八年级数学第三次月考测试卷【人教版，测试范围：第十一章～第十四章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形~整式的乘法与因式分解（人教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）计算：（　　） A． B． C． D． 3．（3分）若点A（4，m+5）与点B（n﹣5，3）关于y轴对称，则（m+n）2024（　　） A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024 4．（3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2 B． C．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF 6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和20cm，则AD的长是（　　） A．7cm B．8cm C．14cm D．16cm 7．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　） A．130° B．70° C．110 D．100° 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CF＝6，则CE的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（3分）如图，四边形ABCD和BFGE都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 10．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG，则下列四个结论：①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④AE＝2GE；⑤当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 　 　． 12．（3分）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是　 　度． 13．（3分）已知3m＝a，81n＝b，m、n为正整数，则33m+12n的值为 　 　． 14．（3分）若x﹣y＝3，xy＝5，则x2+y2＝　 　． 15．（3分）已知△ABC的三边长分别是4，x，9，△DEF的三边长4，2x﹣7，y，若这两个三角形全等，则2x﹣y＝　 　． 16．（3分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为 　 　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算： （1）（﹣2a2b3）•（﹣ab）2÷4a3b5； （2）5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5）． 18．（6分）因式分解： （1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）； （2）﹣a3+2a2b﹣ab2． 19．（8分）如图，点E在BC的延长线上，连结DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD， DC于点F，点G，已知AB∥CD，AD∥BC． （1）试说明∠BED＝2∠DFE； （2）若∠B＝105°，∠DFE＝28°，求∠CDE的度数． 20．（8分）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，其中AB＝5．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画边AB上的中线CD；再画∠ABC的平分线BE； （2）在图2中BC上画点G，使∠AGC＝∠MGB．再在图3中过点M画AC的平行线． 21．（10分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长． 22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是边AB、AC上的点，且BD＝AE，且CD、BE交于点G，且DF⊥BE，垂足为F． （1）求证：∠ACD＝∠CBE； （2）若FG＝1，求DG的长度． 23．（12分）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：　 　； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值． 24．（12分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：三角形~整式的乘法与因式分解（人教版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2．（3分）计算：（　　） A． B． C． D． 【分析】利用积的乘方与幂的乘方的运算性质解答即可． 【解答】解：原式 ． 故选：C． 3．（3分）若点A（4，m+5）与点B（n﹣5，3）关于y轴对称，则（m+n）2024（　　） A．1 B．﹣1 C．2024 D．﹣2024 【分析】两点关于y轴对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此得出m，n的值，代入求值即可． 【解答】解：∵点A（4，m+5）与点B（n﹣5，3）关于y轴对称， ∴n﹣5＝﹣4，m+5＝3， 解得：n＝1，m＝﹣2， ∴（m+n）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1； 故选：A． 4．（3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2 B． C．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2 D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、该式子是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； C、该式子的右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、该式子是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF 【分析】根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【解答】解：A、∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB， 即AB＝DE， 又∠A＝∠D，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故不符合题意； B、∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故不符合题意； C、BC＝EF，不能判断△ABC≌△DEF， 故符合题意； D、∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故不符合题意， 故选：C． 6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和20cm，则AD的长是（　　） A．7cm B．8cm C．14cm D．16cm 【分析】先根据线段垂直平分线的定义得AE＝BE，AD＝1/2AB，则AC＝BE+CE，再根据△BCE的周长为20cm得AC+BC＝20cm，然后根据△ABC的周长为36cm得AB＝16cm，据此可得AD的长． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，ADAB， ∴AC＝AE+EC＝BE+CE， ∵△BCE的周长为20cm， ∴BE+CE+BC＝20cm， ∴AC+BC＝20cm， ∵△ABC的周长为36cm， ∴AB+AC+BC＝36cm， ∴AB＝16cm， ∴ADAB＝8cm． 故选：B． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　） A．130° B．70° C．110 D．100° 【分析】先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC，再利用三角形的内角和定理求出∠AOF，最后利用邻补角求出∠EOF． 【解答】解：∵∠BCA＝40°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC ＝180°﹣40°﹣60° ＝80°． ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC∠BAC＝40°． ∵BF是△ABC的高， ∴∠BFA＝90°． ∴∠AOF＝90°﹣∠EAC ＝90°﹣40° ＝50°． ∴∠EOF＝180°﹣∠AOF ＝180°﹣50° ＝130°． 故选：A． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CF＝6，则CE的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC，根据AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CE＝CF+EF求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠CAD， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴EA＝EC， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°， ∴△EFD是等边三角形， ∴EF＝ED, ∵CF＝6， ∴12-(6+EF)=ED， ∴ED＝EF＝3， ∴CE＝CF+EF＝6+3＝9， 故选：C． 9．（3分）如图，四边形ABCD和BFGE都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【分析】首先设正方形ABCD的边长为a，正方形BEGF的边长为b，根据已知条件可得出AE＝a﹣b，a2﹣b2＝36，然后根据S阴影＝S△AE+S△AEFC即可得出答案． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形BEGF的边长为b， 依题意得：AE＝a﹣b，a2﹣b2＝36， ∴S阴影＝S△AE+S△AEFCAE•BCAE•BFAE•（BC+BF）， 即：S阴影（a﹣b）（a+b）（a2﹣b2）36＝18． 故选：A． 10．（3分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，E是线段AD上一点，F是边AB上一点，且满足CE＝EF，G是BF的中点，连接EG，则下列四个结论：①BD＝DC；②∠CEF＝120°；③∠ACE＝∠BFE；④AE＝2GE；⑤当∠AEF＝15°时，∠BEC＝150°．其中正确的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质判断①；连接BE，先证得∠CBE＝∠BCE，∠FBE＝∠BFE，即可得出∠BEC+∠BEF＝180°﹣2∠CBE+180°﹣2∠FBE＝360°﹣2（∠CBE+∠FBE），再根据周角的定义即可求出∠CEF的度数，从而判断②是否成立；先证∠FBE＝∠ACE，结合∠FBE＝∠BFE，即可得出∠ACE＝∠BFE，从而对③作出判断；先证EG⊥BF，∠BAD＝30°，即可证得AE＝2GE，从而对④作出判断；先求出∠GFE∠FBE＝∠AEF+∠BAD＝15°+30°＝45°，结合∠ABC＝60°可求出∠CBE＝60°﹣45°＝15°，于是得出∠BCE＝15°，从而求出∠BEC的度数，从而对⑤作出判断． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD＝DC， 故①正确； 如图，连接BE， ∵AD⊥BC，BD＝DC， ∴DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE， ∵CE＝EF， ∴BE＝EF， ∴∠FBE＝∠BFE， 在△BCE中，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣2∠CBE， 在△BFE中，∠BEF＝180°﹣∠FBE﹣∠BFE＝180°﹣2∠FBE， ∴∠BEC+∠BEF＝180°﹣2∠CBE+180°﹣2∠FBE＝360°﹣2（∠CBE+∠FBE）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠CBE+∠FBE＝60°， ∴∠BEC+∠BEF＝360°﹣2×60°＝240°， ∵∠CEF＝360°﹣∠BEC﹣∠BEF， ∴∠CEF＝360°﹣（∠BEC+∠BEF）＝360°﹣240°＝120°， 故②正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠CBE＝∠BCE， ∴∠ABC﹣∠CBE＝∠ACB﹣∠BCE， 即∠FBE＝∠ACE， ∵∠FBE＝∠BFE， ∴∠ACE＝∠BFE， 故③正确； ∵G是BF的中点，BE＝EF， ∴EG⊥BF， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴AE＝2GE， 故④正确； 当∠AEF＝15°时，∠GFE＝∠AEF+∠BAD＝15°+30°＝45°， ∵BE＝EF， ∴∠FBE＝∠BFE＝45°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CBE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BCE＝15°， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 故正确； 所以正确的个数为5个， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 　11或﹣13　． 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9， ∴m+1＝±12， ∴m＝11或m＝﹣13． 故答案为：11或﹣13． 12．（3分）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角是　130　度． 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n， 则（n﹣2）×180﹣x＝2570， 180•n＝2930+x， ∴n， ∵n为正整数，0°＜x＜180°， ∴n＝17， ∴这个内角度数为180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°． 故答案为：130． 13．（3分）已知3m＝a，81n＝b，m、n为正整数，则33m+12n的值为 　a3b3　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：33m+12n ＝（3m）3⋅（34n）3 ＝（3m）3⋅（81n）3 ＝a3b3． 故答案为：a3b3． 14．（3分）若x﹣y＝3，xy＝5，则x2+y2＝　19　． 【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解． 【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝32＝9， ∴x2+y2﹣2×5＝9， ∴x2+y2＝19． 故答案为：19． 15．（3分）已知△ABC的三边长分别是4，x，9，△DEF的三边长4，2x﹣7，y，若这两个三角形全等，则2x﹣y＝　5或8　． 【分析】根据全等三角形的性质得到或，分别求出x，y的值，代入计算即可． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴或， 解得或， ∴2x﹣y＝2×7﹣9＝5或2x﹣y＝2×8﹣8＝8． 故答案为：5或8． 16．（3分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为 　2　． 【分析】连接AP，利用SAS证明△BCE≌△ACP得出∠CBE＝∠CAP＝30°，AP＝BE，再由垂线段最短得出当DP⊥AP时，DP值最小，利用含39°角的直角三角形的性质求出DP即可． 【解答】解：如图，连接AP， ∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC＝8， ∴BC＝AC＝AB＝8，DA＝DC＝4，∠BAC＝∠ABC＝60°，∠CBE＝30°， ∴△CEP为等边三角形， ∴CE＝CP，∠PCE＝60°， ∴∠PCE＝∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACP， 在△BCE和△ACP中， ， ∴△BCE≌△ACP（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAP＝30°，AP＝BE， 当DP⊥AP时，DP值最小， 此时∠APD＝90°，∠CAP＝30°，DA＝4， ∴， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）计算： （1）（﹣2a2b3）•（﹣ab）2÷4a3b5； （2）5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5）． 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（﹣2a2b3）•（﹣ab）2÷4a3b5 ＝（﹣2a2b3）•a2b2÷4a3b5 ＝﹣2a4b5÷4a3b5 a； （2）5x（x2+2x+1）﹣（2x+3）（x﹣5） ＝5x3+10x2+5x﹣（2x2﹣10x+3x﹣15） ＝5x3+10x2+5x﹣2x2+10x﹣3x+15 ＝5x3+8x2+12x+15． 18．（6分）因式分解： （1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）； （2）﹣a3+2a2b﹣ab2． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a） ＝（a﹣b）（m2﹣4n2） ＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）； （2）﹣a3+2a2b﹣ab2 ＝﹣a（a2﹣2ab+b2） ＝﹣a（a﹣b）2． 19．（8分）如图，点E在BC的延长线上，连结DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD， DC于点F，点G，已知AB∥CD，AD∥BC． （1）试说明∠BED＝2∠DFE； （2）若∠B＝105°，∠DFE＝28°，求∠CDE的度数． 【分析】（1）由角平分线定义得到∠BED＝2∠BEF，由AD∥BC，推出∠DFE＝∠BEF，即可得到∠BED＝2∠DFE； （2）由平行线的性质求出∠DCB＝75°，由三角形外角的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵EF平分∠CED， ∴∠BED＝2∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠DFE＝∠BEF， ∴∠BED＝2∠DFE． （2）由（1）知∠BED＝2∠DFE， ∵∠DFE＝28°， ∴∠BED＝56°， ∵AB∥DC， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝105°， ∴∠DCB＝75°， ∵∠DCB＝∠BED+∠CDE， ∴∠CDE＝19°． 20．（8分）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，其中AB＝5．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画边AB上的中线CD；再画∠ABC的平分线BE； （2）在图2中BC上画点G，使∠AGC＝∠MGB．再在图3中过点M画AC的平行线． 【分析】（1）取AB与格线的交点D，连接CD，取格点T，连接BT并延长交AC于E，CD，BE即为所求； （2）取格点A'，连接A'M交BC于G，连接A'B，连接AG并延长交A'B于N，点G，直线MN即为所求． 【解答】解：（1）取AB与格线的交点D，连接CD，取格点T，连接BT并延长交AC于E，如图： CD，BE即为所求； 理由：∵K为BC中点，DK∥AC， ∴D为AB中点， ∴CD是△ABC的中线； 设T到AB的距离为h， 由图可知，T到AC，BC的距离为1， ∵S△ABC＝S△ACT+S△BCT+S△ABT， ∴3×43×14×15h， ∴h＝1， ∴T到AB的距离等于T到BC的距离， ∴BE平分∠ABC； （2）取格点A'，连接A'M交BC于G，连接A'B，连接AG并延长交A'B于N，如图： 点G，直线MN即为所求； 理由：由图可知，A，A'关于BC对称， ∴∠AGC＝∠A'GC， ∵∠MGB＝∠A'GC， ∴∠AGC＝∠MGB； 由作图和等腰三角形的对称性可知，∠NAA'＝∠MA'A，∠NA'A＝∠MAA'， ∵AA'＝AA'， ∴△NAA'≌△MA'A（ASA）， ∴NA＝MA'， ∵GA＝GA'， ∴NG＝MG， ∴∠GNM＝∠GMN， ∵∠GNM+∠GMN＝∠GAA'+∠GA'A， ∴2∠GNM＝2∠GAA'， ∴∠GNM＝∠GAA'， ∴MN∥AC． 21．（10分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长． 【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD＝CD，再由角平分线性质得DE＝CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论； （2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，则CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，又因为BE＝AB﹣AE，由（1）知BE＝CF，则AB﹣AE＝AE﹣AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长． 【解答】（1）证明：如图，连接BD、CD， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC， 由（1）知：BE＝CF， ∴AB﹣AE＝AE﹣AC 即5﹣AE＝AE﹣3， ∴AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1， 22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是边AB、AC上的点，且BD＝AE，且CD、BE交于点G，且DF⊥BE，垂足为F． （1）求证：∠ACD＝∠CBE； （2）若FG＝1，求DG的长度． 【分析】（1）证明△ACD≌△CBE（SAS），即可得到∠ACD＝∠CBE； （2）利用由（1）知∠ACD＝∠CBE，求出∠DGF＝∠EGC＝60°，又DF⊥BE，即∠DFG＝90°，得到∠GDF＝30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出DG的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠BCE＝60°， ∵BD＝AE ∴AB﹣BD＝AC﹣AE ∴AD＝CE 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）， ∴∠ACD＝∠CBE； （2）解：∵∠ACD＝∠CBE， ∴∠EGC＝∠CBE+∠BCG＝∠ACD+∠BCG＝∠ACB＝60°， ∴∠DGF＝∠EGC＝60° ∵DF⊥BE，即∠DFG＝90°， ∴∠FDG＝30°， 在Rt△DFG中，DG＝2FG， ∵FG＝1， ∴DG＝2． 23．（12分）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b），则（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0，且a﹣b＝2k+1，求k的值． 【分析】（1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）灵活运用公式，可得（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0，再结合a﹣b＝2k+1，可求出k的值． 【解答】解：（1）大正方形面积＝（a+b+c）2，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）①根据上面的等式，如果将a﹣b看成a+（﹣b）， 则， ②由题意得：（n）2＝n22， ∵n26， ∴4， ∴n2或2， ∴（n1）2＝1或9； （3）∵a2+b2+4c2+2ab﹣4bc﹣4ac＝0，a2+4b2+c2﹣4ab﹣4bc+2ac＝0， ∴运用公式可得：（a+b﹣2c）2＝0，（a﹣2b+c）2＝0， ∴a+b﹣2c＝0，a﹣2b+c＝0， ∴a﹣2b+c＝0等号两边同时乘2得：2a﹣4b+2c＝0， 与a+b﹣2c＝0相加得：3a﹣3b＝0， 即a﹣b＝0， 又∵a﹣b＝2k+1， ∴2k+1＝0， 解得：k． 24．（12分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形，证明△ABO≌△BCD，得到BO＝CD＝1，OA＝DB＝3，即可确定C的坐标； （2）OA＝OD+CD；证明△ABO≌△BCD，得到BO＝CD，OA＝DB，即可解答； （3）AE＝2CF，如图3，延长CF，AB相交于G，证明△AFC≌△AFG，得到CF＝GF，再证明△ABE≌△CBG，得到AE＝CG，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形， ∵A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1）， ∴OA＝3，OB＝1， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， 在△ABO和△BCD中， ∴△ABO≌△BCD， ∴BO＝CD＝1，OA＝DB＝3， ∴DO＝BO+BD＝4，EO＝CD＝1 ∴C（﹣1，4）； （2）OA＝OD+CD； ∵CD⊥y轴， ∴∠CDB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， 在△ABO和△BCD中， ∴△ABO≌△BCD， ∴BO＝CD，OA＝DB， ∵BD＝OB+OD， ∴OA＝CD+OD． （3）AE＝2CF， 如图3，延长CF，AB相交于G， 证明CF＝FG，△ABE≌△CBG． ∵x轴恰好平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠GAF， ∵CF⊥x轴， ∴∠AFE＝∠AFG＝90°， 在△AFC和△AFG中， ∴△AFC≌△AFG（ASA）， ∴CF＝GF， ∵∠AEB＝∠CEF，∠ABE＝∠CFE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG， ∴AE＝CF+GF＝2CF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$