精品解析：广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（一） 数学试题

禅城区2025届高三统一调研测试（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. 2 D. 5 2. 已知，且（ ） A. B B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是奇函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 6. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为18 B. 的最小值为36 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 1是的极大值 B. 当时， C. 当时，有且仅有一个零点，且 D. 若存在极小值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个顶点分别为，，，且，则______． 13. 若直线与曲线相切，则________． 14. 已知函数在上单调，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 16. 某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占． （1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？ 满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 （2）该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若存、在，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围． 19. 欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和． （1）若数列，，， ①写出，； ②求数列的前项和； （2）对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 禅城区2025届高三统一调研测试（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算得，再利用模长的计算公式，即可解. 【详解】因为，所以， 故选：B. 2. 已知，且（ ） A. B B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照交集和补集直接运算即可. 【详解】由可得. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得，然后利用诱导公式求解. 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 故选：B 4. 抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法，利用古典概型计算公式，即可求解. 【详解】掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况， 所以概率. 故选：A 5. 已知是奇函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 6. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前n项和公式求解. 【详解】解：设等差数列的公差为d，且， 所以， 解得， 所以，， 故选：A 7. 已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式. 【详解】如图，圆台与外接球的轴截面，如下， 设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）， 设， 和中，，，两式联立， 解得，， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 8. 设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围. 【详解】令，则， 因为时，，故当时，， 故在上单调递增，且． 因为，故， 即，所以， 故关于直线对称，故在上单调递减，且， 当时，，则； 当时，，则； 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A：，，，也可能平行，故错误； 对于B：若，，则，正确； 对于C：，，，由线面垂直的判定定理可知不一定垂直于，故也不一定垂直，故错误； 对于D：由，，可得：，再由，可证，故正确. 故选：BD 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为18 B. 的最小值为36 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据基本不等式可得，进而求解即可判断；对于B，根据基本不等式可得，验证取等条件即可判断；对于C，由题意可得，进而结合即可判断；对于D，结合题意可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可判断. 【详解】对于A，由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18，故A正确； 对于B，由，当且仅当且时等号成立， 显然不能同时成立，取不到等号，故B错误； 对于C，由于，所以有， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 则的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 1是的极大值 B. 当时， C. 当时，有且仅有一个零点，且 D. 若存在极小值点，且，其中，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导并对参数进行分类讨论得出函数单调性，即可判断在处取得极大值，即A正确；根据的范围得出单调性即可得出B正确；时，的极小值在上没有零点，所以C错误；根据的极小值点之间的关系，得出即可判断D正确. 【详解】由题意可得，， 令，当时，得或． 对于A，当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值； 当时，在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以A正确； 对于B，当时，在上单调递增，又，因为，所以，所以B正确； 对于C，当时，在上单调递增，由于，所以在上存在唯一的零点且小于0； 若，则的极小值，即在上没有零点，所以有且仅有一个零点且小于0，所以C错误； 对于D，若存在极小值点，则，即， 因为，所以， 所以，，即， 又，所以，所以D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求解三次函数含有参数的单调性问题，经常利用含有参数的一元二次不等式的解法，并对其进行分类讨论即可得出单调性及其极值、极值点等问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的三个顶点分别为，，，且，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据得向量垂直，再转化为数量积等于零，列方程求解即可. 【详解】由，，得，， 因为，所以，则，得，解得. 故答案为：. 13. 若直线与曲线相切，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，，即可得， 因此可得，即可得. 故答案为： 14. 已知函数在上单调，且，则的最大值为______． 【答案】##1.8 【解析】 【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求，并求，即可求解； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，求得，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 16. 某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占． （1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？ 满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 （2）该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）填表见解析；认为市民对交通的满意度与是否上班有关 （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）首先根据条件填写列联表，再计算，比较小概率值，即可得到结论； （2）由条件可知，，根据随机变量的意义，写出概率，并列出分布列和数学期望. 【小问1详解】 由题意可知， 满意 不满意 合计 上班族 15 40 55 非上班族 35 10 45 合计 50 50 100 假设：市民对交通的满意度与是否上班独立， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3，4，5，6． 由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，所以，，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，，点是线段上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，设并利用空间向量求出二面角的余弦值的表达式，解方程可求得，可得结果. 【小问1详解】 在底面中，因为，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面 又因为平面，所以平面平面 【小问2详解】 取中点，连接，． 因为，且，所以四边形为矩形． 即平面， 又因为在中，，所以，，两两垂直． 以，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，． 设平面的法向量 则， 令，可得，即， 因为平面，所以平面的法向量， 所以． 化简得即， 解得或（舍），即． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若存、在，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，其中是函数的导数，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） 方法一：当时，，由， 得，即 由于，事实上，令，， 时，；时，；所以， 所以，即． 所以， 当且仅当时，等号成立，所以，得证． 方法二：当时，，， 由（1）知时，在上单调递增， 当时，可证． 不妨设，要证，即证，即证， 因为，所以即证． 令，其中， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以． 当时，因为，所以， 所以，所以． 综上，． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分，讨论求解； （2）方法一：由，得到，再根据，由证明；方法二：由（1）知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为求解； 【小问1详解】 解：的定义域为，． 当时，，在上单调递增； 当时，令，得或（舍去）， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：，由， 得，即， 所以对任意的，恒成立， 等价于， 由于，事实上，令，， 时，；时，；所以， 所以，即． 所以， 当且仅当时，等号成立（方程显然有解）， 即，所以． 所以的取值范围是． 方法二：，由，得， 即，所以对任意的，恒成立， 等价于 令， 则， 令，则，所以在上单调递增， 又，，所以， 所以存在，使得， 所以，即，所以， 所以， 令，，所以在上单调递增， 因为，所以 又时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题第三问是恒成立问题，主要有两种形式，一是恒成立，则；二是恒成立，则. 19. 欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和． （1）若数列，，， ①写出，； ②求数列的前项和； （2）对于互不相等的素数、、，证明：，，并求的值． 【答案】（1）① ，；②； （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）①因为的正因数有1，3，9，所以，； ②的正因数有，由等比数列求和公式得到，裂项相消得到，求和得到答案； （2）分别计算出，，，，，，得到，；因为，故，，，结合，得到，，，所以． 【小问1详解】 ①因为的正因数有1，3，9， 所以，； ②由题意可知：的正因数有， 则，， 可得， 所以． 【小问2详解】 为素数， 的正因数组成的集合为，，； 的正因数组成的集合为，，； 的正因数组成的集合为，，； 的正因数组成的集合为， 则， ， 所以，． 因为，所以，，， 由（2）知，， 则，，， 所以． 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $