精品解析：甘肃省庆阳市华池县华池县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

甘肃省华池县第一中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学 2024.10 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册（第1章~第2章）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A 20 B. 15 C. 10 D. 5 4. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 15 7. 已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（ ） A. 2015 B. 2016 C. 1518 D. 1519 8. 若直线与曲线有两个交点，则实数取值范围是（    ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（    ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设有一组圆：，下列命题正确的是（ ） A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为 11. 已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为单调递增的等差数列 D. 满足不等式正整数n的最小值为63 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线方程为________． 13. 设为等差数列的前项和，若，则___________. 14. 在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为4，则__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求数列的前21项和. 17. 已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 18. 为数列的前项和.已知，. （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 19. 已知直线，圆. （1）证明：直线l与圆C相交； （2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 甘肃省华池县第一中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学 2024.10 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册（第1章~第2章）. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据两点间斜率公式求解即可； 【详解】解析：，又因为 所以， 故选：B. 2. 已知为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列前项和，，则. 故选：D. 3. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质计算即可得. 【详解】在等差数列中，，则，因此． 故选：A． 4. 过点直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 5. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项和等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为是各项均为正数等比数列， 所以，解得， 所以， 故选：C 6. 直线与分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，设点到弦、的距离分别为、，，再由基本不等式求解即可. 【详解】显然，且两直线同时过定点，点在圆内， 设点到弦、的距离分别为、，则， ， 四边形面积 故选：D. 7. 已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（ ） A. 2015 B. 2016 C. 1518 D. 1519 【答案】C 【解析】 【分析】计算数列的前几项求出周期，再结合周期性分组求和. 【详解】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 8. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】直线恒过定点， 将转化为， 曲线表示以为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 当时，与曲线有两个不同的交点， 故选：A. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列是各项均为正数的等比数列，是的前项之积，，，则当最大时，的值为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求出的值，进而可求得数列的通项公式，解不等式，求出的取值范围，即可得解． 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 又，则，解得（负值舍去）， 所以，， 令，解得，且当时，， 故当最大时，或5． 故选：BC． 10. 设有一组圆：，下列命题正确的是（ ） A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 经过点的圆有且只有一个 D. 所有圆的面积均为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断. 【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确； B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确； C选项，将代入得：，其中， 故经过点的圆有两个，故C错误； D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为单调递增的等差数列 D. 满足不等式的正整数n的最小值为63 【答案】ABD 【解析】 【分析】由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确； →→为单调递增的等差数列→C选项不正确； →→→D选项正确 【详解】因为，所以，所以， 则，解得， ，所以，，所以A选项正确，B选项正确； 因为，所以， 所以，又， 所以， 所以为单调递增的等差数列， 则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确； ， 则， ， 解得，又， 所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且与直线平行的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】 设出与已知直线平行的直线方程，把点A的坐标代入直线方程，即可求得所求直线方程． 【详解】设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为2x﹣y+m＝0，把点的坐标代入直线方程，求得m＝﹣2×3+4＝﹣2，所以所求直线方程为2x﹣y﹣2＝0． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：与已知直线平行的直线方程求法，通常用待定系数法. 13. 设为等差数列的前项和，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据列出式子求出公差即可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 则由可得，即， ，， . 故答案为：2. 14. 在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为4，则__________. 【答案】3373 【解析】 【分析】计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和. 【详解】由公积为4，故，即有，故， 即数列以3为周期的周期数列，由，故， 即，由， 故. 故答案为：3373. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求. （2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题意； 当，，，符合题意； 综上，. 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 16. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求数列的前21项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式； （2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可. 【小问1详解】 设公差为，由题设有，解得，， 所以. 【小问2详解】 由题设， . 所以数列的前21项和为211. 17. 已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般式方程，两圆方程相减，即可得出圆的方程； （2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径得出直线的方程． 【小问1详解】 由已知可设圆的方程为：，…① 圆： …② ①②可得：，即为的方程， 所以有，，， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为圆心的坐标为，半径为2，由已知当直线m不过原点时可设的方程为， 因为直线与圆相切，所以有， 所以直线的方程为. 又因为过原点直线若与圆相切，截距相等且为0， 所以又可设直线的方程为，所以有， 所以直线的方程为. 综上直线m的方程为或 18. 为数列的前项和.已知，. （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解. （2）利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 证明：依题意，由两边同时加上， 可得， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ， 则当时，， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为：. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， ， 两式相减， 可得 所以. 19. 已知直线，圆. （1）证明：直线l与圆C相交； （2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）点Q恒在直线上，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上. 【小问1详解】 证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交； 【小问2详解】 圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为： 【小问3详解】 设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上. 【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$