精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高二上学期期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2024年秋高2023级期中学习质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟 ） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效； 3.考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆（）左焦点为，则 A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，，则这个四棱锥高h等于（ ） A 1 B. 2 C. 13 D. 26 8. 已知圆：，若曲线上存在4个点到直线的距离为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 若两条平行直线与间的距离为，则 D. 点到直线距离的最大值为 11. 中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”对应着数学曲线中的双纽线. 在平面上，把到两个定点，距离之积等于()的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线：，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线上满足的点有且只有一个 B. 曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线上任意一点到坐标原点距离都不超过3 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 13. 已知，，则的最小值为______. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，两点，直线：. （1）求直线AB的垂直平分线方程； （2）若圆过，两点，且圆心在直线上，求圆的方程. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： （1）证明：直线平面； （2）是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 19 已知圆和点，直线． （1）点A在圆Q上运动，且A为线段的中点，求点N的轨迹曲线T的方程； （2）点P是直线l上的动点，过P作（1）中曲线T的两条切线、，切点为B，C，求直线所过定点D的坐标； （3）设E为（1）中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F．试探究：x轴上是否存在定点G（异于点Q），使得为定值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阆中中学校2024年秋高2023级期中学习质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟 ） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效； 3.考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用斜率与倾斜角之间关系式得解. 【详解】，则斜率为，由，则倾斜角. 故选：B. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 3. 已知椭圆（）的左焦点为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C. 考点：椭圆的基本性质 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】求得两圆圆心坐标与半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标，半径为， 圆，则圆心坐标为，半径为， 可得两圆的圆心距， 则，即， 所以圆与圆相交. 故选：C. 5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 6. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 7. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高h等于（ ） A. 1 B. 2 C. 13 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：B 8. 已知圆：，若曲线上存在4个点到直线的距离为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心坐标和半径，结合题意，得到圆心到直线的距离小于2，列出不等式，即可求解 【详解】由圆：，可得圆心，半径为4， 要使圆上存在4个点到直线的距离为2， 则满足圆心到直线的距离小于2，可得，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；设根据二次函数的性质判断C；面积，结合的范围判断D 【详解】因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B错； 由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对； 因为，又， 当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值， ，故D对； 故选：ACD 10. 已知直线，直线，则下列说法正确的为（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 若两条平行直线与间距离为，则 D. 点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点问题可判断A；结合题设直线的方程易得，进而结合直线垂直与斜率的关系即可判断B；先根据直线平行与斜率的关系可得时，，再结合平行直线之间的距离公式求解判断C；分析可得时，点到直线距离最大，进而求出即可判断D 【详解】由， 令，所以直线过定点，故A对； 若，所以，故B对； 若，则，即， 此时，即，， 因为直线与间的距离为， 所以或15，故C错； 由C知，直线过定点，要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D对； 故选：ABD 11. 中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线. 用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”对应着数学曲线中的双纽线. 在平面上，把到两个定点，距离之积等于()的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线：，是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线上满足的点有且只有一个 B. 曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 【答案】AD 【解析】 【分析】由推得，代入曲线C方程求解即可判断A；结合方程，求解整点坐标可判断B；联立方程组，结合解的唯一性求出的取值范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D 【详解】若曲线C上点P满足，则点P在的垂直平分线上，即y轴上，故，代入曲线C方程得，解得， 所以这样的点仅有一个，故A正确； 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线C经过整点只能是，故B错； 易知直线与曲线C：一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点， 则只有一个解， 即只有一个解为， 即时，无解 故，即实数的取值范围为 ，故C错； 由可得， 当且仅当时取等号， 曲线上任意一点到坐标原点的距离，故D对； 故选：AD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知，，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可. 【详解】易知为圆上一点与直线上一点的距离的平方， 易知圆心，半径，点C到直线的距离， 则，所以. 故答案为： 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据材料先求出三个平面的法向量，再根据交线的方向向量与平面和的法向量垂直求出直线的方向向量，在带图直线与平面夹角的正弦公式求值即可． 【详解】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量可取． 同理平面的法向量可取， 的法向量可取， 设平面与的交线的方向向量为， 则，令，则，，所以． 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知，两点，直线：. （1）求直线AB的垂直平分线方程； （2）若圆过，两点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设垂直平分线斜率，斜率，利用两点式求出斜率，再根据中点坐标公式求其中点坐标，利用求斜率奇为，即可求解； （2）设圆心坐标为，根据两点到圆心距离相等以及圆心在直线上列方程组可得圆心坐标，可求出半径，根据圆的标准方程可求解. 【小问1详解】 设垂直平分线斜率，斜率，中点为 所以，所以， 又因，所以可得， 所以根据点斜式可求出直线垂直平分线为， 即； 【小问2详解】 设圆心坐标为，因为圆心在直线， 所以，又因，两点在圆上，则圆心到两点距离相等 所以根据两点之间距离公式可知， 将两式联立可得 解之可得，根据圆心到点距离为半径可得， 所以圆的标准方程为 16. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： （1）证明：直线平面； （2）是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，1. 【解析】 【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）设点的坐标为，求出平面的法向量，若假设存在，由，即可求解. 【小问1详解】 在棱长为2的正方体中，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， ， 于是， 即，而平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）知，设平面的法向量为， 则，取，得， 假定存在点，使直线平面，设点的坐标为， 则，由，得，解得， 而平面，则平面， 所以存在点，使直线平面，此时. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式即可求解； （2）由已知根据面积公式可求得，，由余弦定理即可求；由正弦定理可得，由同角三角函数的平方关系可得，由二倍角公式可得和，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 因为，所以， 因为，所以， 所以 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以，， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2）①  2；②   【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线性质，结合线面平行判定证明即可； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得； ② 分别求出两平面法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 如图，连接,由于分别是中点， 则平面,平面, 则平面. 【小问2详解】 ①因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面， 故平面，如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【点睛】 19. 已知圆和点，直线． （1）点A在圆Q上运动，且A为线段的中点，求点N的轨迹曲线T的方程； （2）点P是直线l上的动点，过P作（1）中曲线T的两条切线、，切点为B，C，求直线所过定点D的坐标； （3）设E为（1）中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F．试探究：x轴上是否存在定点G（异于点Q），使得为定值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；的最小值为 【解析】 【分析】（1）设，则由A为线段的中点表示出，再由点A在圆Q上运动，将点A的坐标代入圆的方程中化简可得点N的轨迹曲线T的方程， （2）设，则，设圆上任意一点为，则由圆的性质可得，再将点的坐标代入化简可得，再与圆的方程相减可得直线的方程，再将代入化简可求得答案， （3）假设存在x轴上定点G（异于点Q）满足条件，设，则化简得，对恒为定值，必有，求出的值，从而可求得此定值，则可得，进而可得的最小值， 【小问1详解】 设，则 由点A在圆Q上运动，有 ∴即为点N的轨迹线T的方程 【小问2详解】 点P是直线l上的动点，设，则， 曲线是以原点O为圆心，半径为2的圆， 过P作的曲线T两条切线，切点为B，C，易知B，C在以为直径的圆上 设圆上任意一点为，则 ① 又切点B，C在曲线T上，有② 由②-①得B，C所在直线方程为 即对恒成立， ∴ 故直线所过定点D的坐标为 【小问3详解】 设为曲线上任意一点， 假设存在x轴上定点G（异于点Q）满足条件，设 则 对恒为定值， 必有或（舍） 所以存在x轴上定点使得为定值， 即对于曲线T上任意一点E，恒有， 故， 所以随的增大而增大， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$