精品解析：河北省保定市定州市定州中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

高二年级期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8题，每题5分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题的斜率,故倾斜角的正切值为-1,又,故 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线斜率为直线倾斜角的正切值,属于基础题型. 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆焦点在轴上的标准方程的结构特征，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：C. 3. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 4. 若直线与以，为端点的线段有公共点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出过定点，画出图形，求出，，数形结合得到或，即或. 【详解】经过定点，斜率为，画出图形，如下： 其中，， 直线与以，为端点的线段有公共点（含端点）， 则或，即或. 故选：C 5. 已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解. 【详解】因为，， 所以，则， 又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 所以或. 故选：D. 6. 若直线与圆相切，且点到直线的距离为3，则这样的直线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，利用直线与圆相切的性质与点线距离公式得到关于的方程组，进而分析得其解的个数即可得解. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为1， 因为直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为或， 当直线的方程为时，点到直线的距离为，不满足题意； 当直线的方程为时，点到直线的距离为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则有，即， 即，解得或， 当时，有，解得或； 当时，有，整理得， 此时，即方程有两个解，且不为或； 综上，的取值有四种情况，对应的也有四种取值，所以满足条件的直线一共有四条. 故选：A. 7. 已知圆过点，，设圆心，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意由半径相等，结合两点距离公式得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】根据题意，得，又，，， 所以，化简得， 故，则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设，从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得关于的表示，进而得解. 【详解】因为，不妨设，则， 由椭圆的定义与对称性可得，，， 因为，所以， 则，解得， 则，故， 则在中，由， 得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 二、多项选择题（共3题，每题6分） 9. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为6 B. 的周长为10 C. 椭圆的离心率为 D. 面积的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用椭圆方程得到，利用椭圆的定义与性质，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，因为椭圆，所以， 所以椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可知， 所以的周长为，故B正确； 对于C，椭圆的离心率为，故C错误； 对于D，当点为椭圆的短轴的一个端点时，点到轴的距离最大， 此时面积取得最大值，为，故D正确. 故选：BD. 10. 在三棱锥中，△为边长为的正三角形，，，设二面角的大小为，，为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与所成的角为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】取中点，过作且，连接，则平面.取，，为基底向量，则根据题意知，.对于项，根据，得，用基底向量表示，再求模长即可；对于项，根据模长公式建立等式，可得，再用向量的数量积公式求夹角即可；对于项，若，则，分别用基底向量表示，，并求模长，再利用向量法求异面直线的夹角即可；对于项，若，则，根据已知条件可证平面，从而平面，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用三角形重心公式求得的坐标，再求模长即可. 【详解】如图，取中点，过作且，连接，则平面. 因为△为正三角形，所以，， 因为，所以，所以， 所以二面角的平面角为，则. 以，，为基底向量，则，. 对于项，若，即，所以. 因为， 所以，故正确； 对于项，由知， 所以，所以， 所以，解得，所以，故正确； 对于项，若，即，所以. 由知，又， 所以, ，， 设与所成的角为，则， 所以与所成的角不是，故错误； 对于项，若，即，所以， 又，，平面，所以平面， 又，所以平面，则三线两两垂直，建立如图坐标系. 则，，，，则根据三角形重心坐标公式得， 所以，所以，故正确. 故选：. 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线关于直线对称 C. 曲线围成的封闭图形的面积不大于 D. 曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲线的方程得到关于的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，从而判断B；分析曲线与曲线上的两个横坐标相同的点的纵坐标大小关系，从而得到曲线围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD. 【详解】对于A，因为曲线， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为曲线，可化为， 设点是曲线上任一点，则其关于对称的点为， 将代入曲线方程，得， 所以曲线关于直线对称，故B正确； 对于CD，因为，所以，则， 设点是曲线上任一点，则， 点是曲线上的一点，则， 则，，故， 易知当时，在其定义域内单调递减， 所以（当且仅当或时，等号成立），故， 又在上单调递增，所以， 故当增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的， 又曲线围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大， 即曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大，故D正确， 又当时，曲线为，即其图形是半径为的圆， 此时其面积为，则曲线围成的封闭图形的面积不小于，故C错误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题CD选项解决的关键在于，分析得两曲线与上的点的情况，从而得到其围成的封闭图形的面积情况，由此得解. 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 若圆上存在两点关于直线对称，则的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得圆心在直线上，从而列式得解. 【详解】圆的圆心为圆心，半径为2， 圆上存在两点关于直线对称，则圆心在直线上， 所以，解得. 故答案为：2. 13. 已知点，，，则点到直线的距离是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量中点到线的距离公式，结合向量数量积与模的坐标表示即可得解. 【详解】因为点，，， 所以，， 则，， 所以点到直线的距离是 . 故答案为：. 14. 过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为. 故答案为： 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知直线，圆. （1）求与直线平行且与圆相切的直线方程； （2）设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得，从而得解； （2）根据题意假设直线的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设所求直线方程为， 因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为， ，解得或， 所求直线方程为或； 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为， 因为直线与圆相交于A，B两点，， 圆心到直线的距离为， ，解得或， 直线的方程为或. 16. 设椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. （1）若直线的倾斜角为，求椭圆的离心率； （2）若直线在轴上的截距为1，且，求，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件求出的坐标，利用直线的倾斜角，建立关于的齐次方程，解之即可得解； （2）根据题意，结合线段的数量关系求得的坐标，代入椭圆方程，解之即可得解. 【小问1详解】 依题意，设椭圆的半焦距为， 则，则由题意可知，点在第二象限，设， 将代入，得，解得，则， 因为直线的倾斜角为， 所以，则，则， 所以，即，则， 即，解得或（舍去）， 所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 记直线与轴的交点为， 易知，且，故， 则，， 因为，所以，则， 即是与的中点，所以， 将代入椭圆方程，得， 所以，解得，故，即， 所以，. 17. 如图，在正方体中分别为的中点，点在棱上，且. （1）证明：四点共面； （2）设平面与棱的交点为求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 则， 于是， 即向量共面，又向量有公共点， 所以，，，四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标形式可得，故可证四点共面； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，由点平面，得， 即， 则，解得， 即，，而， 则， 设平面的法向量，则， 令，得，令与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． （1）在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． （2）如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出线段所对的正四棱柱外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长. （2）①根据给定条件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性质确定球心，求出球半径，进而求出球面距离. 【小问1详解】 正四棱柱的外接球直径，球半径， 因此球心与点构成正三角形，弦所对球过的大圆圆心角为，弧长为， 所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为. 【小问2详解】 ①在直角梯形中，，，，， ，，则为正三角形， 在棱锥中，平面，而平面，则， 又，平面，则平面， 而平面，因此，， 在中，，，， 所以点到底面的距离为. ②取中点，则为外接圆圆心，令正的外接圆圆心为， 连接，则，平面，平面， 于是，， 在中，，因此棱锥的外接球半径， 有，球的弦所对大圆的圆心角为， ，即是钝角，而， 则，在大圆中所对劣弧长为， 所以，两点在球上的球面距离为. 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． （1）证明：当变化时，点始终在某个椭圆上运动，并求出椭圆的方程． （2）过点作直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点． ①证明：为定值． ②求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：设直线的方程为， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆交于两点，， 所以，即或， 由韦达定理可知，， 又，所以， 设直线的方程为，直线与椭圆交于两点，, 联立，消去得，， 同理可得：， , 所以（定值）. 又当直线的方程为时，直线与直线重合不符合题意. 故（定值）. ② 【解析】 【分析】（1）求出直线与的方程，消去参数即可得到椭圆的方程； （2）①分别联立方程与，借助韦达定理，表示出与，进一步求解即可； ②将转化为，再借助韦达定理，可转化为的函数，根据的范围求函数值域即可. 【小问1详解】 解：设点，依题意可知，即， 所以，即； 同理可得. 于是直线的斜率为， 所以的直线方程为， 直线的方程为，即， 设直线与的交点坐标为， 由可得， 整理可得， 所以当变化时，点始终在椭圆：上运动. 【小问2详解】 ①略 ②因为， 又因为， 所以， 整理可得， 令，因为，所以， 所以， 又因为当时，，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 【点睛】 关键点睛：（1）在得到直线与的方程后整体消参是比较简捷的方法； （2）将直线的方程设为，直线的方程设为，在后续运算中 能比较简捷运算量稍小，给转化为提供了便利条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（共8题，每题5分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与以，为端点的线段有公共点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 6. 若直线与圆相切，且点到直线的距离为3，则这样的直线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知圆过点，，设圆心，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知椭圆的左、右焦点分别，，是椭圆上一点，直线与轴负半轴交于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3题，每题6分） 9. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为6 B. 的周长为10 C. 椭圆的离心率为 D. 面积的最大值为 10. 在三棱锥中，△为边长为的正三角形，，，设二面角的大小为，，为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与所成的角为 D. 若，则 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. B. 曲线关于直线对称 C. 曲线围成的封闭图形的面积不大于 D. 曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 若圆上存在两点关于直线对称，则的值为________. 13. 已知点，，，则点到直线的距离是______. 14. 过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知直线，圆. （1）求与直线平行且与圆相切的直线方程； （2）设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 16. 设椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. （1）若直线的倾斜角为，求椭圆的离心率； （2）若直线在轴上的截距为1，且，求，. 17. 如图，在正方体中分别为的中点，点在棱上，且. （1）证明：四点共面； （2）设平面与棱的交点为求与平面所成角的正弦值. 18. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． （1）在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． （2）如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． （1）证明：当变化时，点始终在某个椭圆上运动，并求出椭圆的方程． （2）过点作直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点． ①证明：为定值． ②求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $