精品解析：河南省信阳市罗山县2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年普通高中高一上学期期中教学质量检测 数学 2024年11月11日 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置． 2．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”关于的方程“有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“，” D. “且”是“且”的充分不必要条件 10. 若，，且，下列结论中正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 函数为偶函数 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______. 13. 已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是________． 14. 已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 16. 已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 17. 已知． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对任意的，都有，求实数的最小值． 18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=） （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元； 方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？. 19. 已知二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）若，当时，不等式有解，求实数的取值范围； （3）当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年普通高中高一上学期期中教学质量检测 数学 2024年11月11日 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置． 2．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用交集概念计算. 【详解】因为，，所以． 故选:B． 2. 设，则“”关于的方程“有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案. 【详解】解：当时， ，此时有实数根； 当有实数根时，，即. 故选:A. 【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则 是 的充分条件；若，则 是 的必要条件. 3. 下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的判断与值域的求法，逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以此函数不是偶函数，故A错误； 对于B，因为，即的值域为，故B错误； 对于C，当时，，显然值域不为，故C错误； 对于D，因为的定义域为，且， 又，所以是值域为的偶函数，故D正确. 故选：D. 4. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故A错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知且，相符，故B正确； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故D错误. 故选：B. 5. 已知函数，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 6. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】由是上的增函数， 得，解得．所以实数的取值范围为． 故选：C 7. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 8. 已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，再分类得到不等式组，解出即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以的两实数根分别为和， 所以解得所以． 令，解得或；令，解得． 由，可得或即或 则所求解集为． 故选:D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 设，则“”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“，” D. “且”是“且”的充分不必要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据量词命题的否定可判断AC；根据为的真子集可得为的真子集，由充分条件与必要条件的概念可判断B；根据不等式的性质及充分条件与必要条件的概念可判断D. 【详解】对于A，命题“，”为全称量词命题， 所以其否定是“，”，故A错误． 对于B，由为的真子集得为的真子集，则“”可以推导出“”， 但“”不能推导出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确． 对于C，“”的否定是“，”，故C正确． 对于D，由“且”可推导出“且”， 而对于“且”，取，不满足“且”， 所以“且”是“且”的充分不必要条件，故D正确． 故选:BCD． 10. 若，，且，下列结论中正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，逐项计算判断即可. 【详解】由题意，得，，且． 对于A，由，解得，当且仅当，时等号成立，则的最大值为，故A正确． 对于B，， 当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故B正确． 对于， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C错误． 对于D，由， 得，当且仅当，时等号成立， 则的最小值是，故D正确． 故选:ABD． 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】令求出不等式的解，即可求出的解析式，即可判断A、B、C，再求出的解析式，画出图象，即可判断D. 【详解】根据题意，由，解得， ， 所以，故A错误； 当时， 且在上单调递减，在上单调递增，，， 所以，即的值域为，故B、C正确； 因为， 则的图象如下所示： 由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确； 故选：BCD 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】用韦恩图进行求解，设集合， 集合，全集，再根据题意进行求解 【详解】如图所示 设两科均未取得优秀的人数为，则 所以两科均未取得优秀的人数为20人 【点睛】本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题，方法相对简单，关键是能正确表示各集合中元素个数 13. 已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将点代入求出的值，再根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】由幂函数的图象过点，得，解得， 则，定义域为． 由可得为偶函数． 由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减． 所以等价于，等价于，解得或． 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足，则的取值范围是_______________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论. 【详解】当时，令，解得或； 令，解得； 故可作出的图象，如图： 由图可知，当时，，当时，， 所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图： 当时，直线与的图象有4个交点； 若存在实数，满足， 如图： 可知当时，存在实数，满足， 令，解得， 则可得； 因为 关于对称，；同理关于对称，； 所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①②③，都有，分类讨论集合是否为空集，限定出不等式范围即可得实数的取值范围； （2）分类讨论集合是否为空集，得出不等关系即可得实数的取值范围； 【小问1详解】 选择①，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择②，由可得， 当时，，解得 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 选择③，由可得． 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，由，解得，符合题意 当时，或，解得； 综上，实数的取值范围为． 16. 已知命题“，方程有实根”是真命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解； （2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可. 【小问1详解】 因为命题“，方程有实根”是真命题， 所以方程有实根，则有，解得， 所以实数m的取值集合. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当即时，不等式组无解，所以，满足题意； 当即时，不等式组的解集为， 由题意是的真子集，所以，所以. 综上，满足题意的a的取值范围是或. 17. 已知． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对任意的，都有，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）奇函数，证明：因为函数的定义域为， 且满足， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用方程组法构造方程组即可得的解析式； （2）根据函数奇偶性的定义直接判断即可得出结果； （3）利用基本不等式求出两函数的最值，再根据恒成立问题即可得出结果. 【小问1详解】 因为，① 所以，② 联立 ①2-②得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以． 易知当时，，且． 由（2）知，是奇函数，则是奇函数． 所以当时，,所以函数的值域为， 即，． 因为对任意的都有， 所以． 所以的最小值是． 18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y（元）与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. （1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=） （2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案 方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元； 方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x元. 如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？. 【答案】（1）80吨，该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态 （2）方案二 【解析】 【分析】（1）列出平均成本后，根据基本不等式即可判断； （2）分别算出两种方案的最大利润，进行比较即可. 【小问1详解】 由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为 当且仅当，即时， 每吨厨余垃圾的平均加工成本最低， 因为， 所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. 【小问2详解】 若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为， 因为， 所以当吨时，企业获得最大利润，为850元. 若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为， 因为， 所以当吨时，企业获得最大利润，为1800元. 结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元； 选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润1800元； 所以选择方案二进行补贴.. 19. 已知二次函数满足，且． （1）求函数的解析式； （2）若，当时，不等式有解，求实数的取值范围； （3）当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法根据函数值以及关系式即可得出其解析式； （2）利用换元法由基本不等式计算可得实数的取值范围； （3）将问题转化成不等式在上恒成立，利用换元法并由二次函数性质计算可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题可设． 由，得． 因为， 所以．所以． 【小问2详解】 ． 由，令，则， 所以可化为 ． 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 所以． 因为不等式有解，所以． 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题意，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 令，设，， 则函数的图象开口向上，对称轴为． 所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增． 因为， 所以，即，的最大值为3， 即在上的最大值为3．所以． 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $