专题07 全等三角形的八大经典模型-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题07 全等三角形的八大经典模型 目录 【题型一 一线三等角模型】 1 【题型二 手拉手模型】 2 【题型三 半角模型】 3 【题型四 倍长中线模型】 5 【题型五 截长补短模型】 6 【题型六 角平分线模型】 7 【题型七 雨伞模型】 8 【题型八 平行线中点模型】 9 【题型一 一线三等角模型】 例题：（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，________，_________； (2)若，试说明． 2．（24-25八年级上·山东济南·开学考试）  如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：． 【题型二 手拉手模型】 例题：（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图1，点为线段上的任意一点（不于，重合），分别以，为一腰在的同侧作等腰和，，，与都是锐角，且． (1)试说明：； (2)如图2，与相交于点，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，，延长至点D，使，连接，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知在等腰和中，，，，，连结、，试着判断与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【题型三 半角模型】 例题：（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·四川巴中·期末）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． (1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 证明：延长到G，使， 在与中 ∴理由：， 进而证出：__________，理由：（_______） 进而得 (2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想． 2．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读分析过程，解决问题：如图，正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是90°），点E、F在CD、BC上，并且∠EAF=45°，延长CD至点G，使DG=BF，并连接AG． (1)求证：EF=DE+BF； (2)若AB=2，则△EFC的周长=___________．（直接写出结果） 【题型四 倍长中线模型】 例题：（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，已知，，是边上的中线，则取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【题型五 截长补短模型】 例题：（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【题型六 角平分线模型】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，中，是角平分线，，垂足为E，若，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在中，的角平分线交于点D，且，则点D到的距离是（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【题型七 雨伞模型】 例题：（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线，下面的画法（   ） （1）利用刻度尺在的两边上，分别取；（2）连接，利用刻度尺画出的中点E；（3）画射线，所以射线为的角平分线． A．利用了 B．利用了 C．利用了 D．利用了 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    【题型八 平行线中点模型】 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，为边的中点，，过点作直线交与点，交于点，若，，则 ． 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，平分，，垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 5．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知在四边形内，，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，请在空格上添加一个适当的条件，使得，则添加的这个条件是 ． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，求的面积 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知和，，，，与交于点，点在上．求证：． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，分别交，于点M，F．求证： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 15．（23-24八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 全等三角形的八大经典模型 目录 【题型一 一线三等角模型】 1 【题型二 手拉手模型】 4 【题型三 半角模型】 8 【题型四 倍长中线模型】 13 【题型五 截长补短模型】 17 【题型六 角平分线模型】 23 【题型七 雨伞模型】 25 【题型八 平行线中点模型】 28 【题型一 一线三等角模型】 例题：（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，________，_________； (2)若，试说明． 【答案】(1)20，62 (2)见详解 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质和内角和定理的等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （）利用平角和三角形的外角定理解题； （）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：20，62； （2）证明：， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 2．（24-25八年级上·山东济南·开学考试）  如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ②， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 【题型二 手拉手模型】 例题：（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图1，点为线段上的任意一点（不于，重合），分别以，为一腰在的同侧作等腰和，，，与都是锐角，且． (1)试说明：； (2)如图2，与相交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握判定定理内容是解题关键． （1）证即可求解； （2）由（1）可得，根据可求得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，，延长至点D，使，连接，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)若，求的长； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）利用等腰三角形证明角度相等，用证明，得出即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知在等腰和中，，，，，连结、，试着判断与在长度和位置上有何关系，并证明你的结论． 【答案】，，理由见解答． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．证明得到，延长交于，交于，则，根据全等三角形的性质得到，即可证得． 【详解】∵,，， 在与中， ， ； 延长交于，交于，则，    ∵ ∴， ， ． 【题型三 半角模型】 例题：（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·四川巴中·期末）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． (1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 证明：延长到G，使， 在与中 ∴理由：， 进而证出：__________，理由：（_______） 进而得 (2)【探究变式】如图2，四边形中，，．点E、F分别在边、上，，时，还有吗？请证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)仍有，证明见解析 【分析】（1）根据前面的推理提示可得答案； （2）延长FD至点G，使，证明，证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：进而证出：，理由 （2）仍有，理由如下： 延长FD至点G，使， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴即 在和中， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读分析过程，解决问题：如图，正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是90°），点E、F在CD、BC上，并且∠EAF=45°，延长CD至点G，使DG=BF，并连接AG． (1)求证：EF=DE+BF； (2)若AB=2，则△EFC的周长=___________．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先证明，进而可得∠EAG=45°，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∠BAD=∠ABF=∠ADC=∠ADG=90°． 在和中， ， ∴， ∴∠BAF=∠DAG，AF=AG， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAF+∠DAE=∠DAG+∠DAE=45°， ∴∠EAG=45°， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴EF=EG=ED+DG， ∴EF=DE+BF； （2）解：由（1）知，EF=DE+BF， ∴的周长=CF+CE+EF=CF+CE+BF+DE=BC+CD， ∵BC=CD=AB=2， ∴的周长=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 【题型四 倍长中线模型】 例题：（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，已知，，是边上的中线，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题既考查了全等三角形的性质与判定和三角形的三边的关系，首先延长至，使得，连接，因此可以得到，即可证，然后在中利用三角形的三边的关系即可求解，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题． 【详解】如图，延长至，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，又，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法的理解与应用，熟练掌握倍长中线法证明三角形全等是解题的关键： [方法初探]延长至点E，使，连接，利用证明即可； [问题解决]延长至点G，使，连接，同理可证，得到，，再证明，得到即可推出． 【详解】解：[方法初探]延长至点E，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， 故答案为； [问题解决]，理由如下： 证明：延长至点G，使，连接， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． 【题型五 截长补短模型】 例题：（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】（1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在上截取，连接，可证明，得，，由，，得，则，所以，即可证明； （3）在的延长线上取一点，使，连接，可证明，得，，所以，而，可推导出，则，所以． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）， 理由：如图②，在上截取，连接，    为平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3）， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 【题型六 角平分线模型】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，中，是角平分线，，垂足为E，若，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明，得到，则，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：8． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，再证明即可求解． 【详解】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）在中，的角平分线交于点D，且，则点D到的距离是（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可知，点D到的距离等于的长，求解作答即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴点D到的距离是2， 故选：A． 【题型七 雨伞模型】 例题：（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线，下面的画法（   ） （1）利用刻度尺在的两边上，分别取；（2）连接，利用刻度尺画出的中点E；（3）画射线，所以射线为的角平分线． A．利用了 B．利用了 C．利用了 D．利用了 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．结合已知条件，利用“”可证，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 即射线为的角平分线， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键. 根据三角形的内角和求出利用三角形全等求出，再利用外角求出答案. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选： A. 2．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图所示，延长交于，利用证明，得到，进而推出，，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于，   为的角平分线，， ，， 又， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为：16 【题型八 平行线中点模型】 例题：（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，为的中点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、线段的中点和全等三角形的判定和性质，根据，可得，结合中点得可证得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，为边的中点，，过点作直线交与点，交于点，若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 2．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算．解题的关键是证明三角形全等． （1）先证明，得到，即可得证； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义，求出的度数，再根据角平分线定义，即可得解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ． ， 在和中， ； （2）解：平分 ， ． 平分， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，平分，，垂足分别为C，D，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，利用证明，再根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 根据现有条件无法证明， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 3．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知，，，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（ ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键． 根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故选：A． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键．过作于，由是等腰直角三角形，得到，，由余角的性质推出，进而证明，得到，即可求出面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知在四边形内，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到点，使，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，作出正确的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（2024·黑龙江鸡西·二模）如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 【答案】(合理即可） 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：，，再添加一组角相等或即可证明全等． 【详解】添加条件：； 证明：∵，， ∴， 故答案为：(合理即可）． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，请在空格上添加一个适当的条件，使得，则添加的这个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加条件，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于E，连接，若的面积为，则△的面积 ，． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于点G，先证，可得，进一步可得，进而求得的面积． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵为的平分线，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为，． 故答案为：3． 9．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理等知识，证明，则，得到，则，利用三角形内角和定理即可求出答案. 【详解】解：∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，求的面积 ． 【答案】 【分析】作，证，得到，即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：做出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8． 三、解答题 11．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，已知和，，，，与交于点，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，分别交，于点M，F．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据，结合三角形内角和得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)9 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． （1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）平分，理由如下： 过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3），，， ， 即， 解得， ， ． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 15．（23-24八年级上·安徽·单元测试）综合与实践 【问题引入】：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形的三边关系从而求出的取值范围．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中． 【理解应用】：（1）请你根据小明的思路，求的取值范围； 【感悟应用】：（2）如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，求证：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）延长至点E，使，连接，证明，得出，求出，得出即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，证明，得出，，，证明，得出即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴， 即， ∴， ∴； （2）如图，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线，即E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， 在和中， 得， ∴， ∴， ∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$