1.5有理数的混合运算 讲义 2024-2025学年沪教版(上海)六年级数学上册

《有理数的混合运算》 1. 有理数的混合运算 （1）运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号． （2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要变号，即 ，． （3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算． 例题精讲 【例1】 计算：． 【例2】 计算：． 【例3】 计算：． 【例4】 计算：． 【例5】 计算：． 【例6】 计算：． 【例7】 计算：． 【例8】 计算：． 【例9】 计算：． 【例10】 计算：． 【例11】 计算：． 【例12】 计算：． 【例13】 计算：． 【例14】 计算：． 【例15】 计算：． 【例16】 计算：． 【例17】 计算：． 【例18】 计算：． 【例19】 计算：． 【例20】对于有理数a，b，规定一种新的运算“★”：，例：．请用上述规定计算下面各式． （1） ； （2） ． 【难度】★★★ 【例21】先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算： (1)； (2)． 【难度】★★★ 课堂练习 1. 计算：． 2. 计算：． 3. 计算：． 4. 计算：． 5. 计算：． 6. 计算：． 7. 计算：． 8. 计算：． 9. 计算：． 10. 若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝-（y+z），则x+y﹣z＝_____． 作业巩固 1. 计算：． 2. 计算：． 3. 计算：． 4. 计算：． 5. 计算：． 6. 计算：． 7. 计算：． 8. 计算：﹣42＋1÷|﹣|×（﹣2）2 9．计算：______． 10．阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c， a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝_____．【来源：2 1 学科网（北京）股份有限公司 《有理数的混合运算》（解析版） 一、有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算 （1）运算顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号． （2）去括号：括号前带负号，去括号后括号内各项要变号，即 ，． （3）各种运算定律和运算法则都适用于有理数运算． 例题精讲 【例1】 计算：． 解： ； 【总结】本题考查有理数的运算能力，注意掌握运算顺序和去括号法则． 【例2】 计算：． 解： ； 【总结】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【例3】 计算：． 解： ； 【总结】本题考查有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便． 【例4】 计算：． 解： ； 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 【例5】 计算：． 解： ． 【总结】本题考查有理数运算法则，依次从小、中、大括号计算． 【例6】 计算：． 【难度】★★ 解： ． 【例7】 计算：． 解： ． 【总结】本题考查有理数的乘方运算． 【例8】 计算：． ； 【总结】本题考查有理数混合运算． 【例9】 计算：． 【难度】★★ 解：原式 【总结】本题考查有理数混合运算． 【例10】 计算：． 【难度】★★ 原式= ； 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 【例11】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】原式． 【总结】本题考查有理数的混合运算，注意运算的顺序和运算符号的判定． 【例12】 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】原式． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 【例13】 计算：． 【难度】★★ ． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减． 【例14】 计算：． 解： ； 【总结】本题主要考查有理数的乘方运算，注意法则的准确运用． 【例15】 计算：． 【难度】★★ 解：原式 ； 【总结】本题考查有理数混合运算． 【例16】 计算：． 解： ． 【总结】本题的关键是将算式中的带分数进行合适的分解，然后进行巧算． 【例17】 计算：． 解： ． 【总结】本题是有理数的混合运算的题目，主要考查了学生对有理数的混合运算法则的掌握 情况，让学生学会运用法则来解题，提高学生的解题能力． 【例18】 计算：． 解： ． 【例19】 计算：． 【难度】★★ 【答案】38 【解析】原式． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减． 【例20】 计算：． 解： ； 【例21】对于有理数a，b，规定一种新的运算“★”：，例：．请用上述规定计算下面各式． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义可得，进行计算即可； （2）先求，再求，即可求解． 【解析】解：（1） ； 故答案：； （2） ， ； 所以； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的含有乘方的有理数混合运算，理解新定义，根据有理数运算法则进计算是解题的关键． 【例22】先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算： (1)； (2)． 【分析】（1）根据题干总结的规律进行计算即可； （2）根据，，…，得到的规律进行计算即可． 【解析】（1）解：根据上述解法可得： ； （2）∵，，…，， 所以 = = =． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的规律探究及运用，熟练的利用规律进行计算是解本题的关键． 课堂练习 【习题1】 计算：． 解：原式 ， ， ； 【习题2】 计算：． 解：原式 ， ， ． 【习题3】 计算：． 【难度】★★ 原式 ． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 【习题4】 计算：． 解： ． 【习题5】 计算：﹣22×5﹣（﹣2）3÷4﹣2． 【难度】★★ 解： ． 【习题6】 计算：． 【难度】★★ 解： = = =； 【习题7】 计算：． 【难度】★★ 解：原式 【总结】本题关键是把三个带分数化成整数加上一个真分数，再利用乘法分配律进行简化． 【习题8】 计算： 【难度】★★ 解：原式 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 9. 计算：． 【难度】★★★ 解：原式= = =； 10. 若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝_____． 【标准答案】45或23 【思路指引】 先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可． 【详解详析】 解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20， ∴x＝±11，y＝±14，z＝±20． ∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z）， ∴x+y≥0，y+z≤0． ∵x+y≥0． ∴x＝±11，y＝14． ∵y+z≤0， ∴z＝﹣20 当x＝11，y＝14，z＝﹣20时， x+y﹣z＝11+14+20＝45； 当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时， x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23． 故答案为：45或23． 【名师指路】 本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键．21·cn·jy·com 作业巩固 【作业1】 计算：． 解： = =-48+8-36 =-76； 【总结】本题考查有理数混合运算法则． 【作业2】 计算：． 解： 【作业3】 计算：． 解： ． 【作业4】 计算：． 解： ； 【作业5】 计算：． 【难度】★★ 解： = = =-9； 【总结】本题考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业6】 计算：． 【难度】★★ 解： ； 【作业7】 计算：．． 【难度】★★ 解： = = =5． 【总结】本题考查有理数的混合运算，注意法则的准确运用． 9. 计算：﹣42＋1÷|﹣|×（﹣2）2 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 10. 计算：______． 【标准答案】1011 【思路指引】 去括号后原式变形为（1−2）＋（3−4）＋（5−6）＋…＋（2019−2020）＝． 【详解详析】 解：（1＋3＋5＋…＋2017＋2019+2021）−（2＋4＋6＋…＋2018＋2020） ＝1＋3＋5＋…＋2017＋2019+2021−2−4−6−…−2018−2020 ＝（1−2）＋（3−4）＋（5−6）＋…＋（2019−2020）＋2021 ＝＋2021 ＝−1010＋2021 ＝1011． 故答案为：1011． 11. 阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝_____．【来源：21cnj*y.co*m】 【标准答案】﹣2017 【思路指引】 由题中所给程序可计算出（1+2019）⊕1，即2020⊕1＝2021的值，再计算2020⊕（1+2019），进而求解2020⊕2020的值． 【详解详析】 解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝a⊕b﹣2c＝n﹣2c， ∵1⊕1＝2， ∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021． 又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017， ∴2020⊕2020＝﹣2017． 故答案为：﹣2017． $$