第02讲 整式与因式分解（练习，18题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 实际问题中的代数式 👉题型02 求代数式的值 👉题型03 整式的相关概念 👉题型04 整式的加减 👉题型05 幂的混合运算 👉题型06 整式的乘除 👉题型07 利用乘法公式变形求解 👉题型08 乘法公式的应用 👉题型09 整式的化简求值-直接代入法 👉题型10 整式的化简求值-整体代入法 👉题型11 整式的混合运算 👉题型12 判断因式分解的正误 👉题型13 因式分解 👉题型14 因式分解的应用 👉题型15 判断整式运算或因式分解的错误步骤 👉题型16 图形类规律探索 👉题型17 数字类规律探索 👉题型18 数式中的新定义问题 👉题型01 实际问题中的代数式 1．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 2．（2023·安徽池州·一模）某产品的成本价为元，销售价比成本价增加了，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（    ） A．am B．10am C．15am D．25am 4．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元． (1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表． 表一： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台 租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台 表二： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用甲种货车的费用/ 元 租用乙种货车的费用 / 元 (2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由． 👉题型02 求代数式的值 1．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ． 2．（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ． 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 4．（2024·湖南·模拟预测）已知，则 ． 5．（2024·北京·模拟预测）已知∶，求代数式的值． 👉题型03 整式的相关概念 1．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式的系数是，次数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·云南楚雄·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，……第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·海南·模拟预测）多项式是（    ） A．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式 4．（2024·江西九江·三模）若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是 ． 👉题型04 整式的加减 1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是 ． 4．（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式M； (2)若，请比较与N的大小，并说明理由． 5．（2024·河北秦皇岛·一模）已知整式，其中“★”处的系数被墨水污染了．当，时，该整式的值为． (1)则★所表示的数字是多少？ (2)嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由． 👉题型05 幂的混合运算 1．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北襄阳·模拟预测） ． 4．（2024·广东江门·一模）计算： (1)； (2)． 👉题型06 整式的乘除 1．（2024·陕西渭南·模拟预测）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河北·模拟预测）已知一台计算机的运算速度为次/秒，这台计算机秒运算的次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中，． 5．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 👉题型07 利用乘法公式变形求解 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知，则 ． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若是方程的两个根，则 ． 3．（2024·浙江宁波·二模）已知，，则 ． 4．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考： 若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算： 已知，．求代数式的值． 👉题型08 乘法公式的应用 1．（2024·广西南宁·模拟预测）阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 2．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 3．（2024·河北石家庄·二模）现有如图1所示的甲、乙、丙三种卡片，卡片的边长如图所示.如图2，用1张甲、1张乙和2张丙卡片可以拼成一个边长为的正方形，用两种方式表示该正方形面积可以得到等式：，也就验证了完全平方公式. 【发现】 （1）如图3，嘉淇用这三种卡片拼成一个长为，宽为的矩形，仿照例子写出一个关于，的等式； （2）嘉淇还发现拼成矩形所需卡片的张数和整式的乘法计算结果中各项的系数有关.根据嘉淇的发现，若要用这三种卡片拼成一个长为，宽为的矩形，不画图形，试通过计算说明需要丙种卡片多少张？ 【应用】 （3）现用甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片张（为正整数），拼成一个矩形，直接写出所有可能的值.    4．（2023·山东青岛·二模）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例： 实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由得，化简得：．    实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上载取，则的长就是该方程的一个正根（如实例图二）．    根据以上阅读材料回答下面的问题： (1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；    (2)如图2，利用欧几里得的方法求方程的一个正根．    (3)如图3，已知，为直径，点C为圆上一点，过点C作于点D，连接，设，，请利用图3证明：．    👉题型09 整式的化简求值-直接代入法 1．（2024·广东汕头·一模）已知，则的值为 ． 2．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 3．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：， 其中，． 4．（2024·广东东莞·一模）求代数式的值，其中 👉题型10 整式的化简求值-整体代入法 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ． 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）若，则的值为 ． 3．（2024·福建福州·模拟预测）若实数m满足，则的值是 ． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 👉题型11 整式的混合运算 1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 3．（2024·河北邯郸·二模）数学课上，老师给出一个整式（其中a，b为常数，且表示系数），然后让同学给a，b赋予不同的数值进行探究． (1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为，请分别求出甲同学给出的a，b的值； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数． 4．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 👉题型12 判断因式分解的正误 1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2022·河北·一模）下列关于的叙述，错误的是（    ） A．的次数是1 B．表示a的4倍与2的和 C．是多项式 D．可因式分解为 3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 4．（2023·河北石家庄·二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题： (1)是因式分解的_________（在括号内写序号）； (2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？ 👉题型13 因式分解 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 👉题型14 因式分解的应用 1．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 3．（2024·山西运城·模拟预测）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 4．（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如： 第1个数：． 第2个数：． 第3个数：． … (1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？ (2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”． 👉题型15 判断整式运算或因式分解的错误步骤 1．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务． （1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式． 任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”） 任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案． 任务三：计算：． 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 3．（2022·山西大同·二模）（1） （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式             第一步                                     第二步                                    第三步 任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是___________法． 任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________． 任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 4．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ①              ②                ③ 小禾的检验： 当，时，                   ∵ ∴分解因式错误 任务： (1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 👉题型16 图形类规律探索 1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（    ） A．100 B．110 C．55 D．50 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 3．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．      4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 👉题型17 数字类规律探索 1．（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 2．（2024·山西·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即．请你推算的个位数字是 ． 3．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 4．（2024·安徽·模拟预测）【观察·发现】给出一些按一定规律排列的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【归纳·证明】根据上述等式的规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)试猜想第n个等式，并证明．（用含n的式子表示，n为正整数） 👉题型18 数式中的新定义问题 1．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北保定·一模）定义一种新运算，规定，例． (1)已知，，分别求A，B； (2)通过计算比较A与B的大小． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 4．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 1．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 2．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 4．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 3．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a⁵的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 7．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 8．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 9．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足，则 ． 12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 13．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 14．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则 ． 15．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）． 三、解答题 16．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 18．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 19．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 20．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． $$第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 实际问题中的代数式 👉题型02 求代数式的值 👉题型03 整式的相关概念 👉题型04 整式的加减 👉题型05 幂的混合运算 👉题型06 整式的乘除 👉题型07 利用乘法公式变形求解 👉题型08 乘法公式的应用 👉题型09 整式的化简求值-直接代入法 👉题型10 整式的化简求值-整体代入法 👉题型11 整式的混合运算 👉题型12 判断因式分解的正误 👉题型13 因式分解 👉题型14 因式分解的应用 👉题型15 判断整式运算或因式分解的错误步骤 👉题型16 图形类规律探索 👉题型17 数字类规律探索 👉题型18 数式中的新定义问题 👉题型01 实际问题中的代数式 1．（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（  ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折 C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10% 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】解：设原件为x元， 选项A：∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为元， 选项B：∵先提价10%，再打八折， ∴调价后的价格为元， 选项C：∵先提价30%，再降价35%， ∴调价后的价格为元， 选项D：∵先打七五折，再提价10%， ∴调价后的价格为元， ∵ 故选：D 2．（2023·安徽池州·一模）某产品的成本价为元，销售价比成本价增加了，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据售价与成本价之间的数量关系得到销售价，再根据销售价的八折得到实际售价． 【详解】解：∵产品的成本价为元，销售价比成本价增加了， ∴产品销售价为：元， ∵因库存积压，按销售价的八折出售， ∴产品的实际售价为：元． 故选． 【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 3．（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（    ） A．am B．10am C．15am D．25am 【答案】D 【分析】根据“路程=速度×时间”计算即可． 【详解】解：根据题意，小高同学步行的速度为每分钟am，较之前步行去城市运动中心少走了25min， 则少走的路程是：m． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的应用，解题关键是读懂题意，找准解题所需信息． 4．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元． (1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表． 表一： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台 租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台 表二： 租用甲种货车的数量 / 辆 租用甲种货车的费用/ 元 租用乙种货车的费用 / 元 (2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由． 【答案】(1)表一：，，，；表二：，，， (2)甲种货车辆，乙种货车辆 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和不等式． （1）根据计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，可以分别把表一和表二补充完整； （2）由（1）中的数据和公司有台机器需要一次性运送到某地，列出不等式，求出，结合一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 在表一中，当甲车辆时，运送的机器数量为：（台）， 则乙车辆，运送的机器数量为：（台）， 当甲车辆时，运送的机器数量为：（台）， 则乙车辆，运送的机器数量为：（台）， 在表二中，当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元）， 则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元）， 当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元）， 则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元）， 故答案为：表一：，，，； 表二：，，，． （2）解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车辆，乙车辆， 理由：当租用甲种货车辆时，设两种货车的总费用为元， 则两种货车的总费用为：， 又∵， 解得：， ∵， ∴在函数中，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车辆，乙种货车辆． 👉题型02 求代数式的值 1．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把进行因式分解，然后，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴原式， 故答案为：． 2．（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方和绝对值的非负性求出、的值，然后代值计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 先根据算术平方根的定义求出、的值，然后即可求出的值． 【详解】解：是的算术平方根， ， 又的算术平方根是， ， ， 故答案为：． 4．（2024·湖南·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入法是解题关键．由可得，再整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．（2024·北京·模拟预测）已知∶，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先由，由，然后将化简为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 原式   ． 👉题型03 整式的相关概念 1．（2024·内蒙古包头·三模）若单项式的系数是，次数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得、的值，进而可得的值．解题的关键是掌握单项式的相关定义． 【详解】解：∵单项式的系数是，次数是， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：D． 2．（2024·云南楚雄·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，……第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可． 【详解】解：解：∵， ， ， ， …… 由上可知，第n个单项式是：． 故选：B． 3．（2023·海南·模拟预测）多项式是（    ） A．三次三项式 B．二次三项式 C．三次二项式 D．二次二项式 【答案】A 【分析】本题考查多项式的项数和次数，根据多项式的项数为单项式的个数，次数为最高项的次数，进行作答即可． 【详解】解：多项式是三次三项式； 故选A． 4．（2024·江西九江·三模）若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 👉题型04 整式的加减 1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“2 ”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算等知识．正确表示新矩形的长和宽是解题的关键． 由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为，则新矩形的长为，宽为，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，剪下的两个小矩形的长为，宽为， ∴新矩形的长为，宽为， ∴新矩形的周长可表示为， 故选：C． 2．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案． 【详解】解：∵与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ， ∴， 故答案为：1． 3．（2024·山东临沂·模拟预测）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．先逐步操作前几次，找到规律，再计算即可． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到的整式串，，，，，，； 第6次操作后得到的整式串，，，，，，，； 第7次操作后得到的整式串，，，，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故答案为：． 4．（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式M； (2)若，请比较与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N． （2）写出确定的，即可得出结论． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． 5．（2024·河北秦皇岛·一模）已知整式，其中“★”处的系数被墨水污染了．当，时，该整式的值为． (1)则★所表示的数字是多少？ (2)嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)嘉淇的说法是正确的，理由见解析． 【分析】（）把，代入整式得，解之即可求解； （）把（）中所得的结果代入整式，化简后再利用完全平方公式即可求解； 本题考查了整式的运算，完全平方公式，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 即， 解得； （2）解：嘉淇的说法是正确的，理由如下： 由（）求得的结果可得该整式为 ， ∵， ∴， ∴嘉淇的说法是正确的． 👉题型05 幂的混合运算 1．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， A、，故A符合题意； B、和不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 2．（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 3．（2023·湖北襄阳·模拟预测） ． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 4．（2024·广东江门·一模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算，实数混合运算； （1）先计零指数幂，化简二次根式，负整数幂，代入三角函数值，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 👉题型06 整式的乘除 1．（2024·陕西渭南·模拟预测）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查单项式乘多项式、幂的运算、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据单项式乘多项式、积的乘方、合并同类项及同底数幂的除法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，不是同类项，不能合并，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·河北·模拟预测）已知一台计算机的运算速度为次/秒，这台计算机秒运算的次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法以及同底数幂的乘法．根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故选：D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．（2023·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，最后代入x，y计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 5．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 👉题型07 利用乘法公式变形求解 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知，则 ． 【答案】4或64/64或4 【分析】先根据完全平方公式求出的值，再将要求的代数式利用完全平方公式变形，最后代入求值即可． 本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： 即 当时，原式， 当时，原式， 综上，的值为4或64， 故答案为：4或64． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则、. 根据一元二次方程根与系数的关系可得、，然后根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴、， ∴． 故答案是：2024． 3．（2024·浙江宁波·二模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据，推出，求出，结合，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； 故答案为：． 4．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考： 若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算： 已知，．求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式得出，代入已知数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 👉题型08 乘法公式的应用 1．（2024·广西南宁·模拟预测）阅读材料： 例：求代数式的最小值． 解：． 可知：当时，有最小值，最小值是． 根据上面的方法可求多项式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法求多项式的最值，读懂题意，利用完全平方公式配方将多项式化为，利用代数式的非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 多项式的最小值是， 故答案为：． 2．（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动： （1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 知识运用： （4）用合理的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解； （2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可； （4）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即， 故答案为：． （2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是， 故答案为：． （3）解：根据阴影部分面积相等可得：， 故答案为：． （4）解： ． 3．（2024·河北石家庄·二模）现有如图1所示的甲、乙、丙三种卡片，卡片的边长如图所示.如图2，用1张甲、1张乙和2张丙卡片可以拼成一个边长为的正方形，用两种方式表示该正方形面积可以得到等式：，也就验证了完全平方公式. 【发现】 （1）如图3，嘉淇用这三种卡片拼成一个长为，宽为的矩形，仿照例子写出一个关于，的等式； （2）嘉淇还发现拼成矩形所需卡片的张数和整式的乘法计算结果中各项的系数有关.根据嘉淇的发现，若要用这三种卡片拼成一个长为，宽为的矩形，不画图形，试通过计算说明需要丙种卡片多少张？ 【应用】 （3）现用甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片张（为正整数），拼成一个矩形，直接写出所有可能的值.    【答案】（1）；（2）需要丙种卡片3张；（3）4或5 【分析】此题考查多项式的乘法与图形的面积，数形结合是解题的关键. （1）由图3，用两种方法表示矩形的面积，即可得到答案； （2）由及每张丙种卡片的面积为，即可得到答案； （3）甲卡片面积为，系数为1，乙种卡片4张，面积为，系数为4，丙种卡片张，即的系数为m,分两种情况进行解答即可. 【详解】（1）嘉淇用这三种卡片拼成一个长为，宽为的矩形，则面积表示为，还可以看作2张甲、2张乙和4张丙卡片拼成的，则面积表示为， ∴； （2）由题意可知矩形的面积为， ∵每张丙种卡片的面积为， ∴需要丙种卡片3张； （3）甲种卡片1张，乙种卡片4张，丙种卡片张（为正整数），拼成一个矩形，可知，甲卡片面积为，系数为1，乙种卡片4张，面积为，系数为4，丙种卡片张，即的系数为m, ∴矩形的面积为：①，即， ②，即， 综上可知，所有可能的值为4或5. 4．（2023·山东青岛·二模）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例： 实例一：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之…，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如实例图一），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．他利用直角边为a和b，斜边为c的四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形（如实例图一），由得，化简得：．    实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上载取，则的长就是该方程的一个正根（如实例图二）．    根据以上阅读材料回答下面的问题： (1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是______．乙图要证明的数学公式是______；    (2)如图2，利用欧几里得的方法求方程的一个正根．    (3)如图3，已知，为直径，点C为圆上一点，过点C作于点D，连接，设，，请利用图3证明：．    【答案】(1)完全平方公式，平方差公式 (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）利用面积法解决问题即可； （2）如图2，由勾股定理求得的长，即可求得的长，即可解决问题； （3）如图3，证明，可得，再由勾股定理可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴， ，， ∴，即， ∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式， 故答案为：完全平方公式，平方差公式； （2）解；如图，由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴方程的一个正根为：；    （3）解：连接、，∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在中，， ∴，即， 又∵， ∴．    【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，理解题意，学会利用面积法解决问题，学会用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 👉题型09 整式的化简求值-直接代入法 1．（2024·广东汕头·一模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根以及平方的非负性，已知字母的值求代数式的值，据此列式，算出的值，再代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 2．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 3．（2024·吉林长春·三模）先化简，再求值：， 其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．（2024·广东东莞·一模）求代数式的值，其中 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 👉题型10 整式的化简求值-整体代入法 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：5． 2．（2023·江苏盐城·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代数式的值，先整理得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴ 把代入， 得 故答案为：0 3．（2024·福建福州·模拟预测）若实数m满足，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用整式的混合运算法则对代数式进行变形成为解题的关键． 由可得，再计算并将整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为1． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 则， ∴ 故答案为： 👉题型11 整式的混合运算 1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法公式及加减运算，根据完全平方公式和平方差公式及整式加减运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键． （1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可； （2）根据a，b互为相反数，得，代入第（1）问化简的式子即可求解． 【详解】（1） （2） a，b互为相反数， ， ． 3．（2024·河北邯郸·二模）数学课上，老师给出一个整式（其中a，b为常数，且表示系数），然后让同学给a，b赋予不同的数值进行探究． (1)甲同学给出一组数据，最后计算结果为，请分别求出甲同学给出的a，b的值； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握整数的混合运算步骤，特别是公式法是解题的关键． （1）根据题意得出，化简再利用待定系数法求解即可； （2）代入化简，然后配方成完全平方式证明即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 化简，得：， 即， ∴，且， ∴，； （2）当，时， = = =， 即该整式的结果为非负数． 4．（2024·河北张家口·三模）如图1，2，约定：上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式． (1)求代数式； (2)嘉嘉说，无论取什么值，的值一定大于的值，嘉嘉的说法是否正确？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法正确，理由见解析； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，平方差公式的应用，理解题意是关键； （1）根据加法的意义列式计算即可； （2）先求解，再计算与0比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）嘉嘉的说法正确；理由如下： 由题意可得： ， ∵ ， ∴． 👉题型12 判断因式分解的正误 1．（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：选项A，B中的等式不成立； 选项C中，，正确． D选项中，多项式在实数范围内不能因式分解； 故选C． 2．（2022·河北·一模）下列关于的叙述，错误的是（    ） A．的次数是1 B．表示a的4倍与2的和 C．是多项式 D．可因式分解为 【答案】D 【分析】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案． 【详解】解：A.的次数是1，故答案正确； B .表示a的4倍与2的和，故答案正确； C. 是多项式，故答案正确； D. 进行因式分解为：，故答案错误； 故选D． 【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的条件是解题的关键． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可． 【详解】解：①，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解； ②，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算； 故选：C． 4．（2023·河北石家庄·二模）数学学习中常见互逆运算，例如加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，分解因式和整式乘法也是互逆运算．请回答下列问题： (1)是因式分解的_________（在括号内写序号）； (2)小红是一名密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：四、爱、学、中、我、十．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是哪四个字？ 【答案】(1)②③ (2)我爱四十 【分析】（1）根据因式分解的定义即可求解； （2）观察式子特点，首先提取公因式将待求式变形，接下来根据平方差公式进行分解因式，将结果与已知中所表示的意义相结合即可解答本题． 【详解】（1）解：②③ （2）解：提取公因式，利用平方差公式得：， 所以对应的四个字可能是“我爱四十”． 【点睛】本题主要考查了因式分解法的应用，掌握公式法分解因式是解题的关键． 👉题型13 因式分解 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）把分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式分解因式得到结果，即可做出判断． 【详解】解：原式 ． 故选：C 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查利用提公因式法及公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题关键． 先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，提公因式法进行因式分解等知识．熟练掌握完全平方公式，提公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据完全平方公式，提公因式法进行因式分解，求解作答即可． 【详解】解：方法一： ． 方法二： ． 👉题型14 因式分解的应用 1．（2024·山西长治·模拟预测）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解并作答即可． 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 2．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程-公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义． (为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ， ， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ， ∵为正奇数， ∴为整数， ∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数， ， ∵ ∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数 ∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ， ∴当时，的最大值是485， ∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 3．（2024·山西运城·模拟预测）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则解得：或， 即为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 4．（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如： 第1个数：． 第2个数：． 第3个数：． … (1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？ (2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)不是， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解一元一次方程等知识点，掌握“好数”的定义成为解题的关键． （1）因式分解可得，再结合为奇数即可证明结论； （2）令,解得：.易得2024不是“好数”，再取,代入即可解答． 【详解】（1）解: 这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数,理由如下：. ∵为奇数, ∴由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数. （2）解：令,解得：. ∵不为整数， ∴2024不是“好数”. 取,代入得2020, ∴小于2024的最大“好数”是2020． 👉题型15 判断整式运算或因式分解的错误步骤 1．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务． （1）计算：． 解：原式． （2）计算：． 解：原式． 任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”） 任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案． 任务三：计算：． 【答案】任务一：平方差公式；任务二：不正确，；任务三：． 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算和掌握平方差公式是解题的关键． 任务一：根据解题过程，可以判断①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式； 任务二：式子不符合平方差公式，用多项式乘多项式计算即可求解； 任务三：利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式； 故答案为：平方差公式； 任务二：小华（2）的解答是不正确， ； 任务三： ． 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式 (1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示． 在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程； (2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值． 【答案】(1)①；过程见解析 (2)淇淇说得对， 【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． （1）通过计算化简该算式进行判断、求解； （2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别． 【详解】（1）出现错误的是①， ∵ 出现错误的是①， 故答案为：①； （2）淇淇说得对， 当a与b互为相反数时， 多项式 ； 当a与b互为倒数时， 多项式 淇淇说得对． 3．（2022·山西大同·二模）（1） （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式             第一步                                     第二步                                    第三步 任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是___________法． 任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________． 任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）0；（2）任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或还可以进行因式分解）；任务三： 【分析】（1）先根据绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值进行化简，然后再进行运算即可； （2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法； 任务二：小明因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解； 任务三：原式 = 故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a2−b2还可以进行因式分解）；任务三：8(a+b)(a−b)． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握实数混合运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． 4．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ①              ②                ③ 小禾的检验： 当，时，                   ∵ ∴分解因式错误 任务： (1)小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)②，y与合并同类项计算错误 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解时，减去时，合并同类项出错； （2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与合并同类项计算错误； 故答案为：②，y与合并同类项计算错误； （2）解：正确的因式分解过程如下： ． 👉题型16 图形类规律探索 1．（2024·贵州贵阳·一模）如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当时，三角数为1，当时，三角数为3，则当时，三角数为（    ） A．100 B．110 C．55 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是根据题目中的图形，可以发现正三角数的变化情况，从而可以求得第10个图案中的三角数． 【详解】解：当时，三角数为1， 当时，三角数为， 当时，三角数为， 当时，三角数为， ， 当时，三角数为， 故选：C． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 【答案】22 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故答案为：22． 3．（2024·山西·模拟预测）榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n个连接结构时，总长度为 ．      【答案】/ 【分析】本题考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为，因此得到当连接结构数为n时，总长度为． 【详解】解：当连接结构数为1时，总长度为，当连接结构数为2时，总长度为，则每增加1个连接结构，总长度增加，结合图可知，每个连接结构的长度为， ∴当连接结构数为1时，总长度为， 当连接结构数为2时，总长度为， 当连接结构数为n时，总长度为， 故答案为：． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)n的值为6 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题； （2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题； （3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为； 第2个图案中“☆”的个数为； 第3个图案中“☆”的个数为； …… 第n个图案中“☆”的个数为； 即图案5中“☆”的个数为 故答案为： （2）由题知， 第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； …… 第个图案中“★”的个数为； 故答案为：． （3）由题知， ， 解得或6， 因为为正整数， 所以． 故正整数的值为6． 👉题型17 数字类规律探索 1．（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查找规律，根据所给的这列数，将他们形式化统一，从符号、分子、分母三个方面找寻规律即可得到答案，熟练掌握常见数字规律是解决问题的关键． 【详解】解：一列数 符号规律：奇数项为正、偶数项为负，故； 分子规律：从第二项开始，后一项与前一项的差是4，故； 分母规律：； 综上所述，这列数的规律是， 故答案为：． 2．（2024·山西·模拟预测）在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即．请你推算的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得个位数字每四个数按，，，循环出现，结合，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，个位数字每四个数按，，，循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，是， 故答案为：． 3．（2024·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．    根据此规律确定a的值为 ，b的值为 ，x的值为 ． 【答案】 9 10 69 【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 ， 解得：， ． ． 4．（2024·安徽·模拟预测）【观察·发现】给出一些按一定规律排列的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【归纳·证明】根据上述等式的规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)试猜想第n个等式，并证明．（用含n的式子表示，n为正整数） 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 【详解】（1）解：依题意，第3个等式：； ∴第4个等式：； ∴第5个等式：； 故答案为： （2）解：依题意，第个等式：，证明如下： 证明：左边 ， 右边 左边右边． 等式成立． 👉题型18 数式中的新定义问题 1．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】根据新定义运算， 可得， 故原式 故选． 2．（2024·河北保定·一模）定义一种新运算，规定，例． (1)已知，，分别求A，B； (2)通过计算比较A与B的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，加减运算及平方差公式，正确理解题目中给出的运算符号是解题关键． （1）根据题目中给出的新运算符号的意义，进行解答即可； （2）根据题目中给出的新运算符号的意义，算出A、B的结果再相减进行比较即可． 【详解】（1）解：． ． （2）解：， ∵， ∴． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】 如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作． 【尝试应用】 （1）_______； 【拓展提升】 （2）若均为整数，且，求证：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 4．（2024·浙江·模拟预测）对于实数，定义新运算“”，规定如下： 如 (1)求的值； (2)若为某一个实数，记的值为，的值为，请你判断的值是否与的取值有关？并给出证明． 【答案】(1)3⊕5的值是19 (2)的值是否与的取值无关，证明见解析 【分析】此题考查了整式加减方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、辨别． （1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出，的值，再通过计算进行辨别． 【详解】（1）由题意得， 3⊕ ， 即3⊕5的值是19； （2）的值是否与的取值无关， 证明：由题意得， ⊕3 ； ⊕ ， ， 的值是否与的取值无关． 1．（2023·四川德阳·中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式中m，n，； 第2次操作后得到整式中m，n，，； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（    ） A． B．m C． D． 【答案】D 【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，； 第2次操作后得到整式串m，n，，； 第3次操作后得到整式串m，n，，，； 第4次操作后得到整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到整式串m，n，，，，，； 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为， 故选D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键． 2．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 3456 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 4．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)猜想结论：，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； （2）猜想结论： 证明： ； （3） ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】根据得到，再将整体代入中求值． 【详解】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 3．（2024·海南·中考真题）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（2024·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； ，故B选项符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2023·吉林·中考真题）下列各式运算结果为a⁵的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．和不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； C．，故该选项符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选：C 6．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 8．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 9．（2024·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 10．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 二、填空题 11．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足，则 ． 【答案】16 【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：16． 【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键． 12．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 13．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 14．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 15．（2024·四川德阳·中考真题）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是 （填上一个数字即可）． 【答案】1/8 【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8． 【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入． 位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8． 故答案为：1（或8）． 三、解答题 16．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可； 【详解】解： ， 当时， 原式； 17．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1)写出的结果． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干的规律求解即可； （2）根据题干的规律求解即可； （3）将因式分解，展开化简求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律． 18．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 19．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 20．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1．    (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）由正方形的面积为1则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （2）与（1）相似，由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （3）由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； （3）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． $$