精品解析：浙江省宁波市第十五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024学年第一学期期中测试九年级数学试题 （本卷满分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本小题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 把二次函数化为的形式，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 有张扑克牌面数字分别是，，，，，从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（　　） A. 2cm B. 14cm C. 2cm或14cm D. 10cm或20cm 5. 下列各点中，不可能在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ） A. x+y=90 B. 2x+y=90 C. 2x+y=180 D. x=y 7. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 A B. C. D. 9. 如图，在矩形中，是对角线，将绕点B顺时针旋转到位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是_______． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 设点P是线段的黄金分割点厘米，那么线段的长是___________厘米． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______． 15. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有______．（请在横线上填上符合条件的序号） 16. 如图，正六边形的边长是3，点、是正六边形边和边上的动点，且满足．点是的中点． （1）______． （2）线段的最小值是______． 三、解答题（第17-18题每题6分，第19-22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 19. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中． （1）若此函数图象过点，求这个二次函数表达式． （2）若、为此二次函数图象上两个不同点，当时，，求a的值． （3）若点在此二次函数图象上，且当时y随x的增大而增大，求t的范围． 21. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上( 每个小方格的顶点叫格点)． （1）画出绕点O 顺时针旋转90°后的 （2）求点A 旋转到点所经过的路线长． 22. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 23. 综合与实践 【问题提出】 勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． 【初步感知】 （1）如图1，若，求黄金比的值． 【类比探究】 （2）如图2，在中，是边上一点，将分割成两个三角形（），若，则称为的黄金分割线． ①求证：点是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为上一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是的黄金分割线吗？并说明理由． 24. 如图，四边形内接于，为的直径，于点交于点． （1）设，试用含代数式表示； （2）如图2，若，求的值； （3）在（2）的条件下，作交于，若，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期中测试九年级数学试题 （本卷满分120分，检测时间120分钟） 一、选择题（本小题有8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 2. 把二次函数化为的形式，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法进行整理即可得解． 【详解】解： ， 故选：． 3. 有张扑克牌面数字分别是，，，，，从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用点数为偶数张数除以总张数即可得出答案． 【详解】有张扑克牌面数字分别是，，，，，从中随机抽取一张一共有6中情形，其中偶数4,8,10三张， 由概率公式随机抽取一张点数为偶数的概率P=， 故选择：D． 【点睛】本题考查概率公式P（A）=求简单事件的概率，关键是应先确定所有结果中的可能性都相同，然后确定所有可能的结果总数n和事件A在总数中的结果数m是解题关键． 4. 的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（　　） A 2cm B. 14cm C. 2cm或14cm D. 10cm或20cm 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，由，得到，利用垂径定理得到E、F分别为的中点，分别求出与，由即可得到的长；当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，由，得到，同理求出与，由即可求出的长． 【详解】解：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作， ∵， ∴， ∴E、F分别为的中点， ∴，， 中，，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得到， 此时和的距离； 当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作， 同理可得：， 此时和的距离， 综上，和的距离为2cm或14cm． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 5. 下列各点中，不可能在抛物线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别将横坐标代入进行计算即可求解． 【详解】解：A. 将代入，， 解得：，则可能在抛物线上 B. 将代入， 解得：，则可能在抛物线上 C. 将代入， ∴可能在抛物线上 D. 将代入， 解得： ∴不可能抛物线上 故选：D． 6. 如图，AB为⊙O的直径，C为上一点，AD∥OC， AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC=x°，∠ACD=y°，则下列结论成立的是（ ） A. x+y=90 B. 2x+y=90 C. 2x+y=180 D. x=y 【答案】A 【解析】 【分析】连接BC，由AB是直径，得∠ACB=90°.根据圆内接四边形性质得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°, 由平行线性质得∠BAD=∠BOC= y°，故x+y+90=180. 【详解】连接BC， 因为，AB是直径， 所以，∠ACB=90°. 因为，四边形ADCB是圆的内接四边形， 所以，∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°, 又因为AD∥OC， 所以，∠BAD=∠BOC= x° 所以，x+y+90=180, 所以，x+y=90 故选A 【点睛】本题考核知识点：圆的内接四边形. 解题关键点：熟记圆的内接四边形对角互补和平行线性质. 7. 如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入解析式，分别求得A、B、C、D四点坐标，进而，，求解a． 【详解】解：时，函数， ∴ ∴ 函数, ∴ ∴ ∴. 故选：D 【点睛】本题考查函数与方程的联系，二次函数图象性质；理解函数与方程组的联系，运用方程组的思想求解点坐标是解题的关键． 8. 直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC． ∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°， ∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF． 在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF， ∴△BCE≌△CAF（ASA）． ∴CF=BE=3，CE=AF=4． 在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3， ∴， ∵AF⊥l3，DG⊥l3， ∴△CDG∽△CAF． ∴，解得． 在Rt△BCD中，∵，BC=5， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键． 9. 如图，在矩形中，是对角线，将绕点B顺时针旋转到位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，．作于点M，则可得，又由H是的中点，进而可证是的中位线，则可求出 、的长，进而可得的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点H作于点M， ∵将绕点B顺时针旋转到位置，，， ，，， ， ， ∵H是的中点， ， ， ∴是的中位线， ， ， 在中，． 答案：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形中位线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 10. 二次函数的图象与x轴的两个交点为，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项． 【详解】解：由二次函数可知开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； ∵，是二次函数与x轴的交点，点是图象上的一点， ∴当时，则或；故、选项错误； 当时，则，故正确；当且时，此时有可能，故错误； 故选． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则的值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，先根据比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出d的值． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， 即， 解得． 故答案为：9． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 设点P是线段的黄金分割点厘米，那么线段的长是___________厘米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点厘米， ， 厘米， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是解题的关键． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题点的关键．利用计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：． 故答案为：． 15. 如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有______．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 16. 如图，正六边形的边长是3，点、是正六边形边和边上的动点，且满足．点是的中点． （1）______． （2）线段的最小值是______． 【答案】 ①. 60°##60度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，正六边形的性质，三角形外角的性质，圆的性质． （1）证明，结合正六边形的性质计算即可． （2）设正六边形的中心是点O，连接，点Q在的外接圆上，根据正六边形的性质，圆的性质计算即可． 【详解】（1）∵正六边形的边长是3， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）设正六边形的中心是点O，连接， 则， ∵， ∴， ∴点Q在的外接圆上， 设的外接圆的圆心为点G， 连接，延长交于点R， 则， ∴直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵正六边形的边长是3，点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， 连接，交圆G于点T， ∴， ， 当点Q与点T重合时，取得最小值，且最小值为， 故答案为：． 三、解答题（第17-18题每题6分，第19-22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分） 17. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1） （2）x的值 【解析】 【分析】本题考查了比例和比例中项， （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 掌握比例和比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即，那么线段b是a和c的比例中项”是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， 则设， ∵， ∴， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ， ， ， 或（舍）， 即x的值． 18. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 19. 如图，在中，，点在上，于点． （1）求证：； （2），且，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据“两角相等的两个三角形相似”即可求证； （）由相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵于点，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中． （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式． （2）若、为此二次函数图象上两个不同点，当时，，求a的值． （3）若点在此二次函数图象上，且当时y随x的增大而增大，求t的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 将，代入即可； （2）由可得这两个点关于抛物线的对称轴对称，再利用对称轴公式计算即可； （3）由题意可得，分和分别求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得：， 解得：， ∴, ∴这个二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点在二次函数图象上， ∴， ∵当时y随x的增大而增大， 当时，有， ∴， ∴， 当时，不符合题意舍去， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键． 21. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上( 每个小方格的顶点叫格点)． （1）画出绕点O 顺时针旋转90°后的 （2）求点A 旋转到点所经过的路线长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图形的旋转，求旋转点经过的路径长即弧长，勾股定理等知识点 （1）分别作出三点绕点O顺时针旋转90°后的对应点，依次连接即可得顺时针旋转90°后的； （2）由旋转的性质得，由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：旋转后的图形如下： 【小问2详解】 解：由勾股定理得； 由旋转知：， 所以点A 旋转到点所经过的路线长为． 22. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 23. 综合与实践 【问题提出】 勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． 【初步感知】 （1）如图1，若，求黄金比的值． 【类比探究】 （2）如图2，在中，是边上一点，将分割成两个三角形（），若，则称为的黄金分割线． ①求证：点是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是的黄金分割线吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）直线不是的黄金分割线，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程．熟练掌握相似三角形的判定与性质写出比例关系是解题的关键． （1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）①设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点；②（方法一）解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可；（方法二）由（1）得，求的值，根据，计算求解即可； （3）由，可得，，，，则，，运算可得，即，则，，然后作答即可． 【详解】（1）解：设，则， 由题意，， ∴，整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴． （2）①解：设中边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． ②（方法一）解：设的面积为，则的面积为， ∵， ∴，整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴的面积为． （方法二）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴． （3）解：直线不是的黄金分割线．理由如下： ∵， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线不是的黄金分割线． 24. 如图，四边形内接于，为的直径，于点交于点． （1）设，试用含的代数式表示； （2）如图2，若，求的值； （3）在（2）条件下，作交于，若，求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案； （2）由直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，进而可得，由于，于是可证得，进而可得，由可设，则，，通过解一元二次方程即可求出，进而可求得的值； （3）由（2）可得，由可设，则，，，，，设，则，根据勾股定理可得，进而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出，进而可求得的值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ， 即：， 又， ， ， ， 可设，则，， ， 即： 解得：或（不合题意，故舍去）， ； 【小问3详解】 解：如图， 由（2）可得：， ， 可设，则，，， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即：， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，列代数式，直径所对的圆周角是直角，等式的性质，相似三角形的判定与性质，直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$