精品解析：江西省景德镇一中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（20班）

景德镇一中2024～2025学年第一学期期中考试卷 高一（20）班数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（     ） A. 4个 B. 8个 C. 16个 D. 32个 2. 已知函数的定义域为，则“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若对于，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若的定义域为，则的定义域为； C. 函数是定义在上的单调递增奇函数 D. 记为实数，的最小值，为实数，的最大值，函数，，，，则的最大值与的最小值的差为4. 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，的最小值为9． B. 若，的最小值为4 C. 若，的最小值为 D. 若，的最大值为 11. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 在区间上先增后减 B. C. 若方程在上有6个不等实根，则 D. 若方程恰有3个实根，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时，___________． 13. 设函数则满足的x的取值范围是____________. 14. 已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递增，． （1）求实数的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数，. （1）若，当时，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）当时，已知，，若，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围； （2）设，正实数b，c满足，求的取值范围为A． （3）在(2)的条件下，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数a的取值范围． 18. 设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明. （3）定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 19. 已知函数，. （1）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时，解关于的不等式； （3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2024～2025学年第一学期期中考试卷 高一（20）班数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（     ） A. 4个 B. 8个 C. 16个 D. 32个 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的概念，确定的个数为子集个数. 【详解】因为，且， 所以中含有元素1，2，且是子集， 所以可以是集合与集合的子集的并集， 所以共有个. 故选：B. 2. 已知函数的定义域为，则“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性判断得充分性成立，再举反例说明必要性不成立，从而得解. 【详解】当函数在上为增函数时， 则的最小值为，最大值为，故充分性成立； 当的最小值为，最大值为时，如图， 显然该函数满足条件，但在上不单调，故必要性不成立； 所以“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，得不等式的解集为．从而得到实数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以关于的不等式的解集为． 当，即时，，解集为成立； 当，即时，，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故选:C． 4. 在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案. 【详解】解：因为二次函数的对称轴为， 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减， 对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确； 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增， 对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确； 故选：D. 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 6. 函数为数学家高斯创造的取整函数.表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，对分类讨论，根据取整函数的要求，即可求得值域. 【详解】当时，，则，此时函数的值域； 若，则， 当时，，当且仅当时等号成立； 则，所以，则此时函数的值域为，； 当时，，所以， 当且仅当时等号成立，则，即， 则此时函数的值域为. 综上所述，函数的值域是. 故选： 7. 已知函数，，若对于，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】探讨函数的性质，并用表示出，再把问题转化为在上的最大值大于在上的最大值求解即得. 【详解】由，得， 则， 设，且，， 即，因此函数在单调递增，， 当时，， 由于，，使得成立，即， 又，于是函数在上的最大值大于5， 当时，令，， 当时，若，则，显然无解， 若，则，显然无解， 若，则，显然无解， 当时，，不符合题意， 当时，成立，则， 所以的取值范围为. 故选：B. 8. 对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义求出的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案. 【详解】因为，， 所以：当，即：，解得：，此时：； 当时，在区间上有最小值：， 当时，在区间上有最大值： 所以：当时， 当，即：，解得：或，此时， 当时，单调递增，所以：， 当时，单调递减，所以：， 所以：当或， 作出的图象，如图所示： 函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点， 由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或， 则实数m的取值范围是.故D项正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若的定义域为，则的定义域为； C. 函数是定义在上的单调递增奇函数 D. 记为实数，的最小值，为实数，的最大值，函数，，，，则的最大值与的最小值的差为4. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的单调性、定义域、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由得， 所以，所以A选项为真命题. B选项，的定义域是，所以， 所以的定义域为，所以B选项为假命题. C选项，对于函数，当时， ，所以在上单调递减，所以C选项错误. D选项，由解得或， 由于，所以的图象如下图所示， 所以的最大值是. 由于，所以的图象如下图所示， 所以的最小值为， 所以的最大值与的最小值的差为4，D选项正确. 故选：AD 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，的最小值为9． B. 若，的最小值为4 C. 若，的最小值为 D. 若，的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为9，故A正确； 若，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以取不到最小值，故B错误； 若，则，所以， 由，，以及可知，，则当时， 即时，有最小值为，故C正确； 因为 ，设，则， 又， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题C选项的关键是减少变量，再利用二次函数的性质求出其最值，D选项的关键是利用换元法，设，再利用基本不等式求出最值. 11. 已知函数，以下结论正确的是（ ） A. 在区间上先增后减 B. C. 若方程在上有6个不等实根，则 D. 若方程恰有3个实根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得在区间上的解析式，并画出图象，对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，， . 当时，， ， 当时，. 由此画出在区间上的图象如下图所示， A.由图可知，在区间上先增后减，A选项正确. B.， ， 所以，B选项正确. C.的图象与有个交点，不妨设， 结合二次函数的对称性可知， ，所以，C选项错误. D. 方程恰有3个实根，即图象与直线有个公共点， 直线恒过点， 由消去并化简得， ，解得或（舍去）. 此时直线与的图象有个公共点，如图所示. 由消去并化简得， ，解得或（舍去）， 此时直线与的图象有个公共点； 直线过点，斜率为，直线， 结合图象可知，要使图象与直线有个公共点，则需. 综上所述，，故D选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题中的分段函数，有一部分的解析式没有直接给出，需要将具体的解析式求出，类似周期函数，可逐段求得函数的解析式，对于方程的根的问题，可转化为函数图象交点来研究. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时，___________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数性质可得答案. 【详解】因是定义在R上的奇函数，则时，. 当，则， 又，则当时，. 故答案为：. 13. 设函数则满足的x的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 14. 已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设的两个根为（设），应用韦达定理得参数关系，写出集合，解不等式得集合，由两个集合相等得出，不大于的最小值，消去参数可得出的范围． 【详解】因为，所以，设的两个根为（设）， ， ， 由得，即， 由于，则，且(二次函数最小值)， ，因此有，所以， 代入得，此式恒成立， 代入得，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：通过不等式的解集形式得出，然后利用集合相等得出间的关系（相等及不等关系）从而求得参数范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递增，． （1）求实数的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用幂函数定义性质即可求解.(2)先求出和的值域， 再将命题是命题的必要不充分条件转化为集合间的关系，进而求出的取值范围 【小问1详解】 为幂函数，则，解得或， 又幂函数在上单调递增，，得. 【小问2详解】 由第一问得，在上递增，所以的值域为，即集合， 而在上递减，所以的值域为，即， 由命题是命题的必要不充分条件可得：A是B的真子集，所以，得， 的取值范围为. 16. 已知函数，. （1）若，当时，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）当时，已知，，若，求的取值范围. 【答案】（1）7 （2） 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值； （2）因式分解，得到，分，和三种情况，得到不等式的解集； （3）化为，根据，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7. 【小问2详解】 由题知， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得. 综上， 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为. 【小问3详解】 不等式可化为， 因为，所以不等式在时恒成立， 又，结合二次函数图象知，，解得. 故的取值范围是. 17. 已知函数． （1）若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围； （2）设，正实数b，c满足，求的取值范围为A． （3）在(2)的条件下，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分离参数法求出a的范围； （2）先利用基本不等式求出集合， （3）根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 令，当，则， 即存在使成立，只需， 因为， 当时，，所以， 实数a的取值范围； 【小问2详解】 因为，所以， 则，当且仅当时，， ;当且仅当时，，所以； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ①当，即时，在上单调递增， 所以，即，得，所以， ②当，即时，在上单调递减， 所以，即，得，所以， ③当时，，， 由.，可得， （ⅰ）当时，，所以， 得，得， （ⅱ）当时，所以， 则，得，得. 综上，. 【点睛】方法点睛：（1）分类讨论法是一种求参数范围的方法，（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 18. 设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明. （3）定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值. 【答案】（1）, （2） 定义域为, 令，得， 因为，所以，所以为偶函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，令，得，从而得到，再令，确定出的范围，从而得到； （2）令，结合，可得为偶函数； （3），得周期为2，再分别令，，可得，，从而得到，结合周期性，得到答案. 【小问1详解】 由于不恒为0，故存在，使， 令，则，所以， 令，由，由 令，得，所以得到， 又令，， 因为当时，，所以， 所以，，故； 【小问2详解】 定义域为, 令，得， 因为，所以，所以为偶函数； 【小问3详解】 由，取，得， 又为偶函数，则，即是以2为周期的周期函数； 令，得，即， 再令，得，即. 而，解得，， 由得，， 所以， 又由于是以2为周期的周期函数， 所以 【点睛】关键点点睛：求抽象函数的值，判断抽象函数的奇偶性和周期性，利用赋值法求抽象函数的函数值是一种常用的方法. 19. 已知函数，. （1）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时，解关于的不等式； （3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由，得， 即， 由点，均为函数与函数图象的公共点， 得， ， 两式相减得， 由，得， 则， 令，则， 整理得，解得， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用不等式恒成立分离参数，再利用单调性求出函数最值即可. （2）把代入，借助一元二次不等式分段求解即得. （3）由建立方程，作差变形，结合基本不等式及一元二次不等式求解证得. 【小问1详解】 当时，，， 对任意，关于的不等式恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 即当时，的最大值为0，则，所以实数的取值范围 【小问2详解】 当时，不等式，即， 当时，成立，则， 当时，得，即解，解得； 当且时，得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $