精品解析：河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二上学期11月期中测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期期中测试 数学试题 命题人：高军 审题人：杨立雅 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 4 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A. B. C. 6 D. 12 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ） A. 异面直线与的夹角的正弦值为 B. 二面角的平面角的正切值为 C. 四棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 12. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B. 的面积最大值为1 C. 若原点始终在动弦上，则不是定值 D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 两条平行直线与之间的距离是_______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______. 15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． （1）求边上的高所在直线方程； （2）求点到直线的距离． 18. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 19. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 20. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 21. 设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值. 22. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二上期期中测试 数学试题 命题人：高军 审题人：杨立雅 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 2. 已知，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，代入坐标计算可得答案． 【详解】由题意可得，则，解之可得. 故选：D． 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与直线平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与直线平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：A. 4. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，解得或（舍去）， 则． 故选：B． 7. 已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标得到c，再由得到a，c的关系求解. 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则， 又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12. 故选：D 8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可. 【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为， 由，解得，，即点的坐标为， 由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为， 代入双曲线的方程，有， 即，， 解得，所以双曲线的离心率为． 故选：A 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为锐角 D. ，，，可作为空间向量的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得. 【详解】对A：，故与不垂直，故A错误； 对B：由、，有，故与共线，故B正确； 对C：，且与不共线， 故与所成角为锐角，故C正确； 对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ） A. 异面直线与的夹角的正弦值为 B. 二面角的平面角的正切值为 C. 四棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥与三棱锥体积相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：根据异面直线的夹角分析求解；对于B：分析可知为二面角的平面角，运算求解即可；对于C：四棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D：根据锥体的体积公式分析判断即可. 【详解】对于A：因为， 在中，就是异面直线所成的角， 且，则，故A正确； 对于B：连接交于点O，连接， 因为平面ABCD，BD平面ABCD，则BD， 又因为BD⊥AO，，平面，可得BD⊥平面， 且平面，则BD⊥， 可知为二面角的平面角， 在中，，故B错误； 对于C，显然四棱锥的外接球即为正方体的外接球， 因为正方体外接球的半径， 所以正方体的外接球体积为，故C正确； 对于D，因为， 三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积， 故三棱锥与三棱锥体积相等，故D正确. 故选：ACD. 12. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B. 的面积最大值为1 C. 若原点始终在动弦上，则不是定值 D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 两条平行直线与之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线的方程可化为，利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】直线的方程可化为，且直线的方程为， 所以，平行直线与之间的距离为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的离心率可求得的值，可求得的值，推导出为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】如图所示：因为双曲线的离心率，所以，， 设点在双曲线的右支上，由， 可得，， 所以，， 由双曲线定义可得，由勾股定理可得， 所以，可得， 因此的面积为. 故答案为：. 15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】 ， ，① 又 ② ①-②得：， 的面积为9， ， 故答案为：3. 16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点， 则， 所以 . 故答案为： 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. 已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． （1）求边上的高所在直线方程； （2）求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程； （2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案. 【小问1详解】 由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． 【小问2详解】 由，解得，所以． 又直线方程为，即． 点到直线的距离． 18. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 19. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程； （2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题. 【小问1详解】 由题意可得，得，所以的方程为. 【小问2详解】 由题意得. 设，，依题意可得，且， 由得， 则，解得. 经检验，点在椭圆内. 所以为所求. 20. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 21. 设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2） 因为点的横坐标为2，即，解得， 故点的坐标为， 由题意可知，直线，不与轴平行，设，， 设直线：，即， 代入抛物线的方程得，即， 则，故， 所以， 即 设直线：，即， 同理可得，则， 即 直线的斜率， 所以直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求，即可求抛物线的标准方程； （2）首先根据（1）的结果求点的坐标，设直线和的直线方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，并表示直线的坐标，即可证明. 【小问1详解】 由抛物线的定义知，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线与的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点的坐标. 22. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $