1.4有理数的乘方 同步讲义 2024-2025学年沪教版(五四制)六年级数学上册

《有理数的乘方》 知识点归纳 1. 乘方 （1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作，即． （2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）． （3）读法：读作a的n次方，看作运算结果时，读作a的n次幂． （4）特别地：，．（n为正整数） （5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 例题精讲 【例1】填空： （1）（-3）2的底数是 ，指数是 ，结果是 ； （2）-（-3）2的底数是 ，指数是 ，结果是 ； （3）-33的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【例2】（－5）4表示（　 　）. A．（－5）×（－5）×（－5）×（－5） B．（－5）×4 C．（－4）×（－4）×（－4）×（－4）×（－4） D．（－5）＋（－5）＋（－5）＋（－5） 【例3】写成以-3为底数的幂的形式为_______________． 【例4】填空：（1）______；_______；_______；______； （2）______；______；______；_____． （3）_______；_______；_______；______． 【例5】在(－1)3，(－1)4，－22，(－3)2这4个数中，最大的数与最小的数的和等于(　 　). A．6 B．8 C．－5 D．5 【例6】若，，，则下列大小关系正确的是( 　). A． B． C． D． 【例7】算式等于(　 　). A． B． C． D． 【例8】下列式子正确的是(　 　). A．-24<（-2）2<（-2）3 B．（-2）3<-24<（-2）2 C．-24<（-2）3<（-2）2 D．（-2）2<（-2）3<-24 【例9】如果一个有理数的平方等于4，则这个数的立方是（ ）． A．8 B．-8 C．±8 D． 【例10】平方等于的数是______，立方等于的数是______． 【例11】若x2=9，则x得值是 ；若a3=-8，则a得值是 . 【例12】若a2=b2，则下列等式成立的是（    ） A．a=b B．a=-b C．-a=b D． 【例13】 观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母a表示的式子：①当a<0时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）． A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【例14】下列各式：①a2=(-a)2；②a3=(-a)3；③-a2=|-a2|；④a3=|a3|．一定成立的有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例15】计算： （1）-23×22； （2）（-2）2÷（-2）； （3）； （4）． 【例16】计算： （1）42×43 （2）（-4）2×43 （3）42×（-4）3 （4）42×（-43） 【例17】计算： （1） （2）8÷（-2）2 （3） （4） 【例18】计算： （1）； （2）． 【例19】蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（     ）. A． B． C． D． 【难度】★★★ 【例20】若，则x= ，y= ． 【难度】★★★ 【例21】若│m－2│＋(n＋1)2＝0，则nm的值为 ． 【难度】★★★ 【例22】有“*”代表一种运算，规定，试求： （1）； （2）. 【难度】★★★ 【例23】你能比较20182019与20192018的大小吗？ 为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n是正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…中发现规律，经归纳、猜想得出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”) ①12________21；②23________32；③34______43；④45________54； ⑤56________65. （2）从第（1）题的结果中，经过归纳，猜想出nn＋1与(n＋1)n的大小关系； （3）根据以上归纳、猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小． 【难度】★★★ 【例24】 为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是（   ）. A．52010+1 B．52010﹣1 C． D． 【难度】★★★ 【例25】观察下列算式： ⋯ 根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【难度】★★★ 课堂练习（基础） 1. -写成乘方的形式是 ． 2. 计算：（-）×＝ ． 3. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（-0.4）2． 4. 计算： （1）32＋42； （2）-8÷（-2）2； （3）[（-3）2-（-1）3]÷30． 5. 计算（ ）. A． B． C． D． 6. 计算的结果是（     ）. A． B．2 C．0 D． 7. 若是正整数，则 . 8. 计算：． 9. 若是最大的负整数，是倒数等于它本身的自然数，是绝对值最小的有理数，则=（     ）. A．2020 B．2021 C．2021或-2022 D．2020或-2022 10. 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（     ）. A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 作业巩固 1. 计算： （1）24=______； （2）(-5)2=______； （3）=______； （4）-122=______； （5）(-)2=______； （6）=______． 2. 计算：（-1）2023＋（-1）2024＝ ． 3. 如果（x＋2）2＋|y-3|=0，那么xy= ． 4. 已知n表示正整数，则的值是（     ）. A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 5. 计算：______． 6. 若，，，则a、b、c的大小关系是（     ）. A． B． C． D． 7. 计算： （1）(-0.5)2×（-23）； （2）-82×(-1)3； （3）-8×22×(-5)2； （4）． 8. 计算：． 9. 计算：． 10. 1米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B. C． D． 《有理数的乘方》（解析版） 知识点归纳 1. 乘方 （1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作，即． （2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在中， a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方” 又可以读作“立方”）． （3）读法：读作a的n次方，看作运算结果时，读作a的n次幂． （4）特别地：，．（n为正整数） （5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 例题精讲 【例1】填空： （1）（-3）2的底数是 ，指数是 ，结果是 ； （2）-（-3）2的底数是 ，指数是 ，结果是 ； （3）-33的底数是 ，指数是 ，结果是 ． 【解析】（1）-3，2，9；（2）-3，2，-9；（3）3，3，-27 【例2】（－5）4表示（　 A 　）. A．（－5）×（－5）×（－5）×（－5） B．（－5）×4 C．（－4）×（－4）×（－4）×（－4）×（－4） D．（－5）＋（－5）＋（－5）＋（－5） 【例3】写成以-3为底数的幂的形式为_______________． 【答案】 【例4】填空： （1）______；_______；_______；______； （2）______；______；______；_____． （3）_______；_______；_______；______． 【答案】（1）-8 0 （2）1 -1 （3）-1 【例5】在(－1)3，(－1)4，－22，(－3)2这4个数中，最大的数与最小的数的和等于(　 D 　). A．6 B．8 C．－5 D．5 【例6】若，，，则下列大小关系正确的是（ D ）. A． B． C． D． 【例7】算式等于（ D ）. A． B． C． D． 【例8】下列式子正确的是（ C ）． A．-24<（-2）2<（-2）3 B．（-2）3<-24<（-2）2 C．-24<（-2）3<（-2）2 D．（-2）2<（-2）3<-24 【例9】如果一个有理数的平方等于4，则这个数的立方是（ C ）． A．8 B．-8 C． D． 【答案】C 【分析】根据平方和立方的定义去计算． 【解析】解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2， 2的立方是8，-2的立方是-8． 故选：C ． 【例10】平方等于的数是______，立方等于的数是______． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】根据乘方的定义，，平方等于的数是，立方等于的 数是． 【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方的特征． 【例11】若，则得值是 ；若，则得值是 【答案】 【分析】根据平方和立方的定义进行求解，平方等于9的有两个数，立方等于-8的数有一个． 【解析】∵， ∴x=； ∵， ∴=-2， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平方和立方的定义，掌握平方和立方的定义是解题的关键． 【例12】若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【解析】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 【例13】观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【解析】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【例14】下列各式：①a2=(-a)2；②a3=(-a)3；③-a2=|-a2|；④a3=|a3|．一定成立的有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据乘方和绝对值的定义，逐个分情况讨论，即可解决问题. 【详解】①，一定成立； ②，当a为正数时，该等式不成立； ③，a为正数或负数时，该等式不成立； ④，当a为负数时，该等式不成立； 一定成立的有①，共1个 故选A 【点睛】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握乘方和绝对值的定义以及偶次方和绝对值的非负性是解题关键. 【总结】本题主要考察有理数的乘方的大小比较，解答的关键是熟练掌握负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数． 【例15】计算： （1）-23×22； （2）（-2）2÷（-2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【解析】（1）-23×22=-32 （2）（-2）2÷（-2）=4÷（-2）=-2 (3)原式 （4）原式= =． 【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除． 【例16】计算： （1）42×43； （2）（-4）2×43； （3）42×（-4）3； （4）42×（-43）． 【难度】★★ 【答案】（1）1024；（2）1024；（3）-1024；（4）-1024． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再乘法，注意符号． 【例17】计算： （2） ； （2）8÷（-2）2； （3）． （4） 【难度】★★ 【解析】（1）= =-5； （2）8÷（-2）2=8÷4=2； （3） = = =-6； （4） = = = = ； 【例18】计算： （1）； （2）． 【难度】★★ 解：（1）， =， =， =． （2） = = =-9； 【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号． 【例19】．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可； 【解析】∵第一代有11只，则下一代就会有121只， 以此类推，可知蟑螂第10代的只数是； 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键． 【例20】若，则x= ，y= ． 【答案】2，． 【例21】若│m－2│＋(n＋1)2＝0，则nm的值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性，求得，，然后根据有理数的乘方运算求解即可． 【解析】解：由可得，， ， 故答案为： 【例22】有“*”代表一种运算，规定a＊b=a2＋2b，试求： （1）5＊6；（2）（-2）＊（3＊4）. 解：（1）5＊6=52+2×6=37; （2）（-2）＊（3＊4）=（-2）＊（32+2×4）=（-2）＊17=（-2）2+2×17=4+34=38. 【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念． 【例23】你能比较20182019与20192018的大小吗？ 为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n是正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…中发现规律，经归纳、猜想得出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”) ①12________21；②23________32；③34______43；④45________54； ⑤56________65. （2）从第（1）题的结果中，经过归纳，猜想出nn＋1与(n＋1)n的大小关系； （3）根据以上归纳、猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小． 【答案】 (1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；(2)当n＝1或n＝2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n为大于或等于3的整数时，nn＋1＞(n＋1)n；(3)20182019＞201920. 【分析】（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解； （2）根据（1）的计算结果分情况解答； （3）根据（2）的结论解答即可． 【解析】（1）①12＝1，21＝2； ②23＝8，32＝9； ③34＝81，43＝64； ④45＝1024，54＝625； ⑤56＝15625，65＝7776；… 故答案为（1）＜；＜；＞；＞；＞； （2）当n＜3时，nn＋1＜（n＋1）n， 当n≥3时，nn＋1＞（n＋1）n； （3）∵2018＞3， ∴20182019＞20192018． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键． 【例24】 为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是（   ）. A．52010+1 B．52010﹣1 C． D． 【答案】C 【解析】令S=1+5+52+53+…+52009，则5S=5+52+53+…+52010，5S-S=52010-1，则S= ； 故选C． 【例25】观察下列算式： ⋯ 根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】1 【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2012除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知=3，末位数字为3， =9，末位数字为9， =27，末位数字为7， =81，末位数字为1， =243，末位数字为3， =729，末位数字为9， =2187，末位数字为7， =6561，末位数字为1， …， 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又2012÷4=503， 所以的末位数字与34的末位数字相同是1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 课堂练习 3. -写成乘方的形式是 ． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念． 4. 计算：（-）×＝ -2 ． 5. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）-（-3）4； （6）（-0.4）2． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）-81；（6）． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除． 6. 计算： （1）32＋42； （2）-8÷（-2）2； （3）[（-3）2-（-1）3]÷30． 【难度】★★ 【答案】（1）25； （2）； （3）． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除． 5. 计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法的含义，可得：2m，根据乘方的含义，可得：，据此求解即可． 【解析】解：2m+． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义． 6. 计算的结果是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的法则进行计算即可得出答案． 【解析】解：． 故选C 7. 若是正整数，则 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当为奇数时，当为偶数时，从而可得答案． 【解析】解：当为奇数时， 当为偶数时， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是乘方符号的确定，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键． 8. 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】原式=． 【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算，注意计算顺序，先乘方再乘除． 9．若是最大的负整数，是倒数等于它本身的自然数，是绝对值最小的有理数，则=（     ） A．2020 B．2021 C．2021或-2022 D．2020或-2022 【答案】A 【分析】由题意可知，然后代入进行求解即可． 【解析】解：由题意得：， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的分类、倒数及有理数的乘方，熟练掌握有理数的分类、倒数及有理数的乘方是解题的关键． 10. 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（    ） A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 【答案】D 【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是个．分裂第二次时，2个就变为了个．那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得． 【解析】解：某种细菌原来有1个， 半小时后有：2个，1小时后有个， 小时后有个，小时后有个， 小时后有个，小时后有个， 又=64 经过3h，这种细菌由1个可分裂为个， 故选D 【点睛】本题考查的是乘方的含义与实际应用，简单数字规律的探究，掌握“探究规律的方法与乘方的意义”是解本题的关键. 作业巩固 1. 计算： （1）24=______； （2）(-5)2=______； （3）=______； （4）-122=______； （5）(-)2=______； （6）=______． 【难度】★ 【答案】（1）16；（2）25；（3）；（4）-144；（5）；（6）． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 2. 计算：（-1）2023＋（-1）2024＝ 0 ． 【答案】 【解析】任何非零有理数的平方都是正数；所以这个数是正数或负数，即它的立方为正数或负数． 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 3. 如果（x＋2）2＋|y-3|=0，那么xy= -8 ． 4. 已知n表示正整数，则的值是（     ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【解析】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5. 计算：______． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】原式= （共2016个）=1． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，关键是找到规律． 6．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方运算将a和c算出结果，再比较大小． 【解析】解：，，， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的运算法则． 7. 计算： （1）(-0.5)2×（-23）； （2）-82×(-1)3； （3）-8×22×(-5)2； （4）． 【难度】★★ 【答案】（1）-2；（2）64；（3）-800；（4）． 【解析】（1）(-0.5)2×（-23）＝-2； （2）-82×(-1)3＝64； （3）-8×22×(-5)2＝-800； （4）． 【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意先乘方再乘除． 8.计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】原式= ． 【总结】本题主要考察有理数的乘方及混合运算． 9. 计算：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】原式= =． 【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算． 10. 1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解析】解：第一次截去它的一半，剩下的木棒长为m， 第二次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 第三次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， …, 第六次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$