专题14.3 全等三角形的九大经典模型-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（沪科版）

专题14.3 全等三角形的九大经典模型 【沪科版】 【题型1 平移模型】 1 【题型2 轴对称模型】 3 【题型3 旋转模型】 4 【题型4 一线三等角模型】 6 【题型5 倍长中线模型】 8 【题型6 截长补短模型】 10 【题型7 手拉手模型】 12 【题型8 角平分线模型】 15 【题型9 半角全等模型】 16 【知识点1 平移模型】 【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 【常见模型】 【题型1 平移模型】 【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D．、互相平分 【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB =CD，BC = DE． (1)求证：△ABC≌△CDE； (2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△ ，边与边CD的交点为F ，连接EF，若EF将CDE分为面积相等的两部分，且AB = 4，则 CF = 【变式1-2】（2023春·重庆·八年级校考期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点． (1)求证： ； (2)若，，求的取值范围． 【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）已知，，将沿方向平移得到．如图，连接、，则__________（填“>”“<”或“=”），并证明． 【知识点2 轴对称模型】 【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 【常见模型】 【题型2 轴对称模型】 【例2】（2023春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在长方形中，点为中点，将沿翻折至，若，，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·八年级专题练习）如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【变式2-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在中，，将沿向下翻折后，再绕点按顺时针旋转度（）．得到，其中斜边交于点，直角边分别于点 请根据题意用实线补全图形；（不得用铅笔作图）． 求证： 【变式2-3】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）阅读材料，并回答下列问题 如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置； 如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论 （1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外），　 　． （2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝　 　． （3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明． （4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A′的位置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明． 【知识点3 旋转模型】 【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】 【题型3 旋转模型】 【例3】（2023春·全国·八年级期末）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． （3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b