气温零下，不具有相反意义，故不符合题意； D、向东行驶和向南行驶，不具有相反意义，故不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（   ） A．上升3米和下降5米 B．长大3岁和减少3千克 C．收入200元和支出300元 D．向东走2米和向西走3米 【答案】B 【详解】解：A、上升和下降是互为相反意义的量，故该选项不符合题意； B、长大3岁和减少3千克是两个不相关的量，故该选项符合题意； C、收入和支出是互为相反意义的量，故该选项不符合题意； D、向东和向西是互为相反意义的量，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．（2023·湖南衡阳·一模）如果水位升高记作“”，那么“”表示的意义是 ． 【答案】水位下降 【详解】解：∵正负数表示两种具有相反意义的量， ∴如果水位升高记作“”，那么“”表示的意义就是水位下降， 故答案为：水位下降． 4．（14-15七年级上·湖南永州·期中）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记作＋0.22，那么小东跳出了3.85米，记作 ． 【答案】-0.15米 【分析】根据多于标准记为正，可得少于标准记为负． 【详解】解：∵以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22， ∴小东跳出了3.85米，记作-0.15米， 故答案为：-0.15米． ►题型02 无理数的识别 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在实数，，，中，最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（   ） A． B． C．π D． 【答案】C 【详解】因为，，，， ∴位于3和4之间的数是． 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）在，，，四个实数中，最小的是 ． 【答案】 【详解】解：， 最小的是， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【详解】∵ ∴． 故答案为：． ►题型03 科学记数法 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧： 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）2024年6月29日，长沙正式跻身特大城市行列，排在武汉后面，重庆前面．2023年底的数据显示，长沙的达到了万亿元人民币．这个数字可不得了，在湖南省内可是一枝独秀．将万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：万亿， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．已知一粒米的质量约千克，则数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 3．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）据报道，李先生改进用水设备，在二十年的时间内帮助当地居民节约用手101000000吨，数据101000000用科学记数法表示为 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 4．（湖南新宁·一模）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.0000084m，则数据0.0000084用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：数据0.0000084用科学记数法表示为； 故答案为：． ►题型04 无理数的估算 估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的两个相邻平方数. 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）任意实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似的：对数字900进行了次操作后变为1，那么的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：第一次第二次第三次第四次， 即对数字900进行了4次操作后变为1． 故选：B． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】B 【详解】解：， ， 即， 由数轴可知表示的点应落在线段上，故B正确． 故选：B． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）的值在 和 中间． 【答案】 1 2 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴的值在1和2之间． 故答案为：1，2． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分为：， 故答案为：． ►题型05 实数的大小比较 实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 1．（2024·湖南邵阳·一模）下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较．分别求出四个数的绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， ， ∴四个数中，绝对值最小的是， 故选：B． 2．（2024·湖南邵阳·二模）下列实数，，，，，中，其中最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数比较大小的方法，解题的关键是熟记实数比较大小的方法． 由实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， ∴最小的数是． 故选：D． 3．（八年级上·长沙·期中）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖南宁乡·期中）比较大小： （填“”“ ”“”）． 【答案】 【分析】根据题意，只需比较即可，利用估算思想解答即可． 本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型06 实数与数轴 1．（九年级上·长沙·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，先根据数轴判断的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ 故选A． 2．（八年级上·湖南株洲·期中）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，先根据数轴上两点距离计算公式得到，再由线段中点的定义得到，则点C表示的数为． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴点C表示的数为， 故选：C． 3．（九年级·湖南永州·周测）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等知识点．根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 4．（八年级上·长沙·课后作业）如图所示，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：点到数轴的线段交于点． 由图可知点到数轴的距离为，点距离点的横向距离为． 在中， 点表示的数为 故答案为：． ►题型07 平方根、立方根 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 2．（22-23八年级上·长沙·开学考试）在下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的概念．根据算术平方根、平方根、立方根的概念即可解答． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若单项式与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，平方根，根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，可得，求出的值，再求出的值，最后利用平方根的定义即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 4．（23-24·八年级上长沙·期中）已知，则x的值为 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义可知，或，进而解得的值，理解并掌握平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：3或． 命题点二 实数的运算 ►题型01 非负性的应用 二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是: 1）一个实数的绝对值，即|a|； 2）一个实数的偶次方(主要是二次方)，即等； 3）一个实数的算术平方根(即二次根式)，即. 1．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知，则的立方根为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：， ∴①，②， 由①+②得： 整理得：， 解得：， ∴的立方根为2． 故选C． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知，则的值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：，，， ，， 解得：，， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入求值计算． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 4．（19-20八年级上·湖南永州·期末）若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． ►题型02 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 5．（2023·长沙期中）计算：． 【答案】6 【详解】解： ． 6．（2023·湖南张家界·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． $$