专题26.8 反比例函数（6大知识点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.8 反比例函数（6大知识点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 【知识点2】反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点3】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点4】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点5】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点6】反比例函数中的三个模型 考点与题型目录 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系...................................................3 【题型2】用反比例函数定义求参数.....................................................6 【题型3】求反比例函数值.............................................................7 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式...........................................9 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式..............................................13 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式..............................................16 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性........................................................21 【题型8】反比例函数的增减性........................................................23 【题型9】双曲线分布................................................................26 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合.................................................28 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用.............................................31 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用...............................................35 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（22-23九年级上·湖南常德·期末）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 【答案】(1)，; (2)若商场计划每天销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元 【分析】（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）根据“售价进价销售量利润”列出式子，整理即可求解． 解：（1）由表中数据得：， ， 是的反比例函数， 故所求函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：； 经检验，是原方程的根，符合题意. 答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元． 【点拨】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． 【变式1】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．先根据题意得出矩形的面积，求得的面积，然后再根据三角形的面积公式即可解答． 解：连接， 四边形是矩形， 矩形的面积为， 的面积为， ， ，即， ． 故选：A． 【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期末）从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 【题型2】用反比例函数定义求参数 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1)；(2)28. 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 解：（1）与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）由（1）可知，，则 当时，． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．本题根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，，而时，有，则，然后解不等式即可． 解：点，在反比例函数的图象上， ，， 当时，有， ， ， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知函数是反比例函数，则 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．直接利用反比例函数的定义得出的值，再利用系数不能等于0，进而得出答案． 解：∵ 则， 解得： ． 故答案为：． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，过作轴于点，过作于点D． (1)填空：______，______； (2)求的长． 【答案】(1)6，; (2). 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，将图象上点的坐标代入函数关系式是常用解题方法． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点、点坐标代入即可求出、的值； （2）求出线段的长，再根据三角形面积公式进行计算即可． 解：（1）点，在反比例函数的图象上， ，， 故答案为：，； （2）如图，连接， 点，， ， ， 即， 解得． 【变式1】（2024·安徽池州·模拟预测）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及反比例函数图象性质，根据点A在双曲线，得出，因为从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，所以得出共有种结果，满足条件有种，即可作答． 解：列树状图如图所示： 共有种等可能结果， ∵点A在双曲线， ∴得出 满足条件有种 ∴ 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，整体代入计算即可得解． 解：∵双曲线经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式 【例4】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于B，直角的面积为3， 若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点． (1)求反比例函数的解析式及m、n的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)，，; (2). 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数性质和图象，重点掌握与一次函数的交点问题，此题难度不是很大． （1）根据面积为3，即可求出点的坐标，把点坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，又知反比例函数图象过点，代入解析式求出的值， （2）根据题干条件直线经过点、，已知两点坐标，列出二元一次方程组解得和的值，即可求出直线的解析式． 解：（1）面积为3，， ， ， ， 反比例函数为过点， ， ， 即反比例函数为：， 反比例函数为过点， ， ； （2）直线经过点、， ， 解得：， 直线的解析式为：． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）如图，反比例函数与正比例函数交于点A、点B，已知点，过点A作轴，垂足为的垂直平分线交x轴于点D，若的周长为6，则反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，可得，再求解，再进一步解答即可． 解：∵的垂直平分线交x轴于点D， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴， ∵反比例函数与正比例函数交于点A、点B，点， ∴， ∴， ∴，而轴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，直线，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若，则直线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】将正比例函数与反比例函数的解析式联立，求得点A的横坐标，根据定义求得点B的横坐标，然后求得点B的坐标，将点B的坐标代入即可求得b，从而求得直线的解析式 解：∵正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A， ∴， 解得：， ∴点A的横坐标为：， ∵， ∴点B的横坐标为：， ∵点B在反比例函数上， ∴ ∵，即将直线沿y轴向下平移b个单位长度，得到直线： ∴将代入得：， ∴直线的解析式为： 故答案为： 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解决问题的关键 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式 【例5】（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．   (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式1】（21-22八年级下·四川成都·期末）如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　） A．y B．y C．y D．y 【答案】C 【分析】连接OP，根据平行线的判定定理得到AP∥OB，求得S△APO=S△ABP=2，设双曲线的解析式为，于是得到结论． 解：连接OP， ∵PA⊥y轴于点A，OB⊥y轴， ∴AP∥OB， ∴S△APO=S△ABP=2， 设双曲线的解析式为， ∴， ∴双曲线的解析式为， 故选：C． 【点拨】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）双曲线，在第二象限的图象如图所示，，过上一点A作x轴的垂线交于点B，交x轴于点C，若，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 设，根据反比例函数系数k的几何意义得到，由得到，然后解方程即可． 解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴的解析式为． 故答案为：． 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式 【例6】（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【答案】(1)，，，； (2). 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，求出点D坐标，然后确定点C、E的坐标，最后根据点C的坐标确定反比例函数解析式即可； （2）求出平移后E，B，C的对应点的坐标，求出直线的解析式，再构建方程组求出点F的坐标即可解答． 解：（1）如图：过点D作于点H． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）对于反比例函数， 当时，， ∴平移后点E恰好在反比例函数的图象上时，点E的对应点， ∴菱形向右平移了4个单位， ∴B，C的对应点， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：或， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴点F的坐标为， ∴点F到x轴的距离为． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以为斜边作等腰．点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在反比例函数图象上运动，则点C所在的函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，连接，作轴于D，轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设A点坐标为，得出，，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键． 解：如图，连接，作轴于D，轴于E， ∴ ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设A点坐标为，得出，， ∴C点坐标为， ∵， ∴点C在反比例函数图象上． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，，，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、与几何的综合、根与系数的关系等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设：,由题意可知，即；由题意可得，,即，；再根据可得；联立两函数解析式可得，根据求根公式可得、,进而得到，最后将代入计算即可解答． 解：设：, ∵一次函数， ∴，， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数交于、两点， ∴，,即，, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵一次函数与反比例函数交于、两点， ∴，即， ∴，, ∴，即， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为． 【题型7】反比例函数的对称性 【例7】（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)3; (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 解：（1）反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； （2）点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点拨】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意可得，则，进而根据的几何意义，即可求解． 解：∵直线与双曲线交于两点， ∴关于原点对称，则， ∴， ∴， 反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键． 设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 【题型8】反比例函数的增减性 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【答案】（1）；（2）；（变式1）B；（变式2）A 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的纵坐标比较大小的方法：方法一（利用函数增减性比较）：在同一象限的，根据，随的增大而减小，，随的增大而增大比较；在不同象限时，轴上方图象上点的纵坐标大，反之则小．方法二（数形结合法）：画出草图，大致标出各点，从图象中比较大小．（此方法为最简单的方法）方法三（特殊值法）给和要比较的点的横坐标取满足条件的数，算出对应的纵坐标，再进行比较． （1）把点代入即可求解； （2）利用反比例函数的增减性比较即可； 变式1：利用反比例函数的增减性比较即可； 变式2：利用反比例函数的增减性比较即可； 解：（1）将点代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）， 反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点，，都在反比例函数的图像上， 在第三象限，和在第一象限， ，，， 又， ． 变式1： ， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， 点分布在第三象限，，分布在第一象限，且， ，， ． 故选B； 变式2： 在反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， ，均在第三象限， ， ，A正确，符合题意； 当时，， 点在第三象限，点在第一象限， ，， ，B，C错误，不符合题意；当时，， ，在第一象限， ， ，D错误，不符合题意． 故选A． 【变式1】（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答． 解：∵在反比例函数的图象上，， ∴， 对于反比例函数，在第四象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）若点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大． 解： ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限y随x的增大而减小， 两点均在同一象限，当两点都在第一象限时，，当两点都在第三象限时，， 的取值范围是或． 故答案为：或 【题型9】双曲线分布 【例9】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或; (2); (3)或. 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 解：（1）反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 【变式2】（2024九年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 解：由可知图象位于一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 点，在反比例函数的图象上，且， 点、不在同一象限， ∴点在第三象限，点在第一象限， ， 解得． 故答案为：． 【题型10】反比例函数与一次函数综合 【例10】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为; (2); (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 解：（1）把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； （3）观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当不同取值时，反比例函数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可． 解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、二、三象限， ∴没有图象符合； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过二、三、四象限， ∴A选项中图象符合． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可． 解：由图象可知：不等式的解集为： 或； 故选D． 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用 【例11】（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度; (2); (3). 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 解：（1）设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）当时，， ， 故最多关闭． 【变式1】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【变式2】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用 【例12】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，该气球内气体的压强和气体体积成反比例．测得一组数据如下表： 150 (1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式． (2)当气体体积为时，气球内气体的压强是多少？ (3)当气球内气体的压强小于且大于时，气球不会爆炸并且形态刚好，求问此时气体的体积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，利用反比例函数解析式的数值的意义求解是解题的关键． （1）设函数解析式为，把点代入函数解析式求出值即可； （2）将代入（1）中的反比例函数解析式即可求出； （3）将和代入（1）中的反比例函数解析式，再根据增减性即可求出的范围． 解：（1）解：设， 将点代入，得， ， 故这个函数的解析式为； （2）解：当时，． （3）解：当时，． 当时，． ∵压强随体积的增大而减小， ∴． 【变式1】（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、跨学科综合等知识点，根据题意求得解析成为解题的关键． 设当为时的功率为P，则当为时的功率为，然后列方程组求得函数解析式，然后将代入计算即可． 解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为, 由题意可得：， 解得：（舍弃负值） 所以， 当时，． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可． 解：设， 将代入得， 解得， ，故A选项错误，不符合题意； 容器内气体密度随着气体的体积v的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 将代入得，解得：， 当时，，故C选项正确，符合题意； 将代入得，解得，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.8 反比例函数（6大知识点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 【知识点2】反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点3】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点4】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点5】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点6】反比例函数中的三个模型 考点与题型目录 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系...................................................3 【题型2】用反比例函数定义求参数.....................................................4 【题型3】求反比例函数值.............................................................4 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式...........................................5 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式...............................................6 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式...............................................7 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性.........................................................8 【题型8】反比例函数的增减性.........................................................9 【题型9】双曲线分布.................................................................9 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合.................................................10 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用.............................................11 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用...............................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（22-23九年级上·湖南常德·期末）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 【变式1】（2024·山西太原·模拟预测）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作于点．设，的长度分别为，，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·四川成都·期末）从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是 ． 【题型2】用反比例函数定义求参数 【例2】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【变式1】（23-24八年级下·全国·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知函数是反比例函数，则 【题型3】求反比例函数值 【例3】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，过作轴于点，过作于点D． (1)填空：______，______； (2)求的长． 【变式1】（2024·安徽池州·模拟预测）从，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作，则点A在双曲线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）双曲线经过点，则代数式的值为 ． 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式 【例4】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于B，直角的面积为3， 若直线经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点． (1)求反比例函数的解析式及m、n的值； (2)求直线的解析式． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）如图，反比例函数与正比例函数交于点A、点B，已知点，过点A作轴，垂足为的垂直平分线交x轴于点D，若的周长为6，则反比例函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，直线，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若，则直线的解析式为 ． 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式 【例5】（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．   (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【变式1】（21-22八年级下·四川成都·期末）如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　） A．y B．y C．y D．y 【变式2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）双曲线，在第二象限的图象如图所示，，过上一点A作x轴的垂线交于点B，交x轴于点C，若，则的解析式为 ． 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式 【例6】（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上． (1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以为斜边作等腰．点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在反比例函数图象上运动，则点C所在的函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数与反比例函数交于、两点，，，则反比例函数的解析式为 ． 【题型7】反比例函数的对称性 【例7】（2024·浙江宁波·一模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【变式1】（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 【变式2】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【题型8】反比例函数的增减性 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【变式1】（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在反比例函数图象上有三个点、、，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级下·全国·专题练习）若点和在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是 ． 【题型9】双曲线分布 【例9】（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【变式1】（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【变式2】（2024九年级上·北京·专题练习）若点，在反比例函数y的图象上，且，则m的取值范围是 ． 【题型10】反比例函数与一次函数综合 【例10】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知关于x的函数和，它们在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　） A． B． C． D． 或 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用 【例11】（2024八年级下·江苏·专题练习）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【变式1】（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【变式2】（2023·河北保定·一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用 【例12】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，该气球内气体的压强和气体体积成反比例．测得一组数据如下表： 150 (1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式． (2)当气体体积为时，气球内气体的压强是多少？ (3)当气球内气体的压强小于且大于时，气球不会爆炸并且形态刚好，求问此时气体的体积的取值范围． 【变式1】（2024·浙江温州·二模）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ． 【变式2】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度p与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大 C．当时， D．当时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$