专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 尺规作图 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 题型十八 全等三角形中的新定义问题 题型十九 全等三角形中的最值问题 题型二十 全等三角形与函数综合 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 1．（2022·江西·二模）如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    3．（23-24七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 2．（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，相交于点O．若，则 ． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形的面积=四边形的面积 2．（2020·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 3．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图：   ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，， 垂足分别为B 、C．，与交于点F．连接，则图中共有 对全等三角形． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在和中，，，，则 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)与交于点G，当，时，求的度数． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 2、（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．    3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山西大同·期末）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，将一个45度角的直角三角板放在直角坐标系点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 1、（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，，的周长等于的周长 2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）在与中，①；②；③；④；⑤，从这五个条件中选取三个，可以判定的方法共有 种． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，则添加以下条件中的一个条件之后，仍不能判定全等的条件是 ①  ②  ③  ④ 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， (1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 【经典例题十二 尺规作图】 【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 1．（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【经典例题十八 全等三角形中的新定义问题】 【例18】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 1．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【经典例题十九 全等三角形中的最值问题】 【例19】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 由平面直角坐标系可得：． 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，长方形中，，，为长方形上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点P运动时间为x秒，△APD的面积为．    (1)填空： ①当时，对应的值为 ； ②当时，与之间的关系式为 ； (2)当时，对应的值为 ； (3)当在线段上运动时，是否存在点使得 的周长最小？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期末）如图1，直线y＝kx+b交两轴于点A（4，0），B（0，3）． (1)求直线y＝kx+b的解析式； (2)过A点的直线AQ交y轴负半轴于点Q，若∠BAQ＝45°，求点Q的坐标； (3)如图2，在线段AB上找一点D，x轴上找一点E，使BE+DE最小，简要说明点D、E的找法（不需说明理由），并求出此时点E的坐标． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点． (1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小 （填“是”或“否”）； (2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由． 【经典例题二十 全等三角形与函数综合】 【例20】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，直线AB的解析式为，D点的坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求的函数表达式． (2)点是直线上方第一象限内的动点，如图2，当为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标． 1．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 2．（23-24八年级上·重庆南岸·期末）如图，已知，经过点的直线与x轴交于B点． (1)求直线的函数表达式； (2)用尺规作图：经过点A，作直线的垂线，交y轴于点E； (3)在（2）完成的图中，求证：． 3．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）【问题提出】 （1）如图①，点为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点，若，，过点的直线l将分成面积为的两部分，求直线的函数表达式； 【问题解决】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形OABC分成面积相等的两部分，记直线与AB所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将△OAD分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 1．（河北省邢台市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）在和中， ， ， ， 若， 则 （     ） A． B． C． D．不只是，还有可能是其他值 2．（2024八年级上·广西·专题练习）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定≌得到，其中判定的依据是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在和中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，交于点，过作的垂线交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，平分，过点作于点交的延长线于点与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的为（   ） A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①②④ 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，M、N、K分别是、、上的点，且，．若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 8．（湖北省武汉市东湖高新区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点D，交于点E，连接，，，的周长为6，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号） 11．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 12．（24-25八年级上·四川德阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 13．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期中）【问题背景】等腰直角三角形是一种特殊的三角形；它的两条直角边长度相等，另外两个锐角相等，都为；在数学问题中，常常利用等腰直角三角形的特殊性质来求解角度、边长等问题．在工程设计中，等腰直角三角形的稳定性可以应用于一些结构的构建．例如某些特定的支撑架结构可能会利用等腰直角三角形的形状来保证稳定性． 【问题解决】小明将一个等腰直角三角板的直角顶点放置在轴上；点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接， 求证：． 15．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图所示，已知在中，，厘米，厘米，为的中点，如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）．    (1)用含的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（20大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 尺规作图 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 题型十八 全等三角形中的新定义问题 题型十九 全等三角形中的最值问题 题型二十 全等三角形与函数综合 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．设，，求得，由的面积为整数，推出和是整数，即可判断矩形的面积为整数． 【详解】解：设，， ∵矩形矩形矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵的面积为整数， ∴和是整数， ∴为整数， ∴为整数， 故选：D． 1．（2022·江西·二模）如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．先根据题意画出图形，即可得到结论． 【详解】解：如图所示： 符合要求的拼图方法有6种， 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．根据全等图形的判定和性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，已知，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据对应顶点，写出对应边和对应角即可． 【详解】解：∵，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：和，和，和； 对应角是：和，和，和． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．正确的找出对应边和对应角，是解题的关键． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，相交于点O．若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由得，，再由三角形内角和定理得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：80． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，全等于，E在边 上，与交于点 F．若， (1)求线段的长． (2)求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点， （1）先根据图形和已知判定出全等三角形的对应边，然后根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可得解； 掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴， 如图所示，为中的最短边，为中的最短边， ∵， ∴和不可能是全等三角形的对应边， ∵E在边上， ∴， ∵全等于， ∴， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，得到继而得到，计算即可． 【详解】．∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等，则x等于 【答案】3 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵的三边长为3，5，7，的三边长为5，，，若与全等， ∴当时，，则，符合题意； 当时，，则，不符合题意； ∴． 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的三边关系： （1）根据平角的定义，求出的度数，全等得到，利用三角形的内角和定理求出的度数； （2）三角形的三边关系求出的长，全等得到，进而求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，直角沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的是（   ）    A． B． C． D．四边形的面积=四边形的面积 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的面积，平行线的判定，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：沿直线边所在的直线向下平移得到， ，， ，， ，， 故A、C、D项结论正确， 平移中，当点D接近点B时，可知：，故B项结论不一定正确， 故选：B． 2．（2020·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，，于点，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】40 【分析】根据∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°，可知∠ABC=∠ADF，根据全等三角形的判定，不难推出△ABE≌△ADF，则AE=AF；观察图形可知，，根据三角形面积公式进行计算，即可求出四边形ABCD的面积． 【详解】过A点作AF⊥CD交CD延长线于F，连接AC， ∵∠ABC+∠ADC =180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. ∵， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF， ∴ =×BC×AE+×CD×AF = 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、三角形的面积计算，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与面积的计算． 3．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （2）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 本题考查了三角形内角和性质以及全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的面积相等． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 而， ； （2）解：，， ， ∵， ， ． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求． 【详解】证明：， ． 在与中， ， ． ， ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图：   ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可． 本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定，熟练掌握基本作图，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，， 垂足分别为B 、C．，与交于点F．连接，则图中共有 对全等三角形． 【答案】5/五 【分析】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．证明则，，再证明，则，得到，即可证明， 则；证明，，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴ 在与中 ∴ ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴全等三角形有，，，，，共5对全等三角形． 故答案为：5． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：A． 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定．将各个选项依次代入题目当中，再根据全等三角形的判定方法依次判断即可．一般三角形全等的判定方法有、、、，注意没有．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若添加，则可根据证明，故A选项不符合题意； B、若添加，则可得，则可根据证明，故B选项不符合题意；     C、若添加，则可根据证明，故C选项不符合题意； D、若添加，则成了，不能证明，故D选项符合题意. 故选：D 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在和中，，，，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．先证即可得，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 熟练掌握全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】∵和中 ， ， ， ， 故答案为：45． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)与交于点G，当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，正确寻找全等三角形全等的条件是解题的关键． （1）由线段的和差可得，根据平行线的性质可得，根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得、，再根据三角形内角和定理可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴在中，， ∴． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 2、（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系可求出，再利用三角形外角性质即可求出； （2）由三角形外角性质可得，结合，进而由即可证明； 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 故答案为：； （2）证明：∵， ， ，， ， 在和中， ， ． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24八年级上·山西大同·期末）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案． 【详解】解：， A、，满足的条件，能证明，不符合题意； B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意； C、，得到，满足，能证明，不符合题意； D、，得到，满足，能证明，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：． 2．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，将一个45度角的直角三角板放在直角坐标系点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为 ． 【答案】6 【分析】过C作轴于点D，轴于点E，证，得即可解决问题． 【详解】解：如图，过C作轴于点D，轴于点E，则， ∵点， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)0.8 【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ，， ，， ∴， ∴． 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键． 根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断． 【详解】A．， 不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形； B．，，， 这里，不符合三角形三边关系，不能作出三角形； C．，，， 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形； D．，，， 两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形． 故选：D． 1、（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，，的周长等于的周长 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：、满足，不能判定全等，不符合题意； B、不是一组对应边相等，不能判定全等，不符合题意； C、满足，不能判定全等，不符合题意； D、符合，能判定全等，符合题意． 故选D． 2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）在与中，①；②；③；④；⑤，从这五个条件中选取三个，可以判定的方法共有 种． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的判定来解答此题即可． 【详解】解：全等三角形的判定有五种方法，分别是，，，以及直角三角形中可用到的． ①②③用到的方法； ①③④和②③⑤用到的方法； ①④⑤和②④⑤用到的方法； ③④⑤用到的方法； 故有六种方法． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，则添加以下条件中的一个条件之后，仍不能判定全等的条件是 ①  ②  ③  ④ 【答案】② 【分析】本题考查了平行线的性质性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 由结合图形可推出，由，可得，根据全等三角形的全等定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 添加①，由可得； 添加②，由不能证明； 添加③，由可得； 添加④，由可得． 所以不能判断全等的条件是②． 故答案为：②． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，直线经过的直角顶点的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，垂足分别为点、，若，设运动时间为， (1)分别求出在此运动过程中，点与点的运动时长． (2)当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】根据，可以求出，根据点、运动的速度求出它们运动的时间； 点运动到点需要，点运动到点需要，因为，所以，因为，所以，所以，要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明即可． 【详解】（1）解：、， ， 点D的运动时长为， 点E的运动时长为：； （2）解：， ， ， ， ， 在和中， ，， 要证以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等只要再证明， 如下图所示 当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； 如下图所示， 当在上，也在上时，即， ， ， ； 当到达，在上时，即， ，， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了三角形上的动点问题和全等三角形的判定．解决本题的关键是根据点、运动的速度和路程，分情况讨论点、在不同的位置上时形成的两个直角三角形的关系． 【经典例题十二 尺规作图】 【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 1．（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质等知识点，根据平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； ， 和互余，和互余， ， ，故③正确； 和不一定全等，故和不一定相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． （1）利用，可得，即可推出，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）证明即可得出； （）通过得出，通过角度和差得，最后由三角形内角和得出的度数； 过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积的求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）同理（）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∴ ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒（舍去）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)； ④当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)， ∴点的运动时间为6或12或18． 故答案为：6或12或18． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，，    由（1）可知，， ， 在线段上， ， 解得：； ②， ， 、当点在线段延长线上时，如图3，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十八 全等三角形中的新定义问题】 【例18】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①图见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）解：， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①解：如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 1．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)∠B+∠D＝180° (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解珺琟友谊三角形的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图1中，在上取一点H，使得．再证明，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答； （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及珺琟友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应边相等，对应角相等， ∴两个三角形全等，必有有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等， ∴若两个三角形全等，它们是珺琟友谊三角形． 故答案为：是． （2）解：∵平分， ∴， ∵，与是珺琟友谊三角形， ∴， 如图1中，在上取一点H，使得． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图2中， ∵， ∴， 如图：延长到点G，连接，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是珺琟友谊三角形． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【经典例题十九 全等三角形中的最值问题】 【例19】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或． (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、坐标与图形等知识点，熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． （1）先点关于y轴对称的点的坐标为，同理可得：，，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标； （3）如图：连接，与y轴的交点即为点P，然后直接写出坐标即可． 【详解】（1）解： 如图：即为所求． （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：． 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，长方形中，，，为长方形上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点P运动时间为x秒，△APD的面积为．    (1)填空： ①当时，对应的值为 ； ②当时，与之间的关系式为 ； (2)当时，对应的值为 ； (3)当在线段上运动时，是否存在点使得 的周长最小？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 或 (3)存在，． 【分析】（1）①利用三角形面积求法即可得出答案； ②当＜时，点运动到边上，得出与的函数关系式即可； （2）分别求出点在、、上与的函数关系式，利用，求出的值即可； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置，进而利用全等三角形的性质求出答案． 【详解】（1）解：①依题意时，点在上，， 故答案为：． ②当时，点在边上， ＝ （2）当 从 运动时，； 当 从 运动时，； 当 从 运动时，； 令 ，则 或， 解得 ： 或 故答案为： 或 ． （3）存在．理由：如图，延长 ，使得 ，连接 ，交 于点 ，则 为所求，    则， ， ， ∵四边形 是长方形 ， ， 在 与 中， ， ，   ，， ，， ， ． 【点睛】此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和三角形面积求法等知识，利用分类讨论求出与的函数关系式是解题关键． 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期末）如图1，直线y＝kx+b交两轴于点A（4，0），B（0，3）． (1)求直线y＝kx+b的解析式； (2)过A点的直线AQ交y轴负半轴于点Q，若∠BAQ＝45°，求点Q的坐标； (3)如图2，在线段AB上找一点D，x轴上找一点E，使BE+DE最小，简要说明点D、E的找法（不需说明理由），并求出此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)D、E的找法见解析， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）如图，过点，作交于点，过点作轴于点，证明，进而可得，直线的解析式为，即可求得； （3）如图，取点关于轴的对称点，过点作，交于点，交轴于点，则的最小值为，求得直线的解析式为，根据一次函数的平移可得的解析式为，令，解得，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线y＝kx+b交两轴于点A（4，0），B（0，3） ∴ 解得 则直线的解析式为 （2）如图，过点，作交于点，过点作轴于点， ∠BAQ＝45°， 是等腰直角三角形， 又 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 令，得 （3）如图，取点关于轴的对称点 过点作，交于点，交轴于点， ，而， 的最小值为， 设直线的解析式为， 由， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设的解析式为， ， 的解析式为， 令，解得， 即点． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，待定系数求解析式，全等三角形的性质与判定，两直线交点问题，轴对称求线段和最小值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点． (1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小 （填“是”或“否”）； (2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小； （2）证明∠CBE=90°，根据PC + PD的最小值等于CE计算即可． 【详解】（1）如图，作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小； 故答案为：是 （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CBA=45° ∵D关于直线AB的对称点E ∴∠CBA=∠EBA=45°，EB=BE，PD=PE ∴∠CBE=90° ∵D是BC的中点 ∴DB=DC=BE ∵ ∴ ∴ ∴ 即PC + PD的最小值为 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质及判定，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键． 【经典例题二十 全等三角形与函数综合】 【例20】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，直线AB的解析式为，D点的坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求的函数表达式． (2)点是直线上方第一象限内的动点，如图2，当为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，本题的关键是理解题意利用分类讨论思想解题． （1）求出点A的坐标，得到的长度，根据对称的性质结合勾股定理列方程求出点B的坐标，代入一次函数中即可就出k的值； （2）分①若，，②若，③若，，根据全等三角形的性质，求出线段长度从而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O关于直线的对称点C在直线上， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①若， 过点P作轴，垂足为M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； ②若， 过点P作轴，垂足为M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ③若， 过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作，垂足为M， 设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 1．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，动点B在第一象限，连结． (1)如图，当时，以为直角边且在x轴上方作等腰直角三角形，使，求点C的坐标和直线的函数表达式． (2)以为直角边作等腰直角三角形，使，连结，若的面积为，求点B的坐标． (3)以为边作等腰直角三角形，当点P落在直线上时，请直接写出a的值． 【答案】(1)； (2) (3)6， 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、与等腰直角三角形有关的全等问题，构造“一线三垂直”型全等是解题关键. （1）作轴于轴于，证得即可求解； （2）由的面积为可得，分类讨论当点的横坐标小于3时，当点的坐标大于3时，两种情况即可求解； （3）分类讨论①当时，②当时，③当时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：如图，作轴于轴于， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解： 的面积为， ，即， ， 当点的横坐标小于3时， 分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 同理可证， 点的横坐标为， ， ， 点的坐标为， ，解得， ； 当点的坐标大于3时，如图， 同理可得，点的坐标为， ，解得， 点的坐标为：． （3）解：①当时，由（2）可知与重合， 点的坐标为或， 当点落在直线上时，或，解得：或（舍去）； ②当时，过点作轴的垂线，垂足为，过点作于点， 同理可证明， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当点落在直线上时，， 解得：； ③当时，如图， 设点的坐标为， 则， ， 显然，故此时不成立； 综上可知， 或． 2．（23-24八年级上·重庆南岸·期末）如图，已知，经过点的直线与x轴交于B点． (1)求直线的函数表达式； (2)用尺规作图：经过点A，作直线的垂线，交y轴于点E； (3)在（2）完成的图中，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数解析式，作垂线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数解析式，作垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将点代入，可求得，，进而可得直线的函数表达式； （2）如图1，以为圆心，任意长为半径画弧交于，然后以为圆心，大于的长为半径画弧交点为，连接，交轴于点，点即为所求； （3）如图2，过作于，作轴于，证明，进而结论得证． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图1，点即为所求； （3）证明：如图2，过作于，作轴于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）【问题提出】 （1）如图①，点为的边的中点，连接，若的面积为3，则的面积为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接，作轴于点，若，，过点的直线l将分成面积为的两部分，求直线的函数表达式； 【问题解决】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O为坐标原点，，，，为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将四边形OABC分成面积相等的两部分，记直线与AB所在直线的交点为D，再过点A修一条笔直的道路（路宽不计），并且使直线将△OAD分成面积相等的两部分，你认为直线和是否存在？若存在，请求出直线和的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、求一次函数解析式、勾股定理、三角形中点的性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键． （1）利用三角形同高等底面积相等即可解答； （2）利用勾股理得出，进而得出、、，利用三角形同高等底面积相等得出，代入的函数表达式可得出，利用待定系数法即可得出直线l的函数表达式； （3）过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，先证出，利用三角形面积相等得出直线的函数表达式为，由直线经过的中点E，可证出，从而得出，再利用待定系数法即可得出直线的函数表达式． 【详解】解：（1）设中，边上的高为h， ∵点D为的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6 ． （2）∵轴于点B， ∴， ∵，即， ∴， ∴、、． 如图②:设直线l与的交点为C，则 ，即， ∴． 由可得到直线的函数表达式为， 在中，令，得：， ∴； 设直线l的函数表达式为．， 将点、代入可得： 解得； ∴直线l的函数表达式为． （3）如图③：过点A作轴于点M，过点B作轴于点H，延长交于点N， ∵，，， ∴，，，，， ∴，，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴直线经过点B，且点D与点B重合， ∴由待定系数法可得：直线的函数表达式为， ∵直线将的面积分为相等的两部分， ∴由（1）可知，直线经过的中点E， 连接，则， ∴， ∴， 在中，令，得， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点、代入，得 ，解得； ∴直线的函数表达式为． 1．（河北省邢台市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）在和中， ， ， ， 若， 则 （     ） A． B． C． D．不只是，还有可能是其他值 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可知无法判断和是否全等，进而可得的度数不只是，还有可能是其他值，据此即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴无法判断和是否全等， ∴的度数不只是，还有可能是其他值， 故选：． 2．（2024八年级上·广西·专题练习）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定≌得到，其中判定的依据是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据定理证明即可． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在和中，，，，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明，得到，根据8字型图，得到，即可得出结论． 【详解】解：设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 4．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，交于点，过作的垂线交的延长线于点．若，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，延长相交于F，先证明，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长相交于F， 平分， ， 过作的垂线交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，平分，过点作于点交的延长线于点与交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的为（   ） A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】利用证明，可以判断①；证明可以判定②；根据可以判定③；根据可以判定④ 【详解】解：平分， ． 在和中， ， 故结论①正确； ． 在和中， ， ， 故结论②正确； ， ． ， ， 故结论③正确； 。 ， ， ， 故结论④正确． 综上所述，结论正确的为①②③④， 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，角的平分线，三角形的内角和定理，等量代换思想，熟练掌握三角形的全等判定和性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，M、N、K分别是、、上的点，且，．若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键 由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ， ． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点C在线段上，于B，于D．，且，点P以的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值为 ． 【答案】1或或 【分析】分三种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解；本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是本题的关键. 【详解】当点在上，点在上时， ∵以为顶点的三角形与全等， ， ， ， 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以为顶点的三角形与全等， ， 当点在上，点第一次从点返回时， ∵以为顶点的三角形与全等， 综上所述： t的值为1或或； 故答案为：1或或 8．（湖北省武汉市东湖高新区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点D，交于点E，连接，，，的周长为6，则的长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 延长交于点F，延长交于点G，首先根据题意证明出，得到，，同理得到，得到，，然后证明出，得到，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，延长交于点G ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵的周长为6， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为 ． 【答案】6或10/10或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得． 【详解】解： ①如图1，当点C在线段上时，连接， ∵于E，于F， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点C在线段的延长线上时， 同理可得，， ∴． 故答案为：6或10． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：① ；②平分；③平分；④ ．其中正确的是 （填写正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得所以，可判断①正确；由，可知，不平分，可判断③错误；因为，所以，可判断②正确；由，且，得，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵于点，于点， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 故①正确，②正确； ， ， 不平分， 故③错误； ，且， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】此题重点考查多边形的内角和、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 11．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定定理． （1）根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理以及线段的和差关系进一步推理即可求出答案； （2）利用全等三角形的性质可知，再根据平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·四川德阳·期中）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）由已知推出，因为，推出，根据“”即可得到答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知． (1)如图1，若点，直接写出点的坐标； (2)如图2，若点，求点的坐标（用含的式子表示），并直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为3 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，垂线段最短，图形与坐标等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）过点C作轴，交于点H，证明，得出，即可求解． （2）过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴，可知四边形是长方形，得出，证明，得出，即可求出点坐标，再根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】（1）解：过点C作轴，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点B作轴，过点A作轴，过点C作轴， 则， ∴四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 由垂线段最短可知，，即最小值为3． 14．（24-25八年级上·广东东莞·期中）【问题背景】等腰直角三角形是一种特殊的三角形；它的两条直角边长度相等，另外两个锐角相等，都为；在数学问题中，常常利用等腰直角三角形的特殊性质来求解角度、边长等问题．在工程设计中，等腰直角三角形的稳定性可以应用于一些结构的构建．例如某些特定的支撑架结构可能会利用等腰直角三角形的形状来保证稳定性． 【问题解决】小明将一个等腰直角三角板的直角顶点放置在轴上；点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； (2)如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接， 求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． （1）过点作轴于点，用构建，再利用全等三角形的性质求出，进而求出点的坐标； （2）过点作交轴于点，用易得，进而得到，用易得，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图（1），过点作轴于点， ∴，． ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作交轴于点， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴，． ∵，， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）我们知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图所示，已知在中，，厘米，厘米，为的中点，如果点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）．    (1)用含的代数式表示的长度； (2)若点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当时，能够使与全等 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． （1）根据题意用来求解． （2）根据当时，再是的中点得到，根据判定三角形全等的求解． （3）根据点的运动速度不相等得到，当与全等，且，根据全等三角形的性质求出运动时间，然后用来求解． 【详解】（1）解：，点在线段上以每秒2厘米的速度由点向点运动， ． （2）解：． 理由：当时，由题意得：，． ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 在和中， ∵ ∴． （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴． 当与全等，且， ∴，． ∵，， ∴． ∴，． ∴当时，能够使与全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$