专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题01 集合与逻辑 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 1 考点一：集合及其性质 4 考点二：集合之间的关系 7 考点三：集合之间的运算 7 考点四：充分条件与必要条件的判定 11 考点五：命题的否定与反证法 13 实战训练 19 明晰学考要求 集合的考查重点是集合与集合之间的基本关系与集合的运算，考试形式多以填空题为主．逻辑部分考查充分必要条件的判定与应用，反证法，题目多以选择题为主。 2022~2024年春考中，集合3年2考，逻辑未考查。 基础知识梳理 1．集合的概念 （1）集合：概括地说，把 一些确定得对象得全体 叫做集合，简称集.集合通常用大写英文字母A，B，C，···表示. （2）元素：集合所含的 各个对象 叫做集合的元素.元素通常用小写英文字母a,b,c,···表示. 如果a是集合A的元素，就记作 a∈A ，读作a属于A； 如果a不是集合A的元素，就记作 aA ，读作a不属于A. （3） 集合的性质： ①确定性：一些不确定的对象不能组成一个集合； ②互异性：一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的. ③无序性：集合中的元素不需要考虑顺序，即集合｛1,2｝与｛2,1｝是一样的． （4）数集：数的集合简称为数集． 以下是常用的数集： 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N Z Q R 2．集合的表示方法 除了用自然语言描述集合，我们还可以用列举法、描述法和区间表示法来表示集合. （1）列举法：将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法. （2）描述法：将集合表示为A={x|x满足性质p｝的表示方法叫做描述法.其中，性质p为集合中所有元素的共同特征. （3）区间表示法：区间表示法常常用于表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合． 一般来说区间有以下几种表示形式（其中a，b∈R且a<b): ①闭区间：［a，b］，表示满足不等式a≤x≤b的全体实数； ②开区间：(a,b)，表示满足不等式a<x<b的全体实数； ③半开半闭区间：(a,b]或［a,b），表示满足不等式a<x≤或a≤x<b的全体实数； ④无穷区间：[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b]或(-∞,b)，表示满足不等式x≥a,x>a,x≤b或x<b的全体实数； 其中a，b统称为这些区间的端点. 3．集合之间的关系 （1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A 叫做集合B的子集，记作 AB （或 B A ），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 性质：①空集是任意集合A的子集，即ØA； ②AA; ③若AB且BA，则A=B; ④若AB且BC，则A⊆C. （2）真子集：对于两个集合A与B，如果AB，且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么称集合A是集合B的真子集，记作 AB （或 B A ），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 4．集合的运算 （1）交集：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作 A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈且x∈B}. Venn图表示： （2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作 A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}. Venn图表示： （3）全集：全集是一个确定的集合，它含有我们要研究的问题的全部可能的元素，常用符号U 表示. （4）补集：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A 在全集U中的补集，记作 （读作“A补”），即且xA｝.有时为了强调全集U，集合A在全集U中的补集也可以记作CuA. Venn图表示： 5．命题 可以判断其真假的语句叫做命题，命题一般用陈述句表述. （1）真命题：其含义判断为真的命题叫做真命题． （2）假命题：其含义判断为假的命题叫做假命题． 在形如“若α，则β”的命题中，陈述句α称为条件，β称为结论. 命题“若α，则β”是真命题，是指 所有 满足条件a的对象都满足结论β；命题“若则β”是假命题，是指 存在 满足条件α的对象，它不满足结论β. 如果命题“若a，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作α⇒β(或β⇐α) 6．充分条件与必要条件 对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，就称α是β的 充分条件 ，亦称β是α的 必要条件 充要条件：对于两个陈述句α与β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，就称α是β的充分必要条件,简称充要条件，记作α⇔β，读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”. 7．反证法 要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件a的对象都满足结论β，但有直接验证这一点并不容易，这时可以考虑采用反证法，其步骤为：首先假设结论β不成立，然经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的. 一些常用的否定形式如下表所示： 陈述句a a的否定形式 x＞1或 且 集合A中满足性质p的元素至少有两个 集合A中满足性质p的元素最多有一个 所有的满足性质p 至少存在一个aA不满足性质p 所有的aA不满足性质p 至少存在一个aA满足性质p 考点精讲讲练 考点一：集合及其性质 【典型例题】 例1.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 例2.已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 例3．已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 例4．已知集合，，若，则 【即时演练】 1．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 2．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 3．（2023·上海闵行·三模）已知，则 . 考点二：集合之间的关系 【典型例题】 例1．若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 例2.已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 例3．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【即时演练】 1．（2023·上海松江·二模）若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 2．已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 . 4．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 5．（2023·上海·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是 ． 考点三：集合之间的运算 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则 . 例2．已知全集，，，若，则 . 例3.设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【即时演练】 1．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知集合，，则 . 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合，则 4．（2024·上海·三模）已知集合，，或，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·三模）已知集合，，则 6．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ． 考点四：充分条件与必要条件的判定 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 例2．命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 例3.设，证明：“”不是“”的必要条件. 【即时演练】 1．设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的 条件 3．已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 4．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 5．（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．（2023·上海宝山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知向量，“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 考点五：命题的否定与反证法 【典型例题】 例1．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 例2．陈述句 或，则的否定形式： 例3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【即时演练】 1．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 2（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 3．（22-23高三上·上海徐汇·期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（2020·上海青浦·二模）对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列” （1）若求数列的前n项和； （2）证明：数列的“收缩数列”仍是； （3）若，求所有满足该条件的数列． 实战能力训练 1.（2023年上海春考）已知集合，且，则 2．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 4．（2024·上海静安·二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 5．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ． 6．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 7．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知全集，集合，则 ． 8．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，，则 ． 9．（2023·上海奉贤·一模）设集合，，则 ． 10．已知集合且，则实数a的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与逻辑 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 1 考点一：集合及其性质 4 考点二：集合之间的关系 7 考点三：集合之间的运算 7 考点四：充分条件与必要条件的判定 11 考点五：命题的否定与反证法 13 实战训练 19 明晰学考要求 集合的考查重点是集合与集合之间的基本关系与集合的运算，考试形式多以填空题为主．逻辑部分考查充分必要条件的判定与应用，反证法，题目多以选择题为主。 2022~2024年春考中，集合3年2考，逻辑未考查。 基础知识梳理 1．集合的概念 （1）集合：概括地说，把 一些确定得对象得全体 叫做集合，简称集.集合通常用大写英文字母A，B，C，···表示. （2）元素：集合所含的 各个对象 叫做集合的元素.元素通常用小写英文字母a,b,c,···表示. 如果a是集合A的元素，就记作 a∈A ，读作a属于A； 如果a不是集合A的元素，就记作 aA ，读作a不属于A. （3） 集合的性质： ①确定性：一些不确定的对象不能组成一个集合； ②互异性：一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的. ③无序性：集合中的元素不需要考虑顺序，即集合｛1,2｝与｛2,1｝是一样的． （4）数集：数的集合简称为数集． 以下是常用的数集： 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N Z Q R 2．集合的表示方法 除了用自然语言描述集合，我们还可以用列举法、描述法和区间表示法来表示集合. （1）列举法：将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法. （2）描述法：将集合表示为A={x|x满足性质p｝的表示方法叫做描述法.其中，性质p为集合中所有元素的共同特征. （3）区间表示法：区间表示法常常用于表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合． 一般来说区间有以下几种表示形式（其中a，b∈R且a<b): ①闭区间：［a，b］，表示满足不等式a≤x≤b的全体实数； ②开区间：(a,b)，表示满足不等式a<x<b的全体实数； ③半开半闭区间：(a,b]或［a,b），表示满足不等式a<x≤或a≤x<b的全体实数； ④无穷区间：[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b]或(-∞,b)，表示满足不等式x≥a,x>a,x≤b或x<b的全体实数； 其中a，b统称为这些区间的端点. 3．集合之间的关系 （1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A 叫做集合B的子集，记作 AB （或 B A ），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 性质：①空集是任意集合A的子集，即ØA； ②AA; ③若AB且BA，则A=B; ④若AB且BC，则A⊆C. （2）真子集：对于两个集合A与B，如果AB，且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么称集合A是集合B的真子集，记作 AB （或 B A ），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 4．集合的运算 （1）交集：由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作 A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈且x∈B}. Venn图表示： （2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作 A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}. Venn图表示： （3）全集：全集是一个确定的集合，它含有我们要研究的问题的全部可能的元素，常用符号U 表示. （4）补集：设U为全集，A是U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A 在全集U中的补集，记作 （读作“A补”），即且xA｝.有时为了强调全集U，集合A在全集U中的补集也可以记作CuA. Venn图表示： 5．命题 可以判断其真假的语句叫做命题，命题一般用陈述句表述. （1）真命题：其含义判断为真的命题叫做真命题． （2）假命题：其含义判断为假的命题叫做假命题． 在形如“若α，则β”的命题中，陈述句α称为条件，β称为结论. 命题“若α，则β”是真命题，是指 所有 满足条件a的对象都满足结论β；命题“若则β”是假命题，是指 存在 满足条件α的对象，它不满足结论β. 如果命题“若a，则β”是真命题，那么就称α推出β，记作α⇒β(或β⇐α) 6．充分条件与必要条件 对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，就称α是β的 充分条件 ，亦称β是α的 必要条件 充要条件：对于两个陈述句α与β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，就称α是β的充分必要条件,简称充要条件，记作α⇔β，读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”. 7．反证法 要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件a的对象都满足结论β，但有直接验证这一点并不容易，这时可以考虑采用反证法，其步骤为：首先假设结论β不成立，然经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的. 一些常用的否定形式如下表所示： 陈述句a a的否定形式 x＞1或 且 集合A中满足性质p的元素至少有两个 集合A中满足性质p的元素最多有一个 所有的满足性质p 至少存在一个aA不满足性质p 所有的aA不满足性质p 至少存在一个aA满足性质p 考点精讲讲练 考点一：集合及其性质 【典型例题】 例1.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【答案】或 【解析】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得， 综上，或. 故答案为：或 例2.已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ． 【答案】且 【解析】由集合中元素的互异性可知，，解得且， 故答案为：且 例3．已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【解析】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 例4．已知集合，，若，则 【答案】 【解析】由集合，得，又，， 则或，解得，此时 解得与矛盾， 所以. 故答案为： 【即时演练】 1．（22-23高一上·全国·课后作业）已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 2．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 3．（2023·上海闵行·三模）已知，则 . 【答案】3 【解析】因为，所以二次方程有两个相等的实数根， 则①， 且方程的根为1，所以②， 联立①②解得： 所以 故答案为：. 考点二：集合之间的关系 【典型例题】 例1．若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 【答案】15 【解析】因为，，， 所以中必含有元素1和2，元素3，4，5，6中至少含有一个，这样的有个. 故答案为：15. 例2.已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【答案】6 【解析】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 例3．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【解析】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 【即时演练】 1．（2023·上海松江·二模）若方程的解集为M，则以下结论一定正确的是（    ） （1）      （2） （3）      （4） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】C 【解析】设,, ,,故(1),(2)错误; 根据集合的基本关系可以知道,,(3),(4)正确. 2．已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 【答案】6 【解析】满足题意的可以是：. 故答案为：6. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是 . 【答案】1012 【解析】因为，所以， 即，整理得，所以， 故或（舍去），则， 所以， 令，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012. 4．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【解析】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是. 故答案为：. 5．（2023·上海·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是 ． 【答案】 【解析】集合，， 当，即时，显然满足条件； 当时，即，则， 因为，所以或，即或，解得或， 综上，实数a的取值组成的集合是． 故答案为：． 考点三：集合之间的运算 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则 . 【答案】 【解析】因为集合，， 所以. 故答案为：. 例2．已知全集，，，若，则 . 【答案】 【解析】因为，，， 当时，解得，集合，，不满足； 当时，解得，集合，，满足； 显然不成立； 综上所述：，，， ，， 故答案为： 例3.设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或．；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 【即时演练】 1．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知集合，，则 . 【答案】/ 【解析】集合，，则. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合，则 【答案】 【解析】集合，，所以 故答案为： 4．（2024·上海·三模）已知集合，，或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，，或， 所以. 故选：D 5．（2024·上海·三模）已知集合，，则 【答案】 【解析】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 6．（2024·上海崇明·二模）若集合，或，则 ． 【答案】/ 【解析】根据题意， . 故答案为：. 考点四：充分条件与必要条件的判定 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】若，如，则，所以不能推出； 若，如，但，所以不能推出. 所以“”是“”的既非充分也非必要条件. 故选：D 例2．命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 例3.设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明见解析 【解析】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【即时演练】 1．设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 2．“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【解析】由，有或，充分性不成立； 由，必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 3．已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，， 是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 4．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 5．（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数， 所以，“是偶数”“、都是偶数”， “是偶数”“、都是偶数”， 故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件. 故选：B. 6．（2023·上海宝山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，解得或， 由于 或，但或 ， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知向量，“”是“”的（    ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】，故“”是“”的充要条件， 故选：C. 考点五：命题的否定与反证法 【典型例题】 例1．用反证法证明“若,则或”时,应假设 . 【答案】且 【解析】“或”的否定为“且”. 故答案为：且 例2．陈述句 或，则的否定形式： 【答案】 【解析】由 或，则. 故答案为： 例3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【答案】证明见解析 【解析】用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 【即时演练】 1．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【解析】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 2（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知均为正数，并且，给出下列2个结论： ①中小于1的数最多只有一个； ②中最小的数不小于.则（    ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对 【答案】A 【解析】对于①，假设存在两个小于1的正数，不妨设, 则,则, 这与矛盾, 故中小于1的数最多只有一个, ①正确; 对于②，不妨假设中最小数为，取, 则取, 则, 即说明中最小的数可以小于，②错误, 故选：A. 3．（22-23高三上·上海徐汇·期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集， 假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即， 同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾， 再证满足要求，当时，， 可以分成2个破晓集的并集， 事实上，只要取，， 则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外， 剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：， 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合， 可以分为下列2个破晓集的并：， 最后，集合中的数的分母都是无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，， 则和是不相交的破晓集，且． 综上，的最大值为14. 故选：B． 4．（2020·上海青浦·二模）对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列” （1）若求数列的前n项和； （2）证明：数列的“收缩数列”仍是； （3）若，求所有满足该条件的数列． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列的通项公式为，，． 【解析】（1）由可得为递增数列， 所以 ， 所以. （2）因为， ，所以 所以， 所以，又因为， 所以， 所以数列的“收缩数列”仍是. （3）由， 可知当时，， 当时，，则，因为，所以， 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得，即与同号，这与相矛盾； 若，则，所以由（*）可得，符合， 猜想，满足的数列为 ，，， 经验证左边， 右边 ， 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件， 由上述的情况可知，时是成立的， 假设是首次不符合，的项，则， 由题设条件可得， 即（&amp;）， 若，则，所以由（&amp;）式化简可得与矛盾， 若，则，所以由（&amp;）式化简可得，所以与同号，这与矛盾， 若，则，所以由（&amp;）化简可得，这与矛盾， 所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件， 所以所有满足条件的数列的通项公式为，，. 实战能力训练 1.（2023年上海春考）已知集合，且，则 【答案】2 【解析】根据集合相等可知. 2．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 所以. 故选：D. 3．（2023·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【解析】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 4．（2024·上海静安·二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 【答案】{红,黄}； 【解析】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄． 故答案为：红，黄． 5．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则 ． 【答案】 【解析】由题设有， 故答案为： 6．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 【答案】2 【解析】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 7．（2023·上海浦东新·模拟预测）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【解析】根据补集的概念可得 故答案为： 8．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【解析】，，联立，解得， 所以. 故答案为：. 9．（2023·上海奉贤·一模）设集合，，则 ． 【答案】 【解析】由题意得，， 所以. 故答案为：. 10．已知集合且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】集合且，则. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$