四川省雅安中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷

3.如图.平行六面体ACD-A,B,C,D,的所有楼长均相等，且∠A,AD一∠A,AB=∠DAB 高二数学试卷 一子，鸡异面直线AC与DD,所成角的余弦值为 注意事项： A停 1,答西前，考生务必将自己的姓名.考生号，考畅号座位号填写在答延卡上 2.回答进释题时，选出制小延答案后，用铅笔托答思R上对应意目的容案标号徐 B号 黑。如需改动，用檬皮擦干净后，再志涂其他客紫标号，目答◆选择题时，将答常可在 鋅面卡上，互在木试卷上无效， c 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 4本试堂主要考试内容：人默A板选择性秘整第一普第一章草第一章， 吃 &.已知A20),B(10,03.若直线一y十2=0上存在点P,使得P·Pi-0,则t的取值范 一、选择题：木觉共8小通，每小题5分，共0分.在每小厘给出的四个选项中，只有一项是符合 图为 慧日要求的. A[-a,劉 [可 1.直战y一x十5的颜军角为 A营 n c(--]U3,+o0) (-,-73u[号+e） 取 二、选择避：本题共3小题，每小翘8分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合爵目要 c景 n若 求全部法对的得6分，都分选对的得部分分，有选端的得0分 2在正方停A8CDAB,CGD1中，P为AA,的中点，则PC- 9已却团C:(红一e)尸十(y一D'一4如的半径为2，则下列命题是真命短的是 A-++ R+丽+a茄 A.a-1 B点(1,4)在展C的外军 c+丽- n是-脑-茄 C若直线mz十y一2=0平分西的周长，则网=一1 D圆（￥-+(y+5)'=8M与高C外切 3,已知直线x十ay一3=0与：2x十(a十10y-10=0,若12x,则a 10.已知点P(2,1),Q1,),H在直线x一y+1=0上，则HP十1HQ的值可能为 A-1 BI c D.2 A22 B√T C D.3 11.若E任平面y,F∈平面y,EF⊥平国Y,则称点F为点E在平而y内的正投影，记为F 4.若方程x+by十虹4y十a-0表示一个圆，则的取值范围为 +,(E,知图.在直四棱柱ABCD-A1CD,中，E-2Ai,AD⊥AB,P,N分别为AA, ( a(-音0u(o,g》 C℃的中点，D石-3QD,AB=BC=AA,=6记平面A1BC为g,平面ABCD为，Ai 2M(0<1),K:=t,[,(H)],K-t,[t,(H) c( n(-9ju(o,4 A若AN=24:古-24+A:百，期g=1 5.已知向量a=(2,,3),b-(2,5,0),0-(0,2,12若a,b,c共面，则k- B存在点H,机得耳K平面 A11 8一1 C9 D.3 C线服，长度的最小植匙 反置M:x2+(y-2)2-20与倒N,(2+3)+(y+2)-25的公共弦长为 D存在点H,使得HK:IHK: B.8 三、填空题：本鼎共3小题，每小题5分，共1日分 A.6 12.已知直线1过点(0,1)，【与有线x十y=0年直，则直线4的一般方程为▲ C D.1o [座二数学第1西共4页1 25-13961· 【离二数学第2页（共4内1】 +25-13901· 民已知直线1：mx一y+2一0过定点P,则点P的坐每为▲：若直线1与由线Cy 18(1?分) √红一有两个公共点，期网的取值范围为▲ 如图，在四棱推P-ABCD中，A店-3DC,AB⊥AD,∠ABC=于∠PAE=号，PA-4,CD 14,已知球O是棱长为6的正四面体A以D的内切球，MN是膝O的一条直径，H为该正四面 一2，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD的中点. 体表面上的动点，测丽·H示的最大值为▲ 四、解答摄：本影共5小通，共7分，解答应写出文字说明、证明过程戏演算步乘 (1)话明：CD评陶PAB. (2)证明：PE⊥BC 15.(13分) 已知点M《-2.3),N(4.-3). 、(3)试间在线段PF上是否存在点M,快得直线CM与平西PBC所成角的正弦键为？ (1)求直线MN的一般式方程： (2求以线仪MN为直径的圆的标准方程： 者存在，术出学的值若不有在，请说明理自， (3)求(2)中的圆在点P(4,3》处的切战方程。 16.(15分) 在三棱推P-ABC中，平厦PAC⊥平面ABC,AB⊥BC,AH=C=PA=PC一a,2,O,D 19.(17分) 分别为棱AC,BC的中点，E为PD上#近点D的三等分点 古希始数学家何被罗尼所，与武几里得，阿禁米第并移古希腊三大数学家他的著作（园谁曲 1)证明：0P⊥平面PBC 线论是古代数学免辉的科学成果，其中一发现可表述为平面内到两个定点A,B的距离之 (2)求二南角D-PA-C的余弦值 比胎险为定夜≠D的友P的氧选提圆后来，人将这个餐过他的名字角名，原为 改罗尼斯国，简释阿氏图，如平面内动点T到两个定点A(一3,0)，0(0,0)的距离之比 可为定值2，则点T的航迹就是再氏圆，记为C. T (1)求C的方程 (2)若C与x轴分别交于E,F两点，不在x轴上的点H是直线：x一4上的动点，直线 HE,HF与C的另一个交点分引为M,N,证明直线MN经过定点，并求出该定点的 11.(15分) 已知图C:x2+江+y+y一34+5就位为拿数3. 坐标 ()当a-2时，求直线x一3y一4=0拔网C靓得的弦长， 〔2)证明：圆C经过两个定点. (3)设圆C经过的两个定友为P,Q,若M,12一A),且1PM-QMl,求圆C的标陆 方程 【高二数举驾3百（共4页】 ·写-13· 【高二数争第4{共4页门 ·25-13961·高二数学试卷参考答案 1.C因为直线y=x十45的斜率为1,所以倾斜角为平. 2.B PC:-PA+A.C-7AA:+AB+AD. 3.B因为l1∥12,所以a十1=2a,解得a=1. 4D依题意可得a=b≠0,则6x+by2+b-y十b=0,则x2+y2+x-方十1=0,则D2+ 4 E-4F=1+9->0.解得6∈(-5.oUo,). 2=2x, x=1, 5.A因为a,b,c共面,所以存在x,y∈R,使得a=xb十3yc,则k=5x十2y,解得y=3, 3=y k=11. 6.B根据题意可得圆M与圆N的公共弦所在直线方程为3.x十4y十2=0.圆心N(一3,一2), 圆N的半径为5,点N到直线3x十4y+2=0的距离d=一9-8+2 9+16 =3,故所求弦长为 2V25-9=8. 7.A根据题意易得AC-AB+AD.设AB=1,易得AC=√3,则AC AA=(AB+AD) AA-A.AM+AD.AA=1X1Xcos吾+1X1Xcos号-1.设异面直线AC与DD,所 成的角为0.则cos0=eos(AC,DD1=1 cos(AC.AA)1=AC.A 13 ACIAA 3X1 3 8.B设P(x,y),则PA=(2-x,-y),PB=(10-x,-y).因为PA.Pi=0,所以(2-x) (10一x)+(-y)2=0,即(x一6)2+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心,4为半径的圆上.因为 点P在直线x一4y十2=0上,所以直线x一4y十2=0与圆(x一6)2+y2=16有公共点,则 +2<4,解得-<<3. w2+16 9.ABD根据题意可得4a=4,所以a=1,A正确.圆C:(x一1)2+(y一1)2=4,因为(1一1)2 十(4一1)2>4,所以点(1,4)在圆C的外部,B正确.圆C的圆心坐标为(1,1),半径为2,若直 线m.x+y-2=0平分圆C的周长,则直线m.x十y-2=0过点(1,1),则m十1一2=0,得m =1,C错误.圆(x-9)2十(y+5)2=64的圆心为M(9,-5),半径为8,因为CM|= √64+36=10=2十8,所以圆(.x一9)十(y十5)2=64与圆C外切,D正确: 10.BC如图,设P关于直线x-y十1=0对称的点为P'(a,b),则 a+2_b+1+1=0 解得=0 则P'(0,3),所以|HP1+|HQ| b=3. 22 【高二数学 参考答案第1页(共5页)】 25-139B1 |HP'|+|HQ|≥P'Q|=1+9=√10 11.ABC以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系,如 图所示,连接PQ,BN A1(0,06.Q(3,0,号),B0,6,0.N(6,6,3),P(0,03),则 P0-(3.0,g),BN=(6.0,3).BN=2P,所以Q,B.N.P四 点共面,若AN=2A,Q-2A户+uA,B,则2-2+u=1,解得 以=1,A正确.过点H作HG⊥AB,交AB于点G,过点G作 B AB的垂线,垂足即K1,过点A作A1B的垂线,垂足即K2,连接 HK1,HK.由题意可得AH=6以(0<A<1),则H(0,0,6), G(0,3-3,3+3),K1(0,3-3,0),K2(0,3,3),则AK2=(0,3,3),HK1=(0,3-3x, 一6),HK2=(0,3,3-6以),A1B=(0,6,-6).易得AK2是平面a的一个法向量,若HK /平面a则K AK-0,即3(3-3以)+3(-6以)=0,解得X-号∈(0.1),符合题意,所 以存在点H,使得HK,∥平面a,B正确.IHK|=√(3-3A)+(-6)= 3V一2以=3,5(-)广+号,当x=时,K取得最小值,最小值为C正 确.若HK1⊥HK2,则HK HIK2=3(3-3)-6(3-6)=0,得42-3十1=0,无解, 所以不存在点H,使得HK,⊥HK2,D错误. 12.x一y十1=0由题意可得直线1的斜率为1,则直线1的方程为y一1=x,即x一y+1=0. 14 13.(02:[-2,0)当x=0时y=2,则P(0,2).曲线C为圆(x- 2)2+y2=4在x轴及其上方的部分,如图所示.其中A(4,0),直线 PA的斜率-名}一三当1的斜率为0时,与曲线C有唯 一公共点,根据题意可得m的取值范围为[一号0)小. 14.12设 ABC的重心为E,则AE=23,DE=√DA-DE=26,则正四面体ABCD的 体积为 气 6 2后=18反.设球0的半径为R.则片 4 6 R=18,反,解得 .因为Hdi.H=(H6+oi (H +O)=Hd:+Hd.ON+Hd.O成+ R-V6 Oi,O示=H0:-O=H心:-多.当点H与正四面体ABCD的顶点重合时,H心- 70取得最大值,所以 -多≤Ad-多-(2后-)-多-12 3-(-3)=-1, 15.解:(1)直线MN的斜率为一2-4 2分 则直线MN的方程为y一3=一(x十2),即x十y-1=0.…4分 【高二数学 参考答案第2页(共5页)】 25-139B1 (2)由题意可知圆心C为线段MN的中点,即C(1,0),…5分 半径r=√(-2-1)+(3-0)=32,… 7分 故所求圆的标准方程为(x一1)2+y2=18. …9分 (3)直线Cp的斜率为。,则所求切线的斜率为1,………10分 故所求的切线方程为y一3=一(.x一4),即x十y一7=0.…13分 16.(1)证明:连接OB,PO.因为PA=PC,所以PO⊥AC.因为平 个2 面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以PO 平面ABC,进而PO⊥OB.因为AB=BC,所以BO⊥AC.… …2分 以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,~轴建立 如图所示的空间直角坐标系, E 则0(0,0,0),P(0,0,3),B(3,0,0),C(0,3,0),E(1,1,1),PE =(3,0,-3),BC=(-3,3,0).…4分 因为O元=(1,1,1),所以O尼.P=O元.BC=0,则OE⊥ PB,OE⊥BC,又PB∩BC=B,所以OE⊥平面PBC. 7分 (2解:由1D得A0,-3.0.D(号,号0)P=0,-3,-3.币=(号号-3 …9分 n1 PA=-3y-3:=0, 设平面PAD的法向量为n1=(x,y,z),则 n, Pi=3 3 取n1=(3,-1, x+2y-3x=0, 1)…11分 易得平面PAC的一个法向量为n2=(1,0,0).…12分 n1 ng 3 31I 设二面角D-PA-C的平面角为0,则|cos81= nn2 √9+1十1 W1+0+0 11 …14分 由图可知二面角D-PAC为镜角,故二面角D-PA-C的余弦值为3① 11 …15分 17.(1)解:当A=2时,圆C:(x+1)+(y+1)=52, …1分 此时,圆C的圆心为C(一1,一1),半径R=√52=213,…3分 则圆心C到直线4红一3y-4=0的距离d=一4+3一4 5 =1,…4分 所以直线4x-3y一4=0被圆C截得的弦长为2√R2-d=2√⑤.…5分 (2)证明:由x2十Ax十y2+入y=34+8入,得x2十y2-34十 (x十y-8)=0,…7分 令x+y-8=0,得x2+y2-34=0,解得=3 或r5, 9分 y=5y=3, 所以圆C经过两个定点,且这两个定点的坐标为(3,5),(5,3). 10分 (3)解:(方法一)设PQ的中点为N,则点N的坐标为(4,4).…11分 【高二数学 参考答案第3页(共5页)】 25-139B1 因为PM|=Q八M引,所以MN⊥PQ,…12分 4-(12- )5-3 所以kN kQ=4-入‘3-5 =-1, 13分 解得入=6,…14分 所以圆C的标准方程为(x十3)2十(y十3)2=100.…15分 (方法二)因为|PM=QM引,所以√(-5)十(12-1-3)7=√(入-3)+(12- -5)产, …1门分 解得入=6,…13分 所以圆C的标准方程为(x十3)2十(y十3)2=100.…15分 18.(1)证明:因为AB=3DC,所以CD∥AB.…2分 因为CD中平面PAB,ABC平面PAB,所以CD平面PAB.…3分 ,所 (2)证明:过C作CF⊥AB,交AB于点F.因为CD=2,所以AB=6,因为∠ABC= 以AD=CF=BF=4.因为点E为AD的中点,所以AE=2. …4分 因为PA=4,∠PAE=5,所以PE=√4+16-2X2X4cos哥 =23,…5分 所以AE2十PE2=PA2,所以AE⊥PE.…6分 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PEC平面PAD, 7分 所以PE⊥平面ABCD.… …8分 因为BCC平面ABCD,所以PE⊥BC…9分 (3)解:过E作EH∥AB,交BC于点H.以EA,EH,EP所在直线 分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系,如图所示. 假设在线段PE上存在点M满足题意,设EM=AEP(O≤A≤I). 由题意可得M(0,0,23 ),B(2,6,0),C(-2,2,0),P(0,0,23) 则BC=(-4,-4,0),C户=(2,-2,2W3),CM=(2,-2,231).…10分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,之), m BC=-4x-4y=0, 由 取m=(-√3,w3,2). 12分 m.Cp=2x-2y+23x=0, 设直线CM与平面PBC所成的角为0, 则sin0=|cos(CM,m)1= CM.m -2w3-2w3+4v3 _√330 CMm /3+3+4 √/4+4+12 55, …14分 即8以2-2以+9=0,解得A=号或号,因为X∈[0,门.所以入= 9 …16分 EM 1 故存在点M满足题意,此时EP=2 …17分 18.解:设T).根据 =2,得(x十3)2十y2=4(x2十y2),…2分 即(x-1)2十y2=4,所以C的方程为(x-1)2十y2=4.…4分 (2)证明:根据圆的对称性,不妨设E(一1,0),F(3,0). ....................... 5分 【高二数学 参考答案第4页(共5页)】 25-139B1 设H4,)1≠0),则kE=专,km=1, 6分 则HE的方程为y=写(x十1),HF的方程为y=1(x一3).…7分 设M(x1,y1),V(x2y2), 联立方程y一5x+1) 得(25十t2).x2+(212-50)x十12-75=0,…8分 (x-1)2+y2=4, _75-t2 所以x,即飞5十则50所以M5-20 25+12*25+2小 …9分 y=1(x-3), 联立方程 得(1十t)x2-(612十2)x十912-3=0,…10分 1(x-1)2+y2=4, 9t2-3 所以3.x2= 则-号则所以N号》 …11分 201-41 当t≠士5时,kw= 25+t21+8 6t 75-12312-1 5-t2' 12分 25+t21+t 所以直线MN的方程为y 201 6t 21 25+25-2(x- ).化简得y写6一-.… *******5*…]4分 所以直线MN过定点(子,0): …15分 当1=土V5时x1=x=3,此时MN过定点(子0). …16分 综上,直线MN过定点(子o). 17分 【高二数学 参考答案第5页(共5页)】 25-139B1