精品解析： 吉林省吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试题

2024～2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（二C） 教学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、即不是中心对称图形也不是轴对称图形，不合题意； C、D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B、是中心对称图形，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，绕一个点旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形即为中心对称图形，理解该基本定义是解题关键． 2. 一元二次方程配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，先把等式左边的4移项到右边，再加上一次项系数的一半的平方即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 同时加上一次项系数的一半的平方得，， ∴， 故选：C ． 3. 已知，直角坐标系的原点为，半径为5，点，则（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【详解】解：∵的坐标是， ∴， ∵半径为5， ∴点在外， 故选：． 4. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得：，，根据已知，∠B+∠C=75゜，从而可求得∠C的度数，再由旋转的性质即可求得结果． 【详解】∵ ∴ 由旋转的性质有：， ∴， ∴ ∵ ∴∠B+∠C=75゜ 即2∠C+∠C=75゜ ∴∠C=25゜ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识，掌握这些知识是关键． 5. 已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下可知，对称轴在y轴的右侧可知，由抛物线交y轴的正坐标可知，据此判断即可． 【详解】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，， 故选项A符合题意， 故选：A． 6. 如图，点，，，在上，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等；熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据圆周角定理得到，从而可求得，再根据即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ∴； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．由一元二次方程得到，求出根的判别式的值即可． 【详解】解：在一元二次方程中， ， ∴， 即一元二次方程的根的判别式的值是， 故答案为： 8. 抛物线的对称轴是直线，则的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：，对称轴是直线， ，即，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线是解题的关键． 9. 已知，为二次函数图象上两点，且，则与的大小关系为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，能够根据二次函数顶点式确定函数的增减性并判断函数值的大小关系是解决本题的关键． 先根据二次函数顶点式确定函数对称轴、开口方向，得到二次函数在时的增减性，再根据对应值的大小关系判断值的大小关系即可． 【详解】解：由二次函数表达式可知： 二次函数的对称轴为：直线． ． 抛物线开口向下． 当时，随的增大而增大． ． ． 故答案为：． 10. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的解析式为：， 故答案为：． 12. 如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程，然后求解即可，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意，可得， 故答案为：． 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】x1=3+，x2=3﹣ 【解析】 【分析】先把-4移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. 【详解】解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13， 开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用提公因式法解出方程． 【详解】解：， ， ， 或， ． 17. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据等边三角形的性质，得到，旋转的性质，得到，利用证明即可． 【详解】略 18. 已知二次函数的图象过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）把点和代入二次函数，求出，，即可； （2）根据二次函数的性质，可以求出时，函数值的取值范围． 【小问1详解】 ∵二次函数的图象过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 如下图： 由（1）得，二次函数的解析式为：， ∴对称轴为：， 当时，二次函数有最大值，； ∴当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围为：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点O逆时针旋转的． （2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了旋转和中心对称作图，分别找到对应点即可． （1）分别将点绕点O逆时针旋转即可完成作图； （2）分别找到点关于原点O的对称点即可完成作图．关于原点对称的两点，其横、纵坐标互为相反数． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求 【小问2详解】 解：如图所示：即为所求 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 21. 刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． （1）求每个月盈利的增长率； （2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4320元 【解析】 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x,根据等量关系：2月份盈利额×(1+增长率)2=4月份的盈利额列出方程求解即可； （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 【详解】（1）设每月盈利平均增长率为，根据题意得： ， 解得：（不符合题意舍去） 答：每月盈利的平均增长率为； （2）（元） 答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到4320元． 【点睛】本题考查的是二次方程的实际应用，熟练掌握二次方程是解题的关键． 22. 已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点P，于点D． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到和，则，于是可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理可得到是⊙O的切线； （2）由为直径得，根据等腰三角形的性质得，所以，在中，根据含30度的直角三角形的性质得，根据勾股定理得，所以． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是⊙O的切线 【小问2详解】 连接，如图 ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴在中，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定，含30度的直角三角形性质，勾股定理等，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 【答案】（1）①见解析；②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为；③小明第一次投篮练习成功，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①描点，作图即可； ②根据图表，可得抛物线关于直线对称，图象开口向下，进而可求最高点距离地面的竖直高度； ③设抛物线的解析式为，将代入，求得，则，将代入得，，则小明第一次投篮练习成功； （2）将代入得，，解得，，则，当时，，求出满足要求的值即可． 【小问1详解】 解：①如图所示， ②∵，， ∴抛物线关于直线对称， ∵图象开口向下， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； ③小明第一次投篮练习成功． 理由：设抛物线的解析式为． 将代入得，．解得． ∴． 将代入得，． ∴小明第一次投篮练习成功； 【小问2详解】 解：将代入得，．解得． ∴． 当时，． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴此时小明距篮筐中心的水平距离． 24. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； 【小问3详解】 当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C． （1）点Q的速度是点P速度的多少倍？ （2）设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）求出y的最大值． 【答案】（1）Q的速度是点P速度的倍 （2） （3）y的最大值为 【解析】 【分析】（1）由于在中，，，，由此可以利用勾股定理求出，的长度，又两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点，利用这个条件即可求解； （2）有两种情况：①当在上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当在上，利用（1）的结论求出，的长度，也就可以求出到的距离，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， 而两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿，运动，两点同时到达点， 的速度是的速度的倍； 【小问2详解】 解：设，的面积是， ①当在上， 即时，， ②当在上，过Q作于E，如图， ∵，， ∴， ∴当时，， 即：； 综上所述：y关于x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：对于 当时，； 对于 当时，， ， 当时，． 【点睛】此题这样考查了二次函数的最值和勾股定理的应用，解题时首先利用勾股定理求出相关线段的长度，然后利用几何图形的性质求出函数解析式，最后利用函数的最值即可解决问题． 26. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； （3）若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； （4）已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入可求，进而可得二次函数的解析式； （2）由，可知对称轴为直线，图象开口向上，当时，；当时，；当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，则，当时函数值最小，当时函数值最大，，计算求出满足要求的解即可； （3）当时，二次函数的函数值，由关于x的方程（t为实数），在时无解，可知，在时无解，然后求解作答即可； （4）当时，可求，顶点坐标为，如图，当时，，即；由图可知，当时，交点只有一个，当时，轴，交点只有顶点一个，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， 当时，； 当时，； ∵当时，该二次函数最大值与最小值的差是9， ∴， 当时函数值最小，当时函数值最大， ∴， 解得，，（舍去）， ∴t的值为6； 【小问3详解】 解：当时，二次函数的函数值， ∵关于x的方程（t为实数），在时无解， ∴，在时无解， ∴或； 【小问4详解】 解：当时， 解得，， 顶点坐标为， 如图， 当时，，即； 由图可知，当时，交点只有一个， 当时，轴，交点只有顶点一个， 综上所述，当该函数图象与线段只有一个公共点时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（二C） 教学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列慈善公益图标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，直角坐标系的原点为，半径为5，点，则（ ） A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 4. 如图，将绕点顺时针方向旋转得到，且点恰好落在上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，点，，，在上，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的根的判别式的值是______． 8. 抛物线的对称轴是直线，则的值为___． 9. 已知，为二次函数图象上两点，且，则与的大小关系为______． 10. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 12. 如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为________． 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 解方程：． 17. 如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 18. 已知二次函数的图象过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点O逆时针旋转的． （2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，求方程的解； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 21. 刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同． （1）求每个月盈利的增长率； （2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？ 22. 已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点P，于点D． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的值． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． （1）第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； ③已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由； （2）第二次训练时，小明出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，求此时小明距篮筐中心的水平距离d． 24. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿运动，点沿，运动，两点同时到达点C． （1）点Q的速度是点P速度的多少倍？ （2）设，的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）求出y的最大值． 26. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； （3）若关于x的方程（t为实数），在时无解，直接写出t的取值范围； （4）已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $