4.4.1方程的根与函数的零点（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.4.1方程的根与函数的零点 题型一 求函数的零点 1．函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （多选题）2．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 （多选题）3．设函数，则下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C．当函数的值域为时，其定义域是 D．函数有两个零点1和 （多选题）4．函数的零点为（   ） A． B．1 C． D．3 5．函数的零点为 . 6．函数的零点是 ． 7．设，则方程的解集为 . 8．若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 9．已知二次函数． (1)函数有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由； (2)求函数在时的值域，并简单说明理由． 10．已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 题型二 判断零点所在区间 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知是函数与的交点的横坐标，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的解所在区间为，则= . 7．已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y 2.2 4.6 8.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 . 题型三 由函数零点求参数 1．若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则方程的所有根之和为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 4．若函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 5．已知函数恰有一个零点，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 9．已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） (3)写出解不等式的解集． 1．表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ． 2．函数的零点在区间，则 . 3．若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 . 4．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 5．设函数. (1)若该函数有且只有一个零点，求的值； (2)当时，求关于的不等式的解集. 6．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在有零点，求实数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.1方程的根与函数的零点 题型一 求函数的零点 1．函数在区间内的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据解析式直接判断单调性，利用零点存在性定理判断零点是否存在. 【详解】由在上单调递增，且， 所以函数在区间内的零点个数是1. 故选：B （多选题）2．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,,因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或;令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解，故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. （多选题）3．设函数，则下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在上单调递减 C．当函数的值域为时，其定义域是 D．函数有两个零点1和 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A；当时，，结合反比例函数的性质可判断B；分和两种情况求解判断CD. 【详解】函数，定义域为， ，则函数是偶函数，故A正确； 当时，，在上单调递增，故B错误； 对于C，函数的值域为时， 若，由于函数在上单调递增，则，解得； 若，由于函数在上单调递减，则，解得， 所以当函数的值域为时，其定义域是，故C正确； 对于D，令，即，当时，，解得； 当时，，解得， 所以函数有两个零点1和，故D正确. 故选：ACD. （多选题）4．函数的零点为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】BD 【分析】由方程直接求函数零点即可. 【详解】由，得或.所以函数的零点为1和3. 故选：BD 5．函数的零点为 . 【答案】2 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得，所以函数的零点为2. 故答案为：2. 6．函数的零点是 ． 【答案】2 【分析】利用零点的定义直接解方程即可. 【详解】令，解之得，所以函数的零点是2. 故答案为： 7．设，则方程的解集为 . 【答案】 【分析】根据绝对值方程的特点，分别求出绝对值内部一次函数的零点，将分成，，和四个部分，分别去掉绝对值，求解方程即得. 【详解】当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，舍去； 当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，故解集为. 综上，方程的解集为. 故答案为：. 8．若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 【答案】 【分析】根据为其中一个零点求出参数的值，即可得到的解析式，再令，即可求出函数的零点. 【详解】因为函数的一个零点为， 所以，解得，所以，令，即，解得或， 所以的零点为和，故另一个零点是. 故答案为： 9．已知二次函数． (1)函数有无零点，若有，求出零点；若没有，说明理由； (2)求函数在时的值域，并简单说明理由． 【答案】(1)函数无零点，理由见解析；(2)值域为，理由见解析. 【分析】（1）令，利用根的判别式判断求解即可； （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）函数无零点，理由如下： 令，由于，则方程无实数根， 所以函数无零点. （2）值域为，理由如下： 因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，，， 所以函数在时的值域为. 10．已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【答案】(1)1，或；(2)；(3). 【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【详解】（1）函数， 当时，由，解得，当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则，故． 题型二 判断零点所在区间 1．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理说明即可． 【详解】因为，，， 又函数在上单调递增，所以，所以函数在存在零点. 故选：B. 2．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断. 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 3．已知函数，则“”是“函数在区间上没有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数零点的定义，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】因为函数在区间上的图象是连续不断的， 当，不能推出函数在区间上没有零点，故充分性不满足； 当函数在区间上没有零点时，可以推出，故必要性满足； 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 5．已知是函数与的交点的横坐标，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A：构建函数，根据单调性和零点存在性定理判断A；根据化简整理即可；对于C：由题意可知，即可得；对于选项D：分析可知，即可得结果. 【详解】对于选项A：令，可知即为的零点 因为，均为定义在上单调增函数，故为定义在上单调增函数， 因为，， 所以函数存在唯一零点，故A正确； 对于选项B：因为，即，两边取对数可得，故B正确； 对于选项C：因为，则， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：因为，则， 可得，所以，故D正确. 故选：C. 6．已知方程的解所在区间为，则= . 【答案】2 【分析】构造函数，代入，再结合零点存在定理解答即可； 【详解】构造函数，则在为增函数，则， 由零点存在定理可得函数的零点在之间，所以， 故答案为：2. 7．已知函数在区间上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： x 0 1 2 3 4 5 y 2.2 4.6 8.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】利用零点存在性定理求解即可, 【详解】由题意得， 故由零点存在性定理知函数在区间上零点的个数至少为3， 故的最小值为3. 故答案为：3 题型三 由函数零点求参数 1．若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根的判别，结合二次函数以及零点存在性定理，可得答案. 【详解】由题意可得方程在上存在一个根，， 由函数，则其对称轴为直线， 当时，，可得，解得； 当时，，可得，显然无解. 综上所述，. 故选：A. 2．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由题意可得的图象与的图象有解，画出的图象，数形结合即可求解. 【详解】设，则.因为方程有解， 所以的图象与的图象有解.当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 作出函数的图象如图所示：   由图可得，的图象与的图象有解，则.故选:D. 3．已知函数，则方程的所有根之和为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】将方程根的问题转化为函数和的图象交点横坐标问题，数形结合即可判断交点个数，再根据对称性求解和即可解答. 【详解】方程的根为函数和的图象交点横坐标， 由函数得， 如下图所示，    两函数图象共有4个交点，且因为， 所以函数与函数的图象关于点中心对称， 故方程的所有根之和为6. 故选：C. 4．若函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合判别式列式求解即可. 【详解】因为函数的图象与轴有两个不同的交点，则，解得或. 故选：A. 5．已知函数恰有一个零点，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】判断的奇偶性，根据恰有一个零点求出. 【详解】，定义域为R， 且，即为偶函数， 其图象关于轴对称，由恰有一个零点，可得，解得. 故选：B. 6．已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出或，然后利用方程的根与函数交点的关系，判断根的个数即可. 【详解】 解得或，画出的函数图象， 的解得个数，可以看作与的交点个数，显然有两个交点； 因为，故与需要有三个交点， 由函数图像可知，解得. 故选：B 【点睛】此题主要考察的是分段函数相关的复合函数的根的个数相关问题，做此类题，大多数都需要数形结合求解. 7．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解. 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点，所以或，解得或,故选：A. 8．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由二次函数和指数函数的性质，讨论与1的关系得到零点的个数即可； 【详解】由题意可得当，即两个零点分别为和， 令，解得， 当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，，只有一个零点，不符合题意； 当时，无零点，要使函数恰有两个零点，需满足，即； 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】（1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，由可得，则有；当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ①当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ②当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使.综上可得，. 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数的由零点个数求参问题，属于难题. 一般先求出每段上函数的零点，结合函数图象，由题意中零点个数分析分段点的临界位置，动态理解图象即可求得参数范围. 10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)已知函数的部分图象如图所示， 请根据条件将图象补充完整，并写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） (3)写出解不等式的解集． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；利用函数是奇函数，求函数的解析式； （2）利用数形结合，转化为与的图象有个交点，从而得解； （3）分，两种情况，数形结合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，    结合图象可知，函数的单调递减区间为和． 因为当时，，所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，所以当 时，， 故的解析式为. （2）解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点， 结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点， 所以. （3） 解：当时，可得，结合图象可得； 当时，可得，结合图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 1．表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】先分情况讨论得出，然后根据单调性得出若，，则，，最后根据基本不等式即得的最小值为16. 【详解】， 当，即时，， 而当，即时，， 即. 作出函数的大致图象如图所示，由于在上递增，在上递减， 从而若，，则，，即. 所以，当，时，等号成立，所以的最小值为． 故答案为：16. 2．函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【分析】根据函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上，所以. 故答案为：2 3．若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】题意转化为方程恰有两个不同的根，即与恰有两个不同的交点，数形结合可求得结果. 【详解】由题意函数恰有两个不同的零点，，且， 即方程恰有两个不同的根，，且显然， 即与恰有两个不同的交点， 设与相切，则有两个等根，由即，解得或. 所以当时，与的图象如图所示， 当时，与的图象如图所示， 所以当时，与恰有两个不同的交点，即方程恰有两个不同的根, 当时，对应的直线与相切，解得切点横坐标为， 当时，对应的直线与相交，解得两交点横坐标为和1， 又，所以函数与恰有两个不同的交点，则. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：函数恰有两个不同的零点，， 即转化为函数与恰有两个不同的交点，数形结合找到相切时的临界情况运算得解. 4．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把函数写成分段函数的形式，根据分段函数的单调性可得实数的取值范围； （2）根据方程恰有三个不相等的实数根，建立条件关系，分类讨论即可求得. 【详解】（1）， 由在上是增函数，则，解得，则取值范围为. （2）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根. 当时，由， 得时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为； 时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为， 在为减函数，此时的值域为； 由存在，方程有三个不相等的实根， 则，即存在，使得即可， 令，只要使即可，而在上是增函数， ，故实数的取值范围为. 综上所述，实数的取值范围为. 5．设函数. (1)若该函数有且只有一个零点，求的值； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)或；(2)答案见解析. 【分析】（1）分和两种情况进行讨论，求出函数只有一个零点时的值. （2）分，和三种情况进行讨论，分别求出不等式的解集即可. 【详解】（1）①当时，函数，显然只有一个零点，故符合题意； ②当时，，解得； 所以该函数有且只有一个零点时，或. （2）等价于，又，令，得或2， ①当，即时，不等式化为，解得； ②当，即时，解得；③当，即时，解得； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 6．已知函数. (1)当时，求不等式的解集；(2)若函数在有零点，求实数. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）令，则，再由，解不等式即可； （2）函数在有零点等价于函数在上有零点，即在上有解，由基本不等式求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，令，则， 当时，，即，即， 由，解得，即，解得， 所以原不等式的解集为. （2）因为函数在上单调递增， 所以函数在有零点等价于函数在上有零点， 由大于1的解，即在上有解， 因为，当且仅当，即时等号成立，得， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$