专题05 三角函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

专题05 三角函数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 8 考点一：任意角 8 考点二：弧度制 10 考点三：三角函数的概念 13 考点四：同角三角函数基本关系 15 考点五：诱导公式 17 考点六：三角函数的图象和性质 21 考点七：三角恒等变换 26 考点八：函数 31 考点九：三角函数的应用 37 实战能力训练 44 明晰学考要求 1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度制与角度制的互化 2、理解三角函数的定义，能画出三角函数的图象 3、了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。 4、理解正弦函数、余弦函数在上的性质，正切函数在上的性质 5、了解函数的实际意义；能借助图象理解参数的意义， 了解参数的变化对函数图象的影响； 6、理解同角三角函数的基本关系 7、能运用二倍角公式进行简单的恒等变换； 8、会用三角函数解决简单的实际问题。 基础知识梳理 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4、终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 5、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 6、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 7、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 8、扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 9、任意角的三角函数定义 （1）单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （2）终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  10、三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） 11、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： （2）商数关系:（，） 诱导公式一 ① ② ③其中.  公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 公式八 12、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 14、二倍角公式 ① ②；； ③ 15、降幂公式 16、辅助角公式： (其中) 17、五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 18、三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 19、根据图象求解析式 形如的解析式求法： （1）求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. （2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. （3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. 考点精讲讲练 考点一：任意角 【典型例题】 例题1．（2024北京）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴线角 【分析】结合角的定义即可得解. 【详解】当终边在轴非负半轴上时，有， 当终边在轴非正半轴上时，有， 故终边在轴上的角的集合为. 故选：C. 例题2．（2023福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意. 故选：A. 例题3．（2023上海）如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为 . 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的关系，写出与角终边相同的角的集合. 【详解】因为，所以与角终边相同的角的集合可以表示为， 故答案为：. 【即时演练】 1．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、确定n分角所在象限、确定已知角所在象限 【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 2．角是第 象限角． 【答案】二 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【详解】，则与是终边相同角. 显然是第二象限角，故角是第二象限角. 故答案为：二. 3．与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据与角终边相同的角是，对k取满足要求的整数可得解. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 当时，与角终边相同的最大负角是. 故答案为：，. 考点二：弧度制 【典型例题】 例题1．（2023安徽）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据弧度制与角度值的转化即可. 【详解】. 故选：A. 例题2．（2024浙江）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】由题意，扇形的弧长为. 故选：C. 例题3．（2023湖北）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    【答案】/ 【知识点】弧长的有关计算 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】如图，连接，    因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故答案为： 【即时演练】 1．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】求出弧的半径，即可根据弧长公式求解. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则扇形面积为,故， 故弧长为. 故选：C． 2．（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】角度化为弧度、弧度化为角度 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 3．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 考点三：三角函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024新疆）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据余弦函数的定义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：B. 例题2．（2023湖南）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】由三角函数的定义求解， 【详解】由题意得， 故选：C 例题3．（多选）（2024浙江）已知，且，则关于表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】根据已知得到，由此即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确； 对于BCD，因为，所以，，故BC正确，D错误. 故选：ABC. 【即时演练】 1．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】直接由三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以. 故选：B 2．已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故答案为: . 3．已知点是角α终边上的一点，则 ． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先由三角函数的定义计算出，的值，代入所求式子即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 考点四：同角三角函数基本关系 【典型例题】 例题1．（2024湖北）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案. 【详解】将分子分母同除以可得： . 故选：D. 例题2．（2023江苏）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】依题意弦化切即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：C 例题3．（2023山西）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据，分式同除可得. （2）根据先将转化为，再将分式同除可得. 【详解】（1） （2） 【即时演练】 1．已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】弦化切代入即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 2．若，则 ． 【答案】/0.25 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据三角函数值的除法公式直接求解. 【详解】由已知， 故答案为：. 3．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据三角函数的定义求得正确答案. （2）利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】（1）由于点在角α的终边上， 所以. （2）. 考点五：诱导公式 【典型例题】 例题1．（2022浙江）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】用诱导公式化简后由商数关系弦化切，代入已知计算． 【详解】. 故选：D． 例题2．（2024陕西）已知角终边上一点，则 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简原式，由三角函数定义求出，代入计算即可. 【详解】， 因为角终边上一点，所以，则， 所以 故答案为： 例题3．（2023上海）已知，那么的值是 . 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】直接通过诱导公式进行化简求值即可 【详解】，. 故答案为： 【即时演练】 1．已知角的终边经过点，则 ． 【答案】5 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、利用定义求某角的三角函数值 【分析】利用任意角三角函数的定义可得，再结合诱导公式及商数关系即可求解. 【详解】由角的终边经过点可知：， 则. 故答案为：5. 2．已知为第二象限角，． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简得解； （2）利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】（1） . （2）若，为第二象限角， 所以． 3．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即可求解. 【详解】（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得， 即， 由三角函数定义知，， 故原式. （2）由题意， 故. 考点六：三角函数的图象和性质 【典型例题】 例题1．（2024云南）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可得：函数的最小正周期是. 故选：C. 例题2．（2023安徽）下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】根据三角函数的性质逐一分析即可. 【详解】是奇函数，最小正周期为，故不符合题意； 是偶函数，最小正周期为，故不符合题意； 是奇函数，最小正周期为，故符合题意； ，得， 所以的对称中心为， 故不是奇函数， 的最小正周期为，故不符合题意； 故选：. 例题3．（2024湖南）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】直接由三角函数性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，由于，不为奇函数，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，显然的最大值为1，故C正确； 对于D，当时，， 由复合函数单调性、正弦函数单调性可知在上单调递增，故D错误. 故选：C. 例题4．（2024云南）若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】令，把方程的根转化成两个图象的交点问题，确定出的范围，求解即可． 【详解】解：， ， 令， 要使在有5个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 例题5．（2023浙江）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】利用给定的区间，求出的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可. 【详解】当时，， 若函数在区间上单调递增， 则，，解得， 又，当时,可得. 故选：A. 【即时演练】 1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、识别正切型三角函数的图象 【分析】判断定义域以及奇偶性，再根据函数值的正负可排除错误选项，得出正确结果. 【详解】函数，其中，且，由定义域可以排除B， 因为，该函数为奇函数，所以C错误， 因为，所以D错误，A正确， 故选：A. 2．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论. 【详解】因为，， 所以， 由已知，， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 3．当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】根据题意分别作出与的图象，可得，从而可求解. 【详解】由，如图所示，画出在时的图象， 对于，，， 令，得，，得，， 由与的图象有个交点， 由图知，解得，故B正确. 故选：B.    4．已知函数是偶函数，则的值为 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、特殊角的三角函数值 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，然后可得. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 5．函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求含cosx的二次式的最值 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 考点七：三角恒等变换 【典型例题】 例题1．（2024北京）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 例题2．（2022安徽）若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数、求含cosx的函数的单调性、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式和余弦函数单调性的求法可得的单调递减区间，对应已知区间即可确定结果. 【详解】； 令，解得：， 的单调递减区间为， ，，， 的最大值为. 故选：B. 例题3．（2024云南）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】将条件两边平方，由二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解． 【详解】由得， ， 得，得， 故选：B 例题4．（2024天津）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2). 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、给值求值型问题、正、余弦齐次式的计算、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解； （2）利用正弦的和角公式、正弦和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】（1），， ， . （2） . 例题5．（2023吉林）已知函数． (1)求函数的最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1)函数的最大值为2，最小值为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式可得，以为整体，结合正弦函数最值分析求解； （2）以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 当，即时，取到最大值2； 当，即时，取到最小值. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【即时演练】 1．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 2．已知，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故选：A 3．已知函数. (1)求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求角型问题、辅助角公式、给角求值型问题 【分析】（1）利用诱导公式化简，代值后利用和角公式计算即可求得的值； （2）由题设条件，利用辅助角公式化简后解三角方程，推得，即可求的值. 【详解】（1）由 ， 故 ； （2）由，可得，即， 则有，即，于是. 4．已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为1 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式整理函数的表达式为，然后求出a，利用辅助角公式得，代入周期公式求出周期即可； （2）由（1）知，当时，，结合正弦函数的性质，即可求得的最值. 【详解】（1） ， 因为，所以，所以， 所以，所以的最小正周期. （2）当时，， 当，即时，， 当，即时，， 所以的最小值为，最大值为1. 5．已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 【答案】(1) (2)， 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1） 利用三角函数的恒等式变形及辅助角公式，可化为,即可求出函数的周期； （2）利用正弦函数的单调区间以及整体思想来求解，即可得函数的单调递增区间. 【详解】（1）由    可得； （2）由可得的最小正周期为， 令 ， 解得：， 所以的单调递增区间是：. 考点八：函数 【典型例题】 例题1．（2022河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果. 【详解】由题意，得. 故选：A. 例题2．（2023广西）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据图象平移规律可得答案. 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 例题3．（2024湖南）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】直接利用函数图象的平移法则“左加右减”即可得到选项． 【详解】解：由到，只是横坐标由变为， 要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度． 故选：A． 例题4．（2024湖南）已知函数为奇函数，函数． (1)若的最小正周期为，求出与的值； (2)若在区间上有且仅有4个最值点，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，求的最大值以及取得最大值时x的集合． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为1，. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由奇函数性质求得，代入验证，再由周期求得； （2）由求出，结合正弦函数的图象得到不等式，解之即得； （3）依题写出并进行三角恒等变换化简为，结合正弦函数的图象，即可求得. 【详解】（1）依题意，得，则， 因为，所以， 此时是奇函数． 又因为的最小正周期为，所以，解得； （2）因为，所以设， 由于在区间上有且仅有4个最值点， 即在区间上有且仅有4个最值点，如图所示. 由图知，，解得； （3）依题意得，则，， 则， 故的最大值为1，此时，， 即取得最大值时x的集合为． 【点睛】思路点睛：本题主要考查三角函数的性质应用，属于较难题.解此类题的思路。常常需要数形结合的思想，同时要有三角恒等变换的意识，将函数化成正弦型函数或者余弦型函数，以及将看成整体角的处理方法. 【即时演练】 1．将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可. 【详解】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. 2．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用“左加右减，上加下减”的平移规律易得. 【详解】由，将向右平移个单位即可得到. 故选：D. 3．为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（    ） A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】直接由函数平移变换法则即可求解. 【详解】把上的所有点向左平移个单位长度， 得到函数的图象． 故选：B． 4．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期； （2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为：； （2）由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：. 5．已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 (2)写出的解集. 【答案】(1)表格见解析，图象见解析 (2) 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、五点法画余弦函数的图象 【分析】（1）令分别等于，，，作图. （2）整体思想：令，求解即可 【详解】（1） 0 0 0 （2）由，得，， 故的解集为 考点九：三角函数的应用 【典型例题】 例题1．（2023安徽）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据频率的公式即可求解. 【详解】频率为， 故选：C 例题2．（2023辽宁）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（    ） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（    ） A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、三角函数在生活中的应用 【分析】根据周期求得，进而求得正确答案. 【详解】由表中数据知，，即，解得，所以， 当时，． 故选：B 例题3．（2024北京）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，）. 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角函数在物理学中的应用、诱导公式一 【分析】（1）把代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得. （2）利用正弦函数的性质求出的表达式即可得解. 【详解】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. 【即时演练】 1．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】根据曲线方程上的点可得，将代入计算可得纵坐标. 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C 2．（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（   ） A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的 B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期 C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 【答案】ACD 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、三角函数在生活中的应用 【分析】观察给定的三条曲线，求出它们的最小正周期，再逐项分析判断即可. 【详解】对于A，观察图象知，智力曲线的最小正周期，情绪曲线的最小正周期， 体力曲线的最小正周期，因此体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的，A正确； 对于B，462除以33余数为0，462除以28余数为14，此时，情绪曲线处于周期处， 处于下降期，而智力曲线刚好处于周期的起点处，处于上升期，B错误； 对于C，智力曲线的对称中心的横坐标，情绪曲线的对称中心的横坐标， 体力曲线的对称中心的横坐标，取的公倍数即得3条曲线公共对称中心横坐标， 有无数个，即三条曲线存在无数个公共的对称中心，因此智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点，C正确； 对于D，智力曲线的对称轴方程，情绪曲线的对称轴方程， 体力曲线的对称轴方程，令， 由，得，而， 因此不存在自然数使得方程成立，即三条曲线不存在公共的对称轴， 因此不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：求解本问题，观察图象求出曲线的最小正周期是解决问题的关键. 3．（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 【答案】ACD 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】由题意设出函数解析式，由最大值与最小值列式求得与的值，由周期求得，再由时，求解，得到函数解析式判断D；令求解判断A；取秒求得判断B；取秒求得判断C． 【详解】设点距离水面的高度为（米和（秒的函数解析式为，，， 由题意，，， ，解得， ， ，则． 当时，， ，则， 又，则． 综上，，故D正确； 令，则，若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，，故C正确． 故选：ACD． 4．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．当时，点P到x轴的距离的最大值为 C．当时，函数单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角函数在生活中的应用、三角函数图象的综合应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据题意及函数过点求出解析式判断A，由函数值域可判断B，根据正弦型函数的单调性可判断C，时求出点，根据两点间距离公式判断D. 【详解】对于A，由题意可知，，所以， 又从点出发，所以， 又所以，故A正确； 对于B，，当时， 则，，则点到轴的距离的最大值为，故B正确； 对于C，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上不单调，故C错误； 对于D，当时，，则，， 所以，则，故D正确. 故选：ABD. 5．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求； （2）由题意可知进港条件为 ，解不等式即可. 【详解】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 实战能力训练 一、单选题 1．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据三角函数的定义求得，利用二倍角公式求得正确答案. 【详解】由三角函数的定义得：， . 故选：B 2．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论． 【详解】且， ， 又， ， 解得：或， 当，则，则； 当，则（舍去）； 故选：C． 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：B 4．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数的伸缩平移变换可得函数的解析式，进而可得函数值. 【详解】将函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得， 再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数， 所以， 故选：A. 5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由函数的奇偶性和指定区间的函数值，排除法得正确选项. 【详解】函数，定义域为， ，则为奇函数， 函数图象关于原点对称，排除BD选项； 当时，，，，则，排除C选项. 故选：A. 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故选：B． 7．已知，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，而， 因此，所以. 故选：C 8．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断即可. 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得. 故选：C 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确得是（    ） A．在时取得最大值 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的一个对称中心是 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的性质，利用整体法即可求解AC，根据周期公式即可判断B,代入验证即可求解D. 【详解】对于A，令,则，故当时，取最大值，故A错误， 对于B，的最小正周期为，故B正确， 对于C，当，则，故在区间上单调递减，C正确， 对于D, ,故是的对称轴，故D错误， 故选：BC 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．为的图象的一个对称中心 C．在上单调递增 D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点 【答案】AB 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数，最小正周期，故A正确； ，则为的图象的一个对称中心，故B正确； 时，，易知在上先减后增， 故在上先减后增，故C错误； ， 在同一直角坐标系中分别作出与的大致图象如下所示， 观察可知，它们有3个交点，故D错误. 故选：AB    三、填空题 11．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，解得， 所以实数的最小值是. 故答案为：. 12．已知函数的部分图象如图，，则= ， ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】第一空：结合的范围即可求解；第二空：先得的范围，进一步由即可的值，再由整体代入法求对称轴方程即可求解. 【详解】由图可知或， 因为，所以只能，， 由图可知，存在且充分性，使得在上单调递减，注意到， 从而，所以只能， 令， 所以在轴左侧且离轴最近的函数的对称轴方程为， 由图可知. 故答案为：，. 四、解答题 13．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域. (3)若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为，； (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期，整体法得到函数单调递增区间； （2）在（1）基础上，得到，求出； （3）转化为在上有且仅有两个解，求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】（1） ， 的最小正周期， 令，， 解得， 故单调递增区为，； （2），， 故，， 故函数值域为； （3）函数， 即，， 故在上有且仅有两个零点， 等价于在上有且仅有两个解， ，， 要想在上有且仅有两个解， 则，解得， 故m的取值范围为. 14．已知. (1)求的值； (2)若，是方程的两个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，所以，解得； （2）因为，是方程的两个根，所以， ∴， 又，∴． 15．已知函数，且的最小正周期为． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题 【分析】（1）化简的解析式，根据的最小正周期求得，利用三角函数图象变换的知识求得，再根据是偶函数来求得的最小值. （2）根据三角恒等变换的知识求得. 【详解】（1） ， 由于的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数， 由于是偶函数，所以， 由于，所以时，取得最小值为. （2）， 由于， 所以， 所以 . 16．已知函数的最小正周期为. (1)求的值及图象的对称轴方程； (2)在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间. 【答案】(1)，对称轴方程： (2)图象见解析，单调递增区间， 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用周期求的值，整体代入法求图象的对称轴方程; （2）通过列表描点连线作出函数图象，由图象求区间内的单调递增区间. 【详解】（1） ， ，由的最小正周期，故， 所以， 令，得对称轴方程：. （2）列表如下： x 1 2 0 -2 0 1 在上的图象如图所示， 由图象可知，在上的单调递增区间为，. 17．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，使成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、三角恒等变换的化简问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求出函数的单调区间； （2）求出时，，只需，从而得到不等式，求出. 【详解】（1）由题意可得：   令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）若，使成立 等价为 因为，所以，所以， 当时 所以 ， 所以 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 8 考点一：任意角 8 考点二：弧度制 8 考点三：三角函数的概念 10 考点四：同角三角函数基本关系 10 考点五：诱导公式 11 考点六：三角函数的图象和性质 13 考点七：三角恒等变换 14 考点八：函数 16 考点九：三角函数的应用 19 实战能力训练 22 明晰学考要求 1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度制与角度制的互化 2、理解三角函数的定义，能画出三角函数的图象 3、了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。 4、理解正弦函数、余弦函数在上的性质，正切函数在上的性质 5、了解函数的实际意义；能借助图象理解参数的意义， 了解参数的变化对函数图象的影响； 6、理解同角三角函数的基本关系 7、能运用二倍角公式进行简单的恒等变换； 8、会用三角函数解决简单的实际问题。 基础知识梳理 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、象限角 （1）定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. （2）象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 4、终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 5、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 6、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 7、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 8、扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 9、任意角的三角函数定义 （1）单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （2）终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  10、三角函数值在各象限的符号 ,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”） 11、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系： （2）商数关系:（，） 诱导公式一 ① ② ③其中.  公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 公式七 公式八 12、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称轴方程 无 递增区间 递减区间 无 13、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ①两角和与差的正弦公式 ②两角和与差的余弦公式 ③两角和与差的正切公式 14、二倍角公式 ① ②；； ③ 15、降幂公式 16、辅助角公式： (其中) 17、五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 18、三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 19、根据图象求解析式 形如的解析式求法： （1）求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. （2）求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. （3）求法：最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. 考点精讲讲练 考点一：任意角 【典型例题】 例题1．（2024北京）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023福建）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023上海）如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为 . 【即时演练】 1．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 2．角是第 象限角． 3．与角终边相同的最小正角是 ；最大负角是 ． 考点二：弧度制 【典型例题】 例题1．（2023安徽）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024浙江）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023湖北）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    【即时演练】 1．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是 . 考点三：三角函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024新疆）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2023湖南）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 例题3．（多选）（2024浙江）已知，且，则关于表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则 =（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边上一点，且，则 . 3．已知点是角α终边上的一点，则 ． 考点四：同角三角函数基本关系 【典型例题】 例题1．（2024湖北）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例题2．（2023江苏）已知，则（    ） A． B． C． D．3 例题3．（2023山西）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【即时演练】 1．已知，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．若，则 ． 3．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 考点五：诱导公式 【典型例题】 例题1．（2022浙江）已知，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024陕西）已知角终边上一点，则 ． 例题3．（2023上海）已知，那么的值是 . 【即时演练】 1．已知角的终边经过点，则 ． 2．已知为第二象限角，． (1)化简； (2)若，求的值． 3．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 考点六：三角函数的图象和性质 【典型例题】 例题1．（2024云南）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023安徽）下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024湖南）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为1 D．在上单调递减 例题4．（2024云南）若方程在区间上有5个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题5．（2023浙江）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是偶函数，则的值为 5．函数的值域为 . 考点七：三角恒等变换 【典型例题】 例题1．（2024北京）（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022安徽）若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024云南）设，则（    ） A． B． C． D． 例题4．（2024天津）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值． 例题5．（2023吉林）已知函数． (1)求函数的最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间． 【即时演练】 1．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C．3 D．4 3．已知函数. (1)求的值； (2)已知，求的值. 4．已知函数，且. (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值. 5．已知函数，. (1)求的值； (2)求的最小正周期和单调递增区间. 考点八：函数 【典型例题】 例题1．（2022河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023广西）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例题3．（2024湖南）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 例题4．（2024湖南）已知函数为奇函数，函数． (1)若的最小正周期为，求出与的值； (2)若在区间上有且仅有4个最值点，求的取值范围； (3)在（1）的条件下，求的最大值以及取得最大值时x的集合． 【即时演练】 1．将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（    ） A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 4．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 5．已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 (2) 写出的解集. 考点九：三角函数的应用 【典型例题】 例题1．（2023安徽）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023辽宁）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（    ） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（    ） A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 例题3．（2024北京）已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【即时演练】 1．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（   ） A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的 B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期 C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 3．（多选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 4．（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．当时，点P到x轴的距离的最大值为 C．当时，函数单调递减 D．当时， 5．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 实战能力训练 一、单选题 1．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（   ） A． B．2 C． D． 8．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确得是（    ） A．在时取得最大值 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的一个对称中心是 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．为的图象的一个对称中心 C．在上单调递增 D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点 三、填空题 11．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 12．已知函数的部分图象如图，，则= ， ． 四、解答题 13．已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域. (3)若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围. 14．已知. (1)求的值； (2)若，是方程的两个根，求的值. 15．已知函数，且的最小正周期为． (1)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值； (2)若，，求的值． 16．已知函数的最小正周期为. (1)求的值及图象的对称轴方程； (2)在如图所示坐标系中，用“五点作图法”作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间. 17．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，使成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$