第02讲 整式与因式分解（讲义，2考点+2命题点14种题型（含7种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 （思维导图+4考点+2命题点14种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 整式及其相关计算 题型01 实际问题中的代数式 题型02 求代数式的值. 题型03 整式的加减 题型04 幂的混合运算 题型05 整式的乘除 题型06 乘法公式的应用 题型07 整式的化简求值 题型08 整式的混合运算 题型09 判断因式分解的正误 题型10 因式分解 题型11 因式分解的应用 命题点二 规律探索及新定义问题 题型01 图形类规律探索 题型02 数字类规律探索 题型03 数式中的新定义问题 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 列代数式 ★ 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 代数式求值 ★★ 将具体数代入代数式进行计算 整式的加减 ★★ 1. 了解整数指数罪的意义和基本性质； 2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 3. 能进行简单的整式加减乘除运算； 4. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理； 5.灵活运用多种方法化简代数式. 幂的运算 ★★ 整式的乘除 ★★ 整式的混合运算 ★★★ 因式分解 ★★★ 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底. 02知识导图·思 03考点突破·考 考点一 代数式 1. 列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 2. 代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    5．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 考点二 整式的相关概念 1. 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14. 2. 多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 3. 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 1．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 2．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 5．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ，4，，16，，64，……① 0，7，，21，，71，……② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ． 考点三 整式的运算 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 3. 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 4. 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 5. 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 6. 整式的乘除 1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 7. 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 3）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 4）完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 8. 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 1．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 4．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 5．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 考点四 因式分解 1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 2. 公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 3. 提公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 4. 公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 5. 因式分解的一般步骤： 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 20．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 5．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 4题型精研·考 命题点一 整式及其相关计算 题型01 实际问题中的代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 4．（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 题型02 求代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1．（2024·四川·中考真题）已知，那么的值是 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 4．（2023·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 题型03 整式的加减 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 4．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 题型04 幂的混合运算 计算时可能用到以下公式： 1) 2） 3) 4) 5) 【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算. 1．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·中考真题）计算： ． 4．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 题型05 整式的乘除 整式的乘除法 单项式×单项式 例： 系数相乘，字母相乘 单项式×多项式 例： 利用乘法分配律，化为单项式×单项式 多项式×多项式 例： 1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定. 2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项. 单项式÷单项式 例： 运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号. 多项式÷单项式 例： 1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项； 2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化. 1．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 4．（2024·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 题型06 乘法公式的应用 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 24．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 题型07 整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法/间接代入法求值， [整体代入法]从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. [间接代入法] 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. [赋值法]给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 1．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 4．（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． 5．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 6．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 题型08 整式的混合运算 1．（2022·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：． 3．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 题型09 判断因式分解的正误 1．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A．3 B． C．9 D． 题型10 因式分解 1．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 3．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ． 题型11 因式分解的应用 1．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 2．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：． ①若，则 ． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 4．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 命题点二 规律探索及新定义问题 题型01 图形类规律探索 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 题型02 数字类规律探索 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 题型03 数式中的新定义问题 解题方法：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度. 1．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 2．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ． 4．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ． 5．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）． $$第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 （思维导图+4考点+2命题点14种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！55 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式 考点二 整式的相关概念 考点三 整式的运算 考点四 因式分解 04题型精研·考向洞悉 命题点一 整式及其相关计算 题型01 实际问题中的代数式. 题型02 求代数式的值. 题型03 整式的加减 题型04 幂的混合运算 题型05 整式的乘除 题型06 乘法公式的应用 题型07 整式的化简求值 题型08 整式的混合运算 题型09 判断因式分解的正误 题型10 因式分解 题型11 因式分解的应用 命题点二 规律探索及新定义问题 题型01 图形类规律探索 题型02 数字类规律探索 题型03 数式中的新定义问题 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 列代数式 ★ 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 代数式求值 ★★ 将具体数代入代数式进行计算 整式的加减 ★★ 1. 了解整数指数罪的意义和基本性质； 2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 3. 能进行简单的整式加减乘除运算； 4. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理； 5.灵活运用多种方法化简代数式. 幂的运算 ★★ 整式的乘除 ★★ 整式的混合运算 ★★★ 因式分解 ★★★ 能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数). 【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底. 02知识导图·思 03考点突破·考 考点一 代数式 1. 列代数式 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 2. 代数式的值 定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式的意义表述正确的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据中的运算关系解答即可． 【详解】解：代数式的意义可以是与x的积． 故选C． 2．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 5．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； 考点二 整式的相关概念 1. 单项式 单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关. 例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14. 2. 多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项. 多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； 2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 3. 整式 定义：单项式与多项式统称为整式. 1．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 2．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的次数是：， 故答案为：． 3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 5．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ，4，，16，，64，……① 0，7，，21，，71，……② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ． 【答案】 1024 【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为； 第二行数的规律为， ∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为， ∴， 故答案为：1024；． 【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型. 考点三 整式的运算 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 3. 去括号与添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 4. 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 5. 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） 2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） 注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”． 3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） 4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 6. 整式的乘除 1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. 3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 【易错易混】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 5）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 7. 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的推导 ①用多项式的乘法推导平方差公式 ②通过面积法推导平方差公式： 如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到. 【补充】常见验证平方差公式的几何图形 3）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： ① ② ③ ④ ⑤ 4）完全平方公式的推导 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： ①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到； ②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到. 8. 整式的混合运算 定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 1．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 4．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 5．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 考点四 因式分解 1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 2. 公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 3. 提公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 4. 公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 5. 因式分解的一般步骤： 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【详解】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法． 20．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 5．（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键． 4题型精研·考 命题点一 整式及其相关计算 题型01 实际问题中的代数式. 代数式的书写要求： 1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号. 2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写. 3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数. 4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位. 1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解． 【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元 故选C 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 2．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 【答案】 4 1 【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可 ②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可 ③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可 【详解】答题空1： 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 依题意： 解得： 故答案为：4 答题空2： 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 第一次变化后，乙比甲多： 故答案为： 答题空3： 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子 则： 故答案为：1 【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法 4．（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金． (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？ 【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为元 (2)她应获得元的报酬 【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为元，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出代数式即可． 【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得： ， 解得：； ∴这台M型平板电脑的价值为元； （2）解：由题意，得：； 答：她应获得元的报酬． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 题型02 求代数式的值. 求代数式的值的步骤： 1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； 2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 1．（2024·四川·中考真题）已知，那么的值是 ． 【答案】1 【分析】把所求代数式进行适当变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是求代数式的值，关键是利用整体思想把看成一个整体，然后把所求代数式进行变形求值即可． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 4．（2023·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，和是一元二次方程的两根时，．先将方程化为一般式，再直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由可得：， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型03 整式的加减 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 4．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 题型04 幂的混合运算 计算时可能用到以下公式： 1) 2） 3) 4) 5) 【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算. 1．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（2024·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 3．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型05 整式的乘除 整式的乘除法 单项式×单项式 例： 系数相乘，字母相乘 单项式×多项式 例： 利用乘法分配律，化为单项式×单项式 多项式×多项式 例： 1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定. 2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项. 单项式÷单项式 例： 运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号. 多项式÷单项式 例： 1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项； 2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化. 1．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 2．（2024·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选B． 3．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（2024·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶ （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06 乘法公式的应用 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为． 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 24．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键． 4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 题型07 整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法/间接代入法求值， [整体代入法]从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. [间接代入法] 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. [赋值法]给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 1．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 4．（2023·四川凉山·中考真题）已知，则的值等于 ． 【答案】2023 【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【详解】解：由得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键． 5．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键． 6．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 题型08 整式的混合运算 1．（2022·江苏无锡·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2a+3b 【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解； （2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式= = =1； （2）解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b =2a+3b． 【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键． 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析 (2)8109或8190或4536或4563． 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M． 【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵，， ∴1022不是“勾股和数”； ∵， ∴5055是“勾股和数”； （2）∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，或，，此时或8190； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或8190或4536或4563． 【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． 题型09 判断因式分解的正误 1．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可． 【详解】解：①，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解； ②，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算； 故选：C． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）将多项式“”因式分解，结果为，则“？”是（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式和因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．利用平方差公式计算，根据对应项相等即可求出答案． 【详解】， 所以“？”是9． 故选C． 题型10 因式分解 1．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为， ∴这个多项式可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键． 3．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型11 因式分解的应用 1．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 2．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：． ①若，则 ． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个 【答案】 【分析】①把代入求值即可； ②由题意知：均为整数， ，则再分三种情况讨论即可． 【详解】解：①当时，， 解得：； ②当m、、为正整数时， 均为整数， 而 或或， 或或， 当时，时，；时，， 故为，共2个； 当时，时，；时，，时， 故为，共3个； 当时，时，；时，， 故为，共2个； 综上所述：共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 4．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3)，9 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 命题点二 规律探索及新定义问题 题型01 图形类规律探索 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 3．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ (2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)36；120； (2)不能 (3)一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 题型02 数字类规律探索 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 3．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】 【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可． 【详解】解：系数为，次数为1； 系数为，次数为2； 系数为，次数为3； 系数为，次数为4； 第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n， ∴第n个单项式为：． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键． 4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 题型03 数式中的新定义问题 解题方法：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度. 1．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 2．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 3．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 4．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解． 【详解】设，则（，） 由题意得：， ∵，“方减数”最小， ∴， 则，， ∴， 则当时，最小，为， 故答案为：； 设，则（，） ∴ ∵除以余数为， ∴能被整除 ∴为整数， 又（为整数） ∴是完全平方数， ∵， ∴最小为，最大为 即 设，为正整数， 则 当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则，则是完全平方数， 经检验，当时，，，， ∴， ∴ 故答案为：，． 5．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的． 【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的； ，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的； ， 2的乘方的个位数字4个一循环， ， 的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的； ，，且 ，故QGYW（强国有我）的理解是正确的； 故答案为：DDDD． 【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键． $$null