精品解析：江苏省盐城市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

盐城市2025届高三年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 已知集合，，则（ ） A. A B. B C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知集合表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得, 故， 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题写出复数的共轭复数，利用复数的乘法计算即得. 【详解】. 故选：C. 3. 在△中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由，则或和，则，则，可得出答案. 【详解】若，则或，即或， 所以在△中，“”是“”的不充分条件 若，则，则， 所以在△中，“”是“”的必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出代入利用诱导公式化简即可得出答案. 【详解】由可得：， 所以， 所以. 故选：A. 5. 已知数列满足，，则的2024项的和为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】求出数列的周期，利用数列的周期性求和. 【详解】由已知得，，， 由此可知数列是周期为的周期数列， 由于，则， 故选：. 6. 若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角换元有，即可求其最小值. 【详解】由题设，令且， 所以，显然的最小值为， 当且仅当，即时取最小值. 故选：D 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得，再应用倍角余弦公式求结果. 【详解】由题设，， 所以 ， 由， 所以. 故选：B 8. 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正项等比数列中，，，则（ ） A. 数列的首项为 B. 数列是公比为2的等比数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比，即可求解，利用等比数列的定义即可求解BC，由等比求和公式即可求解D. 【详解】由正项等比数列中，，，所以公比，因此， 对于A，的首项为，A正确， 对于B，，因此，因此是公比为4的等比数列，B错误，C正确， 对于D，由于是公比为4，首项为的等比数列，故前项和为，D正确， 故选：ACD 10. 下列向量运算，一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,B,利用向量数量积的运算律和向量模的定义计算即可判断；对于C,D,通过举反例排除即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， 不妨取，则，， 则，而，故C错误； 对于D,不妨取，则， 而，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，函数，，则（ ） A. 对任意实数x， B. 存在实数x，使得 C. 对任意实数x，y， D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入化简即可求解ABC，根据函数的单调性可大致判断函数和的图象，且为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可判断D. 【详解】,故A正确， 若，则，即，只要满足，都有，故B正确， ， 而，故C错误， 令，得， 当，单调递增；当，，单调递减， 所以在处取得极小值1， 当，；当，． 恒成立，所以在上单调递增， 当，；当，． 所以、的大致图象如图所示， 不妨设，由为偶函数可得， 直线与图象有三个交点，显然， 令，整理得， 解得或（舍去）， 所以，即， 又因为，所以．D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数式有意义的条件求解. 【详解】函数的定义域为，解得， 所以该函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得，结合已知求值即可. 【详解】由， 由题意且，则. 故答案为： 14. 设等差数列的前n项和为，已知，，设，则______，数列的前n项和为______（用n表示）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出等差数列的通项，即可求出；利用两角差的正弦公式和叠加法即可求数列的前n项和. 【详解】设数列的公差为，则 ，解得， 则，所以； ， 设数列的前项和为， ， ， …… 将这个式子叠加得. 故答案为：；. 【点睛】形如这种形式的递推公式可以利用叠加法求数列通项公式. 四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 设函数，. （1）若函数为偶函数，求实数k的值； （2）当且时，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质可得，即可求解， （2）对的范围分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由于为偶函数， 故， 因此对任意的恒成立， 故，故， 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，则，故此时不等式的解为， 当时，，则，故此时不等式的解为， 当时，，则，故此时不等式的解为， 当时，，则，故此时不等式的解为， 综上可知：不等式的解为 16. 设函数，，的内角A满足. （1）求A的值； （2）若，且边的长为1，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数化简得，由，利用正弦函数的特殊值，即可求得A的值； （2）由已知，可得，得，再由余弦定理得，可得，由三角形面积公式即可求得的面积. 【小问1详解】 由题意得， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，则. 【小问2详解】 在中，设的对边为， 由，则， 即， 得， 又，即，由（1）知， 则， 又由余弦定理得， 解得， 所以. 17. 在中，，，，点D在边上，为的平分线. （1）求的长； （2）若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案； （2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案. 【小问1详解】 因为为的平分线，所以， 所以， 所以， 所以，即， 可得：. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 所以，所以， 由角平分线定理可得：，又因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形， 所以，则为的中点，在中， 由余弦定理可得 ，所以， 所以，在中， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以. 18. 已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； （2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； （3）已知数列满足，，求的前n项和. 【答案】（1）证明见解析，， （2） （3），其中， 【解析】 【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解， （2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解， （3）根据可得分别为等比数列，即可根据等比数列求和公式分类求解. 【小问1详解】 由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 【小问2详解】 ，故， 由可得，化简可得， 因此， 记，则 ， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 【小问3详解】 由可得， 故， 又，故， 因此是以1为首项，4为公比的等比数列，故， 是以1为首项，4为公比的等比数列，故 是以2为首项，4为公比的等比数列，故 故当时，当时， 则， ， 当时， 则， ， 综上可得，即，其中， 19. 设函数，. （1）求的极值； （2）已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； （3）已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的极值； （2）问题化为，使成立，导数研究的性质，结合得到，进而有，导数求右侧最大值，即可得范围； （3）令，问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的范围，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设， 时，，即在上递减， 时，，即在上递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由且，则， 所以，问题化为，使成立， 令，则，且时， 时，即在上递减，对应值域为； 时，即在上递增，对应值域为； 由于，于是，即，此时， 对于且，则， 故时，即在上递增， 时，即在上递减， 所以，故. 【小问3详解】 由题设，令，而， 所以在上恒成立， 令在上递增，则， 令，则， 故上，即在上递减； 上，即在上递增； 所以， 综上，故只需. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用换元法将问题化为在上恒成立是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市2025届高三年级第一学期期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 已知集合，，则（ ） A. A B. B C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 在△中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，则的2024项的和为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 6. 若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知，，若A，B的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在正项等比数列中，，，则（ ） A. 数列的首项为 B. 数列是公比为2的等比数列 C. 数列是公比为4的等比数列 D. 数列的前项和为 10. 下列向量运算，一定正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，函数，，则（ ） A. 对任意实数x， B. 存在实数x，使得 C. 对任意实数x，y， D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，则. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为______. 14. 设等差数列的前n项和为，已知，，设，则______，数列的前n项和为______（用n表示）. 四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 设函数，. （1）若函数为偶函数，求实数k的值； （2）当且时，解不等式. 16. 设函数，，的内角A满足. （1）求A的值； （2）若，且边的长为1，求的面积. 17. 在中，，，，点D在边上，为的平分线. （1）求的长； （2）若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 18. 已知正项数列的前n项和为，且满足，. （1）求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； （2）若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； （3）已知数列满足，，求的前n项和. 19. 设函数，. （1）求的极值； （2）已知实数，若存在正实数x使不等式成立，求a的取值范围； （3）已知不等式对满足的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $