特训07 几何证明解答压轴题（上海精选，八大题型，含五大热点+二大新方向）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训07 几何证明压轴题（上海精选，八大题型，含四大热点+二大新方向） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：热点1-几何中的分类讨论 题型3：热点2-动态几何-翻折问题 题型4：热点3-动态几何-旋转问题 题型5：热点4-新定义题 题型6：热点5-几何证明与列函数解析式 题型7：新方向-数学活动题 题型8：新方向延伸-情景探究题 题型1：传统解答证明题 1．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在中，，，点D为边上一点，连结，过点C作于点F，交于点E，点G是线段上一点．    (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)如图2，连结交于点P，如果点P恰为的中点，求证：； (3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为，在（1）的基础上，连结、，当时，求四边形的面积 题型2：热点1-几何中的分类讨论 4．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 题型3：热点2-动态几何-翻折问题 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 题型4：热点3-动态几何-旋转问题 6．（21-22八年级上·上海·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM． (1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形； (2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明； (3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型5：热点4-新定义题 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）（1）性质证明：已知：如图1，分别是的外角平分线，求证：平分； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是的一个旁心，求证：； ②已知点、、是的三个旁心，，在中，，，且经过点B，求的面积．    题型6：热点5-几何证明与列函数解析式 8．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 9．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 10．（21-22八年级上·上海·期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H． (1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长； (2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； (3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 11．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF． (1)当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）． 12．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点． (1)求证：； (2)如果设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当的面积为时，求的值． 13．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y． (1)当点E与点C重合时，求ME的长； (2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上一动点，连接，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），延长到点G，使，连接，已知． (1)求证：； (2)设，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 15．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90° ,AC=BC=4 点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线BC于点E，联结AE,点F是AE的中点，过点D、F作直线，交AC于点G,联结CF、CD． (1)当点E在边BC上，设DB=, CE= ①写出关于的函数关系式及定义域； ②判断△CDF的形状，并给出证明; (2)如果AE=，求DG的长. 题型7：新方向-数学活动题 16．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，∠B=90°，，．中，∠D=90°，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 17．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ 时可将凳高调整为． 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为________． 题型8：新方向延伸-情景探究题 18．（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 19．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， 是的角平分线，且，， _________________，（_________________________________________） ______________，， (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证： (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 几何证明压轴题（上海精选，八大题型，含五大热点+二大新方向） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：热点1-几何中的分类讨论 题型3：热点2-动态几何-翻折问题 题型4：热点3-动态几何-旋转问题 题型5：热点4-新定义题 题型6：热点5-几何证明与列函数解析式 题型7：新方向-数学活动题 题型8：新方向延伸-情景探究题 题型1：传统解答证明题 1．（22-23八年级上·上海长宁·期末）在中，已知，，点在射线上，连接，． (1)如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； (2)如图2，当点在边上时，求证：； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可推出，得到，再利用三角内角和可得到，求出，最后由，即可得到答案； （2）取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，从而推出，再由，推出，从而得到，得证； （3）①当在边上时，作于，由，推出，设，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接，先证明，同①，设，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可． 【解析】（1）解：的垂直平分线经过点 又 又， （2）证明：如图1，取的中点，连接 又 （3）解：如图2，当在边上时，作于， 由（2）可知， 设， ， ， 在中， 在中， 解得：，即 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意， 又 设， ． 在中， 在中， 解得：，即 综上，的长为或． 故答案为：的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）在中，和的平分线交于点，连接． (1)求证：平分； (2)当为等边三角形时，求证：； (3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查角平分线性质及判定，内角和定理，全等性质及判定，等边三角形性质． （1）过点作，，，利用角平分线性质即可得到，，再利用角平分线判定即可得到本题答案； （2）作于，利用等边三角形性质得，，即可得到本题答案； （3）设，作于，于，于，利用三角形内角和定理得，再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案． 【解析】（1）证明：过点作，，，垂足分别为， ， ∵在的平分线上， ∴， ∵在的平分线上， ∴， ∴， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵为等边三角形，平分， ∴，同理， 作于， ， ∵平分，， ∴，同理， ∴， ∴； （3）解：成立，理由如下： 设，作于，于，于，则点在线段上，点在线段上， ， ∵和的平分线，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在中，，，点D为边上一点，连结，过点C作于点F，交于点E，点G是线段上一点．    (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)如图2，连结交于点P，如果点P恰为的中点，求证：； (3)已知等腰直角三角形的腰长和底边长之比为，在（1）的基础上，连结、，当时，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形的性质易证，根据证明，进而可证； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，即可得出结论； （3）延长交于点P，连接，由题意易证是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一易得，，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，由，求出，由（1）知，得到，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据四边形的面积为，即可求解． 【解析】（1）证明：，， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：延长至，使，连接，   则， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：延长交于点P，连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积为， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型2：热点1-几何中的分类讨论 4．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【解析】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 题型3：热点2-动态几何-翻折问题 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得； （2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵等腰直角，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 如图1，记的交点为， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 如图2，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为； （3）解：由翻折的性质可知，，， ∴， 如图3，过作于，过作于， ∴， 同理（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键． 题型4：热点3-动态几何-旋转问题 6．（21-22八年级上·上海·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、EC，点M为EC的中点，连接BM、DM． (1)如图1，当点D、E分别在AC、AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形； (2)如图2，将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明； (3)如图3，将图2中的△ADE绕点A逆时针旋转90°时，△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，证明见解析； (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，则可得∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB，根据三角形外角的性质可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可证得△BMD为等腰直角三角形； （2）延长DM交BC于N，先证明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，进而有AD=CN，BD=BN，则有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，则有△BMD为等腰直角三角形； （3）作交DM延长线于N，连接BN，先证明△EMD≌△CMN，根据（2）的方法同理可证得△BMD为等腰直角三角形． 【解析】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，点M为EC的中点， ∴BM=MC=EC，DM=MC=EC， ∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD， ∴∠MBC+∠MDC =∠MCB+∠MCD=∠ACB， ∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD， ∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90， ∴△BMD为等腰直角三角形； （2）成立； 如图1，延长DM交BC于N， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°， ∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90， ∴∠EDB=∠DBC， ∴， ∴∠DEM=∠NCM， ∵M为EC中点， ∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN， ∴△EMD≌△CMN， ∴DM=MN，ED=CN， ∴AD=CN， ∴BD=BN， ∴BM=DN=DM， ∴BM⊥DN，即∠BMD=90， ∴△BMD为等腰直角三角形； （3）成立；如图2，作交DM延长线于N，连接BN， ∵， ∴∠BAC=∠MCN=45， ∴∠E=∠MCN=45， ∵∠DME=∠NMC，EM=CM， ∴△EMD≌△CMN， ∴CN=DE=AD，MN=DM， 又∵∠DAB =180-45-45=90，∠BCN=45+45=90， ∴∠DAB=∠BCN， 又BA＝BC， ∴△DBA≌△NBC(SAS)， ∴∠DBA =∠NBC，BD=BN； ∴∠DBN=∠ABC=90， ∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边中线， ∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN， 即△BMD为等腰直角三角形． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、平行的性质等知识，充分利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解答本题的关键． 题型5：热点4-新定义题 7．（23-24八年级下·上海金山·期末）（1）性质证明：已知：如图1，分别是的外角平分线，求证：平分； 根据上述证明可以得到这样一条性质：三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线交于一点，我们把这个交点叫做这个三角形的旁心．图1中点P就是的一个旁心． （2）性质应用： ①如图2，已知点O是的一个旁心，求证：； ②已知点、、是的三个旁心，，在中，，，且经过点B，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）过点P分别作，垂足分别为D、E、F，由角平分线的性质定理可得，再由角平分线的判定定理即可证明结果； （2）①分别延长射线，由角平分线的意义得，，再由三角形外角的性质及三角形内角和定理即可证明结论成立； ②首先易得分别过点C、A；由①易得，，且、都是等腰三角形，；连接，过A作于D，则得，，由含30度直角三角形性质及勾股定理可求得，即可求得结果． 【解析】（1）证明：如图，过点P分别作，垂足分别为D、E、F， 分别是的外角平分线， ； ； 平分；    （2）①证明：如图，分别延长射线， 点O是的一个旁心， 分别平分， ，； ，， ， ； 即；    ②解：由题意得：分别是的补角的平分线， 则， 即过点C；同理过点A； 由①知，， ； ， ； 同理得， ，， 、都是等腰三角形， ，； 点是的中点，； ； 连接，过A作于D， ， ，； ， ， 则， 即； ， ， 由勾股定理得：， ， ； 在中，设，则， 由勾股定理得， ， 解得：； 在中，由勾股定理得， ．    【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键． 题型6：热点5-几何证明与列函数解析式 8．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)如图2，设当点G在的延长线上时，，并写出定义域； (3)若为直角三角形，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后再证，最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由得，则，求出x的范围即可； （3）分两种情况：①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积的面积； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点G在的延长线上， ∴点G不与点C重合， ， ∵点E是边上的一个动点，， ， ， 即y关于x的解析式为； （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， 解得：； ②当时，如图4所示： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，若为直角三角形，x的值为或4． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 9．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长； （）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围； （）由动点在射线上运动得到，同方法求出，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点为的中线， ∴； （2）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点在线段上运动， ∴， ∴的取值范围为， 故； （3）解：动点在射线上运动时，， ∴， ∴， 由整理得，， 即， 解得． 10．（21-22八年级上·上海·期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H． (1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长； (2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由； (3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1)9； (2)存在，CF=DG，证明见解析； (3)． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再证明，即可求出△DEF的周长； （2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，进一步得到，再证明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可证明CF=DG； （3）求出，，利用，即可求出． 【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6， ∴，∠A=60， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DCE=60， ∴∠ACD=30， ∴∠ADC=90， ∴， ∴△DEF的周长为9； （2）解：结论：CF=DG. 理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3， ∴， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠DEF=60， ∵∠DEF=∠B+∠EGB， ∴∠B=∠EGB=∠DGE=30， ∴EG=BE， ∵EG+DG=CF+BE=3， ∴CF=DG； （3）解：∵，， ∴，即． 【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半，动点问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等边三角形性质． 11．（21-22八年级上·上海·期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，点F是AB中点，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，联结EF． (1)当点D在线段CB上时， ①求证：△AEF≌△ADC； ②联结BE，设C、D间距离为x，，求y关于x的函数解析式及定义域； (2)当∠DAB=15°时，求△ADE的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】（1）①证明：直角△ABC中，利用特殊角和斜边的中线是斜边的一半，可得AF=BF=AC，再结合等边△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根据△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，结合F是AB中点，即有EF是AB的中垂线，进而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，则有； （2）分两种情况讨论，即当点在线段BC上和点在CB的延长线上两种情况，分别求出AD，即可得等边△ADE的面积． 【解析】（1）解：证明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10， ∴∠ABC=30， ∴AC=AB=5， ∵F是AB的中点， ∴AF=BF=AB， ∴AF=BF=AC， ∵等边△ADE， ∴AE=AD，∠EAD=60， ∴∠EAD=∠CAB =60， ∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD， 即∠DAC=∠EAF， 在△ADC与△EAF中，， ∴△ADC≌△EAF(SAS)； ②∵△ADC≌△EAF， ∴∠EFA=∠C=90， 又F是AB中点， ∴EF是AB的中垂线， ∴AE=EB， ∴AD=AE=EB， 在Rt△ACD中，∠C=90， ∴， ∴， ∴； （2）解：或， 分情况讨论： 第一种情况：当点在线段BC上时， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形， 则=50，则AD=， 如图，过A点作AG⊥DE于G点， 在等边△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=， 则利用勾股定理可得：， 则等边△ADE的面积为：， 第二种情况：当点在线段CB的延长线上时， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°， ∴BD=BA=10， ∴在Rt△ACD中，利用勾股定理可得：， 则同理可求得等边△ADE的面积为：， 综上所述：或， 【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确找到全等三角形以及熟练掌握勾股定理． 12．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，，，是边上不与点、重合的任意一点，，垂足为点，是的中点． (1)求证：； (2)如果设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）根据，可得，根据勾股定理又可得出用表示的形式，换成等式即可得出与的函数解析式； （3）根据（1）可知，，，易得出，，即是定值，又知，即可证明是定值，再用表示出的面积，求出，即可求出． 【解析】（1）证明：在中，，是的中点， ． 在中，，是的中点， ， ． （2）解：在中，，，， ． 由勾股定理得， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 由， ； （3）解：是斜边的中点， ，． ， 是斜边的中点， 同理可得：， ， 即， ， ， 为等腰三角形， 过点作的垂线， ， 由勾股定理得：， ， ， 解得：， ， 解得：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，解题的关键是熟练掌握各个知识点的灵活运用． 13．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，ME=y． (1)当点E与点C重合时，求ME的长； (2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接MD，结合题意，根据含角直角三角形、直角三角形斜边中线、垂直平分线的性质分析，结合勾股定理性质计算，即可得到答案； （2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F，根据垂直平分线、勾股定理的性质，得，结合（1）的结论，通过列一元二次方程并求解，得函数的定义域，即可得到答案； （3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况，结合（2）的结论，根据垂直平分线、勾股定理、二次根式、三角形中位线的性质计算，即可得到答案． 【解析】（1）连接MD， ∵AB=，BC=， ∴BC=AB， ∵∠C=90， ∴∠A=30 ∵点D是AB的中点， ∴CD=AD， ∴∠ACD=30，∠ADC=120， ∵MN垂直平分CD， ∴CM=DM， ∴∠MDC=30， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴； （2）连接MD，过点M作AB的垂线，垂足为F， ∵MN垂直平分ED， ∴ME=MD=y， ∵∠A=30 ∴MF=， ∴ ∴FD， 在Rt△MDF中， ∴ ∴ 根据（1）的结论，当点E与点C重合时， ∴ ∴或 ∵ ∴不符合题意 ∴ ∴ ∴y关于x的函数解析式是； （3）分MN经过AC中点、MN经过AB中点、MN经过BC中点三种情况分析， 当MN经过AC中点时，即 ∴，即 当MN经过AB中点时，和MN分别交边AC、BC于点M、N的结论矛盾 ∴MN经过AB中点不成立 当MN经过BC中点时，如图，分别连接EN、DN ∴ ∵ ∴， ∵MN线段DE的垂直平分线 ∴ ∵AM=x，ME=y ∴ ∵∠C=90° ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂直平分线、三角形中位线、含角直角三角形、直角三角形斜边中线、二次根式、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，D是的中点，E是边上一动点，连接，过点D作交边于点F（点F与点B、C不重合），延长到点G，使，连接，已知． (1)求证：； (2)设，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，自变量x的取值范围： ； (3)或． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，由D是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是得到方程，即可得到结论 （3）①当时，，列方程得到；②当时，连接，过点，垂足为点H，可得，根据勾股定理得方程，求得，于是求得． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D是的中点， （2）∴， 在和F中， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，自变量x的取值范围：； （3）解：①当时，， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，连接，过点D作，垂足为点H， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理，得， 在中，由勾股定理可得， 解得：， ∴ ，即， 综上所述，的长度是或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90° ,AC=BC=4 点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线BC于点E，联结AE,点F是AE的中点，过点D、F作直线，交AC于点G,联结CF、CD． (1)当点E在边BC上，设DB=, CE= ①写出关于的函数关系式及定义域； ②判断△CDF的形状，并给出证明; (2)如果AE=，求DG的长. 【答案】（1）①y=4-x（0＜x≤2）；②等腰直角三角形；证明见解析；（2）或 【分析】（1）①先证△DEB为等腰直角三角形，设DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，从而得出答案；②由∠ADE=90°，点F是AE的中点知CF=AF=AE，DF=AF=AE，据此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，结合∠CAB=45°知∠CFD=90°，据此可得答案； （2）分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案． 【解析】解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴AB=4，∠B=∠BAC=45°， 又∵DE⊥AB， ∴△DEB为等腰直角三角形， ∵DB=x，CE=y， ∴EB=x， 又∵EB+CE=4， ∴x+y=4， ∴y=4-x（0＜x≤2）； ②∵DE⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠ADE=90°， ∵点F是AE的中点， ∴CF=AF=AE，DF=AF=AE， ∴CF=DF， ∵∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD， ∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD， ∵∠CAB=45°， ∴∠CFD=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）如图1，当点E在BC上时，，AC=4， 在Rt△ACE中，CE=， 则AE=2CE， ∴∠CAE=30°， 又CF=DF=AE=， 在Rt△CFG中，GF=， ∴DG=DF+FG=； 如图2，当点E在BC延长线上时，∠CFD=90°， 同理可得CF=DF=AE=， 在Rt△CFG中，GF=， ∴DG=DF-FG=． 【点睛】本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点． 题型7：新方向-数学活动题 16．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，∠B=90°，，．中，∠D=90°，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可． （1）因为，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故的长可求； （2）设，则，再分情况讨论∶为斜边；为斜边；为斜边，综合分析即可求得的长； （3）假设，因为，作的平分线，交于点P，则，所以，，则的值大于边长12，故不存在． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∵中，，， ∴， 如图1，连接， 当时， ， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． （2）设，在中， 当为斜边时， 由得， 解得：， 当为斜边时，由 得， 解得： ∵ ∴， ∴（不合题意舍去） 当为斜边时，由 得， ， 整理得出∶ ∵ ∴此方程无解， 综上所述：当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形． （3）不存在这样的位置，使得 理由如下∶ 假设（如上图2） ∵ 作的平分线，交于点P， 则，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴不存在这样的位置，使得． 【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程． 17．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ 时可将凳高调整为． 【驱动任务三】 根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为________． 【答案】任务2：9；任务3：60 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是∶ 任务二：根据题意先根据勾股定理求出长和重新调整打孔位置后榫眼离点距离然后求差即可解题； 任务三：利用列出关于的方程解题即可． 【解析】解：任务二：， 重新调整打孔位置后榫眼离点距离为， ∴将榫眼外移距离为：； 故答案为：； 任务三：∵长的木棒恰好能截成 和， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： ． 题型8：新方向延伸-情景探究题 18．（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； (4) 【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．仿照第一问的解答求解即可； （3）利用（1）的结论，求得，设，则，利用勾股定理列式计算即可； （4）先算，后两次运用（1）的结论，依次计算即可． 【解析】（1）解：∵是的角平分线，且，， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴； （3）解：∵中，，是的平分线，且交于D， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴，，，， ∴，由（1）可得， ∴，， ∴， 同理可求：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 19．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点作于点， 是的角平分线，且，， _________________，（_________________________________________） ______________，， (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点． 求证： (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________． 【答案】(1)，角平分线的性质； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式以及角平分线的性质求解即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； （3）在上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出，再由其性质及前面的结论求解即可． 【解析】（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴（角平分线的性质） ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，角平分线的性质；； （2）证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴，， ∴； （3）在BC上取点G，使得，连接， ∵分别是的角平分线且相交于点D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由（1）知，， 设，，则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键． ( 第 1 页 共 16 页 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