精品解析：江西省景德镇市昌江区景德镇一中2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

景德镇一中2024～2025学年第一学期期中考试卷 初三数学 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 同时去掉一组数据中的最大值和最小值，这组数据的平均数一定不变 B. 某品牌新能源汽车电池最高续航里程的调查适合用全面调查 C. 甲乙两人在相同条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率 2. 如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为（　　） A. 5 B. C. D. 4. 定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A. B. 1 C. D. 5. 若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为（　　） A. 52 B. 50 C. 48 D. 46 7. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题 9. 如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____． 10. 如图，点、、都在上，，，的度数______． 11. 抛物线（其中，a为常数），若当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ____________________． 12. 若，且，则________． 13. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为________． 14. 如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ____________________． 15. 如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______． 三、解答题 16. 如图，O是的对角线的交点，E，F，G分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当时，求四边形的周长． 17. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 18. 如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E． （1）求的大小． （2）若，求的半径； （3）于点F，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）求的最小值以及此时点P的坐标； （3）过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 20. 已知D是等腰直角△ABC所在平面上的任意一点，∠BAC＝90°，连接DA并延长到点E，使得AE＝DA．连接BD，CD，以DB，DC为邻边作平行四边形DBFC，连接EF． （1）如图1，当点D在△ABC的直角角平分线上时，EF与BC的位置关系为 ，数量关系为 ； （2）如图2，当点D不在∠BAC的平分线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； （3）将AD绕点A逆时针旋转，当∠ACD＝15°，∠BFC＝90°时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2024～2025学年第一学期期中考试卷 初三数学 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 同时去掉一组数据中的最大值和最小值，这组数据的平均数一定不变 B. 某品牌新能源汽车电池最高续航里程的调查适合用全面调查 C. 甲乙两人在相同条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 D. 随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握平均数的定义、全面调查与抽样调查的适用性、方差的意义及频率估计概率． 根据平均数的定义、全面调查与抽样调查的适用性、方差的意义及频率估计概率逐一判断即可． 【详解】解：A．同时去掉一组数据中的最大值和最小值，这组数据的平均数可能改变，也可能不变，此选项错误，不符合题意； B．某品牌新能源汽车电池最高续航里程的调查适合用抽样调查，此选项错误，不符合题意； C．甲乙两人在相同条件下各射击次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定，此选项错误，不符合题意； D．随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，此选项正确，符合题意； 故选：D 2. 如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，如图，设，，根据相似图形的性质可得，即得，据此即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得： ， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 5. 若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次方程根与系数的关系，由等式整理得到关于的方程，根据存在正实数，，求出的最大值即可；熟知这些知识点是关键． 【详解】解： 或① 或 解得，② 故的取值范围是： 的最大值是， 故选：A． 6. 如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为（　　） A. 52 B. 50 C. 48 D. 46 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定与性质．过点作于点，先证和全等，得出，，同理可证，得出，，设，，表示、、、的长，得到，，解方程组即可，从而求出长方形的周长． 【详解】解：过点作于点， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是长方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即①， ，，， ， ， ， ， ， 即②， 联立①②得， ， 解得， ，， 长方形的周长为， 故选：A． 7. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴，，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 8. 如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】设与相交于H，设，，，利用正方形的轴对称形得出，则可得出的周长为，证明，求出，，，证明，求出，，然后代入计算即可得出答案． 【详解】解∶设与相交于H，设，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴B、E关于直线对称，，， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴ ， 即的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称等知识，明确题意，利用相似三角形求出，，是解题的关键． 二、填空题 9. 如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：． 故答案为． 10. 如图，点、、都在上，，，的度数______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，掌握圆的相关性质是解题关键．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得到，进而得到，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的度数， 故答案为：． 11. 抛物线（其中，a为常数），若当时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，根据二次函数的对称轴，得出函数的增减性是解题关键．先根据抛物线解析式可求出抛物线的对称轴为直线，又当时，y随x的增大而增大，求出对应的函数值，结合y恰好有3个整数值这个条件，列出不等式求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线（其中，a为常数）， ∴对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 时，， ∵当时，对应的函数值y恰好有3个整数值， ∴它的三个整数分别是，，， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 若，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果． 本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ，是方程的两个根， ， ． 故答案为：． 13. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结和，交y轴于点E，且，若，的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，则，由此得，设，，则，从而得点，点，证和相似从而得，证得，则，从而得，再证和全等得，则，然后根据的面积为6可求出的值． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，过点作轴于，设交轴于，如图所示： ∴， ， 可设，，则， 点，在反比例函数的图象上， 点，点， ， ， ， 即：， ， 轴， ，， ，轴， ，， ， ， ， 即， ， ， 轴，轴，， 四边形为矩形， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为6， ， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 14. 如图，弧所对圆心角，半径为8，点C是中点，点D弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，连接，以为边向下作正方形，连接，勾股定理求出的长，证明，得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴AE的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，已知和为等腰直角三角形，，，，连接、．在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，_______． 【答案】或 【解析】 【分析】①当点在点上方时，先判断出四边形是矩形，求出，再根据勾股定理求出，，得出； ②当点在点下方时，同①的方法得，，，进而得出，即可得出结论． 【详解】∵为等腰直角三角形，， ， ①当点在点上方时，如图③， 过点作交的延长线于， 当时，可证， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， 在中，根据勾股定理得，， ． ②当点在点下方时，如图④ 同①的方法得，，， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题的关键是能够根据题意进行分情况讨论． 三、解答题 16. 如图，O是的对角线的交点，E，F，G分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当时，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵E，F分别是的中点， ∴ ∵G是的中点， ∴ 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形; （2） 【解析】 【分析】本题考查了几何构图能力、平行四边形的相关性质、三角形相似、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定方法进行证明． （2）分析四边形的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出的值，然后通过构造延长线段所在的三角形间接求出，从而算出周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点H， 在中， ∴ ∵， ∴是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，在中， ∴周长= 17. 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以AC的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出所在直线解析式为，再根据反比例函数图像轴对称的性质，可得曲线关于直线轴对称，然后联立，即可求解． 【小问1详解】 解：，，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中，得： 解得：， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式为， 将、两点坐标代入得：， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图像轴对称的性质，曲线关于直线轴对称， 联立， 解得， ∴， 联立， 解得：， ∴， ． 【点睛】本题主要查了反比例函数的实际应用，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 18. 如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E． （1）求的大小． （2）若，求的半径； （3）于点F，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3） 解：．理由如下： 如图2，过点D作，交的延长线于点N， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【解析】 【分析】（1）由平分，根据圆周角定理，可得； （2）过点E作于点M，求出长，则，可求出，则答案得出； （3）过点D作，交的延长线于点N，证明与，则，则结论可得出． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作于点M，     ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）求的最小值以及此时点P的坐标； （3）过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）最小值为6，点P的坐标为 （3）Q点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【小问1详解】 解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：或 此时，Q点坐标为或； ②当时， 则，即， ∴， 解得：或（舍去）， 此时，点Q的坐标为； 综上，Q点坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 20. 已知D是等腰直角△ABC所在平面上的任意一点，∠BAC＝90°，连接DA并延长到点E，使得AE＝DA．连接BD，CD，以DB，DC为邻边作平行四边形DBFC，连接EF． （1）如图1，当点D在△ABC的直角角平分线上时，EF与BC的位置关系为 ，数量关系为 ； （2）如图2，当点D不在∠BAC的平分线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； （3）将AD绕点A逆时针旋转，当∠ACD＝15°，∠BFC＝90°时，请直接写出的值． 【答案】（1）EF⊥BC，EF＝BC （2） 成立， 证明：如图2，EF交BC于点H，连接DF交BC于点G，连接AG， ∵四边形DBFC是平行四边形， ∴GF＝DG，BG＝CG， ∵AB＝AC， ∴AG⊥BC， ∴∠BAC＝90°， ∵AGBC， ∴AE＝DA， ∴AG∥EF，AGEF， ∴∠EHB＝∠AGB＝90°，EFBC， ∴EF⊥BC，EF＝BC． （3）或 【解析】 【分析】（1）设EF交BC于点G，由AB＝AC，AF平分∠BAC得EF⊥BC，因为四边形DBFC是平行四边形，所以FG＝DG，而AE＝DA，可得EF＝2AG＝BC； （2）EF⊥BC，EF＝BC仍然成立，设EF交BC于点H，连接DF交BC于点G，连接AG，则FG＝DG，AE＝DA，根据三角形中位线定理可得AG∥EF，AGEF，而AG⊥BC，AGBC，于是得EF⊥BC，EF＝BC； （3）分两种情况，一是点D与点B在直线AC的异侧，则∠BCD＝45°+15°＝60°，由四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°得∠BDC＝90°，于是可求得DCBC，ABBC，可求得；二是点D与点B在直线AC的同侧，则∠BCD＝45°﹣15°＝30°，于是可求得DCBC，ABBC，可求得． 【小问1详解】 解：如图1，EF交BC于点G， ∵AB＝AC，AF平分∠BAC， ∴EF⊥BC， ∵∠BAC＝90°， ∴AGBC＝BG＝CG， ∵四边形DBFC是平行四边形， ∴FG＝DG， ∵AE＝DA， ∴EF＝AG+AE+FG＝AG+DA+DG＝AG+AGBCBC＝BC， 故答案为：EF⊥BC，EF＝BC． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，点D与点B在直线AC的异侧， ∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝15°， ∴∠BCD＝45°+15°＝60°， ∵四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°， ∴∠BDC＝∠BFC＝90°， ∴DC＝BC•cos∠BCD＝BC•cos60°BC， ∵AB＝BC•cos∠ABC＝BC•cos45°BC， ； 如图4，点D与点B在直线AC的同侧， ∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ACD＝15°， ∴∠BCD＝45°﹣15°＝30°， ∵四边形DBFC是平行四边形，且∠BFC＝90°， ∴∠BDC＝∠BFC＝90°， ∴DC＝BC•cos∠BCD＝BC•cos30°BC， ∵AB＝BC•cos∠ABC＝BC•cos45°BC， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行线的性质、锐角三角函数、解直角三角形、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $