精品解析：云南省昭通市威信县第二中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

2024年秋季学期高二年级期中考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则复数的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ） A 3 B. C. D. 5. 若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（ ） A. B. C. 无公共点 D. 即不平行也不相交 6. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 复数满足，则复数在复平面所对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在正方形中，为边中点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于复数的说法正确的是（ ） A. 复数 B. C. D. 10. 已知，表示直线，表示平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则或与相交 C. 若，，则，无公共点 D. 直线平面，直线，则或和异面 11. 如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A. 与不平行 B. 模恰为模的倍 C. 与的模相等的向量有9个（不含） D. 与相等的向量只有一个（不含） 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数为实数，则实数______. 13. 已知向量，的夹角为，且，，则______. 14. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数. （1）求复数的模； （2）若，求，的值. 16. 在中，，，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 17. 如图所示，在正方体中，.证明： （1）； （2）与异面直线. 18. 已知，，. （1）求的值； （2）当为何值时，与垂直？ 19. 如图，已知的棱长为2. （1）求四棱锥体积； （2）求直线和平面所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期高二年级期中考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可解得. 【详解】由可得，解得， 故选：C 2. 若复数满足（其中i是虚数单位），则复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，进而可得实部. 【详解】因为，则， 所以复数的实部为. 故选：C. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值. 【详解】， 故选：A. 4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可. 【详解】由余弦定理可得， ， 故选:B. 5. 若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（ ） A. B. C. 无公共点 D. 即不平行也不相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行可知直线，可能平行或异面，即可得结果. 【详解】因为平面平面，直线，直线， 可知直线，不可能相交，但可能平行或异面，即没有公共点. 故选：C. 6. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式计算即可. 【详解】如图所示：由题意得，， ， ， 故选：D. 7. 复数满足，则复数在复平面所对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简题给分式得到复数对应点的坐标，进而得到该点所在象限. 【详解】， 则复数对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 8. 如图，在正方形中，为边中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合题意即可得. 【详解】由题可知，则， 可得，，所以. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于复数的说法正确的是（ ） A. 复数 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算及性质逐一判断选项. 【详解】对于A：，，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：，D错误. 故选：AB. 10. 已知，表示直线，表示平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或与相交 C. 若，，则，无公共点 D. 直线平面，直线，则或和异面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和平面位置关系，由线在面内、线面相交、线面平行等对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A：若说明直线a和面只有一个交点，A错误； 对于B：直线在面外，则直线和面相交或平行，B正确； 对于C：，则和可以相交，故和可以相交，C错误； 对于D：直线平面，直线，则或和异面，D正确， 故选：BD. 11. 如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A. 与不平行 B. 的模恰为模的倍 C. 与的模相等的向量有9个（不含） D. 与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数为实数，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，结合向量的概念列式求解即可. 【详解】因为为实数， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知向量，的夹角为，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的模长公式即可求得结果. 【详解】向量，的夹角为，，， 所以； 所以， 所以. 故答案为： 14. 如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可. 【详解】由题意，作出的图象如图，可得，，且， 故. 故答案为：8 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数. （1）求复数的模； （2）若，求，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用复数除法化简题给复数，进而求得复数的模； （2）利用复数相等列出关于，的方程组，解之即可求得，的值. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ， 又， ，解得，. 16. 在中，，，为边上一点，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中根据已知条件利用余弦定理计算可得； （2）在中利用正弦定理计算可得结果. 小问1详解】 在中，，，且. 由余弦定理得， 可得. 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得， 即， 可得. 17. 如图所示，在正方体中，.证明： （1）； （2）与是异面直线. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明 （2）根据异面直线的定义可得 【小问1详解】 如图所示，连接， 为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， 【小问2详解】 由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 18. 已知，，. （1）求的值； （2）当为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，则. 【小问2详解】 若与垂直，则， 从而，解得： 19. 如图，已知的棱长为2. （1）求四棱锥的体积； （2）求直线和平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用锥体体积公式即可求得四棱锥的体积； （2）先在正方体中找到直线和平面所成角，进而求得其余弦值. 【小问1详解】 正方体的棱长为2， 由正方体性质可得平面，则四棱锥的高为， . 【小问2详解】 因为平面， 直线在平面上的射影为直线， 就是直线和平面所成的角. 在中，，，， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$