精品解析：河南省南阳市西峡县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋期文化素质调研九年级数学作业 注意事项： 1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟． 2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写． 3、答题前请将答题卡上的学校、班级、姓名、座号、学生编号填涂完整． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 下列方程中，有两个相等实数根是（ ） A. B. C. D. 5. 估算的值（ ） A. 在6和7之间 B. 在7和8之间 C. 在8和9之间 D. 在9和10之间 6. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，，则下列结论错误的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，若菱形的周长为20，则的长为（ ） A 10 B. 5 C. D. 1 8. 已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____． 12. 若，则的值为______． 13. 如图，在中，，与四边形的面积的比是_______． 14. 已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象没有交点，则的取值范围为__________． 15. 如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿折叠至．若的延长线经过点D，平分，，则的值为______，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 直接写出下列方程的根： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． （1）求证：； （2）若，延长交延长线于点G，求的长． 19. 已知关于x的方程． （1）当a为何值时，方程是一元一次方程； （2）当a为何值时，方程是一元二次方程； （3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a值． 20. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是该方程的两个实数根，是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 22. 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米． 请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 23. 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． （1）若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； （2）如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋期文化素质调研九年级数学作业 注意事项： 1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟． 2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写． 3、答题前请将答题卡上的学校、班级、姓名、座号、学生编号填涂完整． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和分式有意义的条件是解决本题的关键．根据使二次根式有意义的条件可得，使分式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得，且分母， 解得． 故选：A． 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式满足的条件是解答的关键． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程左边用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意； B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意． 故选：D． 5. 估算的值（ ） A. 在6和7之间 B. 在7和8之间 C. 在8和9之间 D. 在9和10之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可． 【详解】∵ ， ∵， ∴， ∴ 即的值在9和10之间， 故选：D 6. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点G，若，，，则下列结论错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例判断即可． 【详解】解：∵直线，，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，若菱形的周长为20，则的长为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据，判定是的中位线，利用中位线定理计算即可． 本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质和中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，菱形的周长为20， ∴是的中位线，， ∴， 故选C． 8. 已知在坐标平面内，三个顶点坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示： 根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 9. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C 只有一种围法 D. 只有两种围法 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：∵垂直于墙的一边长为米， ∴平行于墙的一边长为米， 则：，故A错误； ∵， 解得：，故B错误； 对于方程，化简得：， 解方程得：，， ∵ ∴， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是_____． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值． 【详解】解：∵＝2， ∴无理数a与的积是一个有理数，a的值可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可． 12. 若，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 13. 如图，在中，，与四边形的面积的比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象没有交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点个数问题，将交点个数问题转化成方程根的个数问题是解题的关键．将一次函数解析式代入反比例函数解析式，化简可得一元二次方程，根据两函数的图象没有交点，可知一元二次方程没有实数根，进而确定，代入解出不等式即可． 【详解】解：将代入中， 得， 整理得， ∵一次函数与反比例函数的图象没有公共点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，D为斜边的中点，点E在边上，将沿折叠至．若的延长线经过点D，平分，，则的值为______，的长为_______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】取中点，连接，得是的中位线，，折叠的性质可得，，依据，得到，进而求得的值；过点作交延长线于，设，则，，；推导出，得到，得到，在中，由勾股定理得，解得，得到． 【详解】解：如图1，取中点，连接， ∵为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵为斜边的中点， ∴， ∴，即， ∴； 设，，则， ∴， ∴， 如图2所示，过点作交延长线于， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，，； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形中线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算二次根式的除法和乘法，化简二次根式，再算二次根式的加减即可； （2）首先计算完全平方公式，二次根式的乘法，零指数幂，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 直接写出下列方程的根： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，整理成，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）移项整理成一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 小问3详解】 解： ，， 解得，； 【小问4详解】 解： 或 解得，． 18. 如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． （1）求证：； （2）若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键． （1）利用“一线三直角”即可证明； （2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长． 【小问1详解】 解： 四边形为正方形， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ，， ， ， 设， ∵， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 已知关于x的方程． （1）当a为何值时，方程是一元一次方程； （2）当a为何值时，方程是一元二次方程； （3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】（1）1 （2）且 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解得定义，一元一次方程的定义： （1）根据一元一次方程的定义，即可求解； （2）根据一元二次方程的定义，即可求解； （3）把代入，原方程变形为，再结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； 【小问3详解】 解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 20. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率 （2）现在的售价应定为每千克37.4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，列出方程求出，再用原定价减去降价即可求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则每天可售出千克， 根据题意得 ， 整理得， 解得，． 要使顾客得到实惠， ， 即每千克应涨价5元，定价为（元）． 答：现在的售价应定价37.4元． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是该方程的两个实数根，是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式可得，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的方程，解之即可得出值，再结合（1）即可得出结论即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 若，整理可得， ∴，整理可得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 22. 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米． 请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为米． 【解析】 【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 树的高度为米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果满足条件，那么我们称这样的三角形为“倍余子母形”． （1）若是“倍余子母形”，．按所给条件填写角的度数． ①当时， ______； ②当时， ______； （2）如图1，在中，，．若是的平分线，则易证是“倍余子母形”，试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“倍余子母形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图2，在四边形中，，过点作交边于点，，连接．当是“倍余子母形”时，求的长． 【答案】（1）①；②或 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）①根据材料提示的计算方法分类讨论“或”计算，结合实际情况取值，即可求解；②根据材料提示，分类讨论“或”，即可求解； （2）证明，可得，由此即可求解； （3）证明可得，，证明可得，，设，由此列式即可求解． 【小问1详解】 解：∵是“倍余子母形”， ， ∴①当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，，不符合题意，舍去； 故答案为：； ②当时， 第一种情况，，即， 解得，； 第二种情况，，即， 解得，； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：存在，，理由如下， 如图所示，假设上有一点，满足是“倍余子母形”， ∵是“倍余子母形”， ∴只有当， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴存在，； 【小问3详解】 解：在四边形中， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当是“倍余子母形”时， ∵，但， ∴只有， ∴，且， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，新定义，角度的和差计算等知识的综合，理解材料中“倍余子母形”的含义，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$