专题04 指数函数与对数函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

专题04 指数函数与对数函数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 5 考点一：指数 5 考点二：指数函数的概念 6 考点三：指数函数的图象和性质 7 考点四：对数 9 考点五：对数函数的概念 10 考点六：对数函数的图象和性质 10 考点七：不同函数增长差异 12 考点八：函数的零点与方程的解 14 考点九：函数模型的应用 15 实战能力训练 17 明晰学考要求 1、了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2、了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3、能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 4、理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数； 5、了解对数函数的概念； 6、能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；； 7、指导对数函数与指数函数互为反函数（且） 基础知识梳理 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 8、函数的零点 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注 意函数的零点不是点，是一个数. 9、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标 即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 10、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 11、常见函数模型 （1）指数函数模型（且，） （2）对数函数模型（且，） 12、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点精讲讲练 考点一：指数 【典型例题】 例题1．（2022天津）已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 例题2．（多选）（2024浙江）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023山西） ． 【即时演练】 1．已知，，化简： ． 2．若代数式有意义，则 ． 3．计算： (1)； (2)（，）. 考点二：指数函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024安徽）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 例题2．（2023新疆）设函数（且）， 满足. (1)求的值； (2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围． 例题3．（2022江苏）已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，. (1)求的表达式； (2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【即时演练】 1．已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．已知指数函数，则的值为 . 3．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 考点三：指数函数的图象和性质 【典型例题】 例题1．（2024北京）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024云南）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3．（2024浙江）已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 例题4．（2023海南）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若对于任意都有恒成立，求实数的取值范围 例题5．（2020贵州）已知定义在上的函数. （1）写出的单调区间； （2）已知，对所有，恒成立，求的取值范围. 【即时演练】 1．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 4．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 5．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 考点四：对数 【典型例题】 例题1．（2024云南）已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2．（2024福建）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024湖北）已知，则 . 例题4．（2021江苏）计算 【即时演练】 1．计算：（   ） A．8 B． C． D． 2．计算： . 3．计算： . 4．计算： ． 考点五：对数函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024北京）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（2024浙江）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 例题3．（2023云南）函数的定义域是 （用区间表示） 【即时演练】 1．若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若是奇函数，当时， ． 3．函数的定义域为 ． 考点六：对数函数的图象和性质 【典型例题】 例题1．（2024北京）在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024湖北）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023吉林）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例题4．（2023辽宁）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 例题5．（2024湖北）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【即时演练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 4．函数的单调增区间为 ． 5．已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 考点七：不同函数增长差异 【典型例题】 例题1．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 例题2．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 【即时演练】 1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ）    A．指数函数 B．对数函数y=log2t C．幂函数y=t3 D．二次函数y=2t2 2．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 考点八：函数的零点与方程的解 【典型例题】 例题1．（2022河北）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 例题2．（2024福建）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题3．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 例题4．（2024福建）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【即时演练】 1．若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 考点九：函数模型的应用 【典型例题】 例题1．（2024湖北）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024浙江）有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 例题3．（2023甘肃）心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（   ） A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 例题4．（2024广东）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【即时演练】 1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 2．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 3．已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 4．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． (1)求关于的函数解析式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 实战能力训练 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则.（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 二、多选题 9．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 10．下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．函数的零点是 ． 12．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投 万元，获得总利润为 万元. 四、解答题 13．已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 14．计算下列各式的值： (1) (2) 15．已知函数（其中） (1)当时，求函数的零点； (2)讨论关于的不等式的解集. 16．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142万元. (1)求：k的值； (2)若每吨产品出厂价为48万元，求：引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大 17．已知函数，且. (1)求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数与对数函数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 5 考点一：指数 5 考点二：指数函数的概念 7 考点三：指数函数的图象和性质 12 考点四：对数 17 考点五：对数函数的概念 20 考点六：对数函数的图象和性质 22 考点七：不同函数增长差异 27 考点八：函数的零点与方程的解 31 考点九：函数模型的应用 35 实战能力训练 39 明晰学考要求 1、了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2、了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念； 3、能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 4、理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数； 5、了解对数函数的概念； 6、能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；； 7、指导对数函数与指数函数互为反函数（且） 基础知识梳理 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 5、对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. （2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数. （3）对数式与指数式的互化：. 6、对数的性质、运算性质与换底公式 （1）对数的性质 根据对数的概念，知对数具有以下性质： ①负数和零没有对数，即； ②1的对数等于0，即； ③底数的对数等于1，即； ④对数恒等式. （2）对数的运算性质 如果，那么： ①； ②； ③. （3）对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数. 换底公式的变形及推广： ①； ②； 7、对数函数及其性质 （1）对数函数的定义 形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． （2）对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 8、函数的零点 对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注 意函数的零点不是点，是一个数. 9、函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标 即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 10、零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 11、常见函数模型 （1）指数函数模型（且，） （2）对数函数模型（且，） 12、指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间,相对平稳 图象的变化 随x的增大，图象与轴接近平行 随x的增大，图象与轴接近平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个，当时，有 考点精讲讲练 考点一：指数 【典型例题】 例题1．（2022天津）已知，，则的值为（    ） A． B．2 C．8 D．15 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算求解即可. 【详解】. 故选：D 例题2．（多选）（2024浙江）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数幂互化，选出正确答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：ABC. 例题3．（2023山西） ． 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的性质进行计算. 【详解】原式 故答案为： 【即时演练】 1．已知，，化简： ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简. 【详解】因为. 故答案为： 2．若代数式有意义，则 ． 【答案】1 【知识点】根式的化简求值 【分析】由二次根式有意义得到的取值范围，化简所求代数值，由的取值范围去掉绝对值符号即可得到解. 【详解】由题意可知：，∴ ∴ 故答案为：1 3．计算： (1)； (2)（，）. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案. （2）根据根式、指数运算的知识求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 考点二：指数函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024安徽）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 例题2．（2023新疆）设函数（且）， 满足. (1)求的值； (2)若，求使不等式对任意实数恒成立的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据求得. （2）根据函数的奇偶性、单调性、一元二次不等式恒成立等知识求得的取值范围. 【详解】（1）∵，∴，∴. （2）由（1）得：（且）， 的定义域为，， ∴是奇函数． ∵ ，∴，∴ ∴在上是减函数． 不等式等价于． ∴，即恒成立． ∴ ，解得. 例题3．（2022江苏）已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，. (1)求的表达式； (2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、指数函数的判定与求值、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当时的解析式，即可得到结果； （2）根据定义证明函数在上单调递增，然后再结合是定义在上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果. 【详解】（1）设，则，因为时，， 所以 又因为是定义在上的奇函数， 即 所以当时， 综上，的表达式为 （2）由（1）可知，， 设在上任取两个自变量，令 则 因为，则，所以 所以函数在上单调递增. 即， 由是定义在上的奇函数，可得 即，由函数在上单调递增， 可得恒成立， 当时，即，满足； 当时，即，解得 综上，的取值范围为 【即时演练】 1．已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，解得， 此时， 则， 满足， 所以. 故选：C. 2．已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 3．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 考点三：指数函数的图象和性质 【典型例题】 例题1．（2024北京）在区间上，的最大值是其最小值的倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据条件，利用的单调性，得到，即可求解. 【详解】区间上单调递增，又，， 所以，即，解得， 故选：C. 例题2．（2024云南）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求已知指数型函数的最值 【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 且在上单调递增，可得， 所以函数的最小值为1. 故选：B. 例题3．（2024浙江）已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】对ACD，根据函数的单调性判断，对B举例说明不正确. 【详解】对A：若，所以，所以为单调递减的指数函数，因此对任意，，均有恒成立，故A正确； 对B：若，，函数无意义，故B错误； 对C：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故C错误； 对D：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故D错误； 故选：A 例题4．（2023海南）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若对于任意都有恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)1； (2)在上单调递增，证明见解析； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）求出函数的定义域，由求出a，再验证作答. （2）函数单调递增，再利用单调增函数的定义推理论证作答. （3）利用（2）的结论，结合已知脱去法则“f”，转化为恒成立的不等式作答. 【详解】（1）的定义域为，又是奇函数，则，解得， 此时，显然，因此为奇函数，符合题意， 所以. （2）在上单调递增， ，任取且， ， 因为，则，有，，，于是，即， 所以在上单调递增. （3）依题意，， 因为在上单调递增，因此，而，有， 当时，，当且仅当时取等号， 因为任意，恒成立，即任意，恒成立，则，解得， 所以的取值范围是. 例题5．（2020贵州）已知定义在上的函数. （1）写出的单调区间； （2）已知，对所有，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减.（2） 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断指数函数的单调性 【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得出单调区间； （2）由（1）知，函数的最小值为，把不等式转化为恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减. ①当时， 则， 因为，可得，所以， 即，即函数在上单调递增； ②当时， 则， 因为，可得，所以， 即，即函数在上单调递减. 综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当，函数取得最小值，最小值为， 因为不等式，对所有，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数取值范围是. 【即时演练】 1．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域 【分析】由奇偶性及函数值即可判断. 【详解】由知：， ，偶函数，AC错， ，B错， 故选：D 3．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据，即可求解，代入即可得纵坐标. 【详解】令，则，故，因此， 故答案为： 4．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在定义域内单调递增，证明见解析； (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 5．已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 考点四：对数 【典型例题】 例题1．（2024云南）已知.若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数运算法则进行计算. 【详解】. 故选：A 例题2．（2024福建）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 例题3．（2024湖北）已知，则 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 例题4．（2021江苏）计算 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 【即时演练】 1．计算：（   ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】将根式化为分数指数幂，结合对数运算法则进行计算 【详解】. 故选：A 2．计算： . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据对数、指数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 3．计算： . 【答案】9 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：9. 4．计算： ． 【答案】1 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算、指数幂的运算 【分析】结合指数、对数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 考点五：对数函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024北京）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】由即可求解. 【详解】由解析式可知，， 及， 所以定义域为， 故选：A 例题2．（多选）（2024浙江）若函数，则下列选项正确的是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．图象过定点 D．在定义域上单调递增 【答案】ABC 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型函数图象过定点问题、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】由题意，，则， 所以函数的定义域为，故A正确； 根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确； 令，则，， 所以函数的图象过定点，故C正确； 当时，函数在定义域上单调递减，故D错误. 故选：ABC. 例题3．（2023云南）函数的定义域是 （用区间表示） 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】结合幂函数与对数函数性质计算即可得. 【详解】由题意得，即，解得， 即定义域为：. 故答案为： 【即时演练】 1．若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分析可知，在上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 2．若是奇函数，当时， ． 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据给定条件，结合奇函数求出函数值即可. 【详解】由是奇函数，得，当时，，则， 所以. 故答案为： 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用对数函数的真数大于，解不等式可得结果. 【详解】易知真数，即，解得. 即函数的定义域为. 故答案为： 考点六：对数函数的图象和性质 【典型例题】 例题1．（2024北京）在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 例题2．（2024湖北）如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 例题3．（2023吉林）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 则，所以. 故选：D. 例题4．（2023辽宁）已知为定义在R上的奇函数，且当时，．求： (1)时，的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的性质,即可求解; （2）根据函数解析式结合对数函数的单调性可解. 【详解】（1）令，则， 即． 又为定义在上的奇函数， 所以． （2）因为在上是奇函数，所以， 所以等价于不等式组，或，或， 解得或或， 故不等式的解集为． 例题5．（2024湖北）已知函数，且. (1)当时，判断函数的单调性，并加以证明； (2)对给定的非零常数，是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)存在，， 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）结合函数的定义域，分区间和，证明函数的单调性； （2）根据函数的定义域，确定，并根据确定，并代入验证函数是奇函数. 【详解】（1）当时，， 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递减； 设， ， 因为，所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增； （2）， 因为，若函数是奇函数，则，即，则， 所以， ，即， 所以，， ， 所以只要满足，，即，时，函数是奇函数. 【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，. 【即时演练】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小 【分析】利用对数的运算法则以及对数函数的单调性可得结论. 【详解】因为， 又因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：C. 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、函数图象的变换 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. 3．已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据求函数图象经过的定点坐标. 【详解】由，此时. 所以函数的图象过定点. 故答案为： 4．函数的单调增区间为 ． 【答案】（也对） 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间. 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 5．已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、对数的运算 【分析】（1）代入函数值即可求出参数的值，由对数运算中真数大于0列出不等式求得定义域； （2）化简函数解析式得到一个复合函数，通过复合函数的单调性的定义得出函数单调区间，从而找到最小值点得到最小值. 【详解】（1），即，则， 由题意得，∴，的定义域为：. （2）， 令，则，， 的对称轴：， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增， ∴. 考点七：不同函数增长差异 【典型例题】 例题1．（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【知识点】指数函数图像应用、指数、对数、幂函数模型的增长差异、幂函数图象的判断及应用、 对数函数y=log2x的图像和性质 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 例题2．已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 【答案】①②⑤ 【知识点】比较对数式的大小、指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小 【分析】设，，则，，，画出函数图象，分情况讨论的取值，进而求得答案. 【详解】设，，则，，, 分别画出函数，，的图象如图所示： 根据图象知： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故答案为：①②⑤ 【即时演练】 1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ）    A．指数函数 B．对数函数y=log2t C．幂函数y=t3 D．二次函数y=2t2 【答案】A 【知识点】根据散点图判断是否线性相关 【分析】因为图像中的点坐标比较精确，所以将每个函数中代入等，从而判断出最适合的函数. 【详解】通过图像上的具体坐标可以发现： 对于选项A，当时，，与图像符合； 对于选项B，当时，，与图像不符合； 对于选项C，当时，，与图像不符合； 对于选项D，当时，，与图像不符合； 故选：A. 2．（1）（2）（3）分别是与在不同范围内的图象，估算出使的的取值范围是 .（参考数据：，） 【答案】 【知识点】函数图象的应用 【分析】结合参考数据，观察图象找到交点坐标，结合图象即可得到结果． 【详解】因为当时，， 当时，， 所以与的交点坐标情况如图， 结合图象可知的x的取值范围是， 故答案为：. 考点八：函数的零点与方程的解 【典型例题】 例题1．（2022河北）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 例题2．（2024福建）已知是函数的零点，则m为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得. 【详解】依题意，，即，所以. 故选：C 例题3．（2024高二上·北京·学业考试）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的值； (2)求函数的零点． 【答案】(1) (2)，3 【知识点】求函数值、求函数的零点 【分析】（1）根据图象可知，即可求解函数解析式，再代入求值； （2）根据零点的定义，解方程，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 所以． （2）因为， 所以． 令， 得． 所以的零点为，3． 例题4．（2024福建）已知函数且． (1)求实数a的值； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据分段函数解析式代入计算可得； （2）由（1）可得的解析式，即可分析函数在各段的单调性与取值范围，再画出的图象，依题意函数与在上恰有两个交点，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为且， 所以，解得； （2）由（1）可得， 当时，函数在上单调递减，且； 当时，则在上单调递增， 在上单调递减，且，，即； 所以的图象如下所示： 因为函数在上恰有两个零点， 即函数与在上恰有两个交点， 由图可知或，即实数的取值范围为. 【即时演练】 1．若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】先利用对数函数与一次函数的单调性判断的单调性，再利用零点存在定理即可得解. 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又， 故在上有唯一零点，即. 故选：B. 2．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 3．已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断指数函数的单调性、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 考点九：函数模型的应用 【典型例题】 例题1．（2024湖北）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 例题2．（2024浙江）有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型. 【详解】，，，， 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快， AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确. 故选：B. 例题3．（2023甘肃）心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（   ） A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 【答案】A 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由已知列式，结合对数的公式解出答案. 【详解】由题意得：，即， 则，两边同取对数可得：， 即，解得， 故选：A. 例题4．（2024广东）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【答案】(1) (2)156元 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据题意分和两种情况讨论即可； （2）结合（1）将代入函数解析式即可. 【详解】（1）由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）当用电为时，由（1）知， 所以元， 所以此用户本月应交156元. 【即时演练】 1．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是（   ） A．56.6米 B．57.6米 C．58.6米 D．59.6米 【答案】B 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】利用配方法，求二次函数最大值即可. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B 2．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】当底数大于1，指数函数呈爆炸增长． 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 3．已知甲地下停车库的收费标准如下：（1）停车不超过1小时免费；（2）超过1小时且不超过3小时，收费5元；（3）超过3小时且不超过6小时，收费10元；（4）超过6小时且不超过9小时，收费15元；（5）超过9小时且不超过12小时，收费18元；（6）超过12小时且不超过24小时，收费24元．小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，若他在当天18：30将车开出车库，则他需交的停车费为 ．乙地下停车库的收费标准如下：每小时2元，不到1小时按1小时计费．若小林将车停入乙车库（停车时长不超过24小时），要使得车停在乙车库比甲车库更优惠，则小林停车时长的最大值为 ． 【答案】 15 7 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据分段函数的知识解题即可. 【详解】小林在2024年10月7日10：22将车停入甲车库，在当天18：30将车开出车库， 则停车时长为8小时8分钟，满足超过6小时且不超过9小时，所以需交停车费15元； 设小林的停车时长为小时，则在乙车库需交停车费为元， 根据题意知当停车时长超过9小时后，乙车库停车比甲车库停车更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，要使得乙车库停车比甲车库停车更优惠， 则，解得， 所以小林的停车时长最大值为7小时. 故答案为：15；7. 4．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中． (1)求关于的函数解析式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？ 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据已知条件以及图象求得关于的函数解析式； （2）根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78， ，所以顶点的横坐标为， 当时，设， 将代入上式得， 解得，所以， 当时，设，将代入上式得： ，解得，所以. 所以. （2）当时，， 当时，， 综上所述，老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 实战能力训练 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性排除AB，根据单调性排除C，即可得到正确答案. 【详解】对A：因为函数的定义域为， 所以函数是非奇非偶函数，可排除A； 对B：因为，，则，且， 所以函数是非奇非偶函数，可排除B； 对C：幂函数在上单调递减，所以可排除C； 对D：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 又在上单调递增，故D正确. 故选：D 2．设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算法则逐一计算判断即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3．已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【详解】，即； ，即； ，即， 所以. 故选：A 4．已知函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值、求分段函数值 【分析】将代入分段函数的解析式计算即可. 【详解】， 又， 所以. 故选：C. 5．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由指数函数、对数函数、反比例函数的单调性逐个判断即可. 【详解】对于A：在上单调递增可得：在上单调递减； 对于B：在上单调递减； 对于C：在上单调递减； 对于D：当时，，在区间上单调递增. 故选：D 6．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为是上的连续增函数，可知函数 是上的连续增函数， 又因为，可得， 所以函数的唯一零点所在的区间是. 故选：D. 7．已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】研究分段函数的单调性，先分别研究各段函数的单调性为递增，在比较端点左边的函数值小于端点右边函数值，得到整个函数在上单调递增，由函数单调性和函数值的不等关系得到自变量的不等关系，从而得出的取值范围. 【详解】化简得到， ∴函数在区间上单调递增， ∵，∴在区间单调递减，∴函数在区间上单调递增， 又因为，∴函数在区间上单调递增， ∵， ∴，∴. 故选：B. 8．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 【答案】D 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】结合图象逐一分析即可. 【详解】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意； 对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意； 对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意； 对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意. 故选：D 二、多选题 9．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由所给的函数值表知， 由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点， 故选：BCD. 10．下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 三、填空题 11．函数的零点是 ． 【答案】2 【知识点】求函数的零点 【分析】利用零点的定义直接解方程即可. 【详解】令，解之得， 所以函数的零点是2. 故答案为： 12．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投 万元，获得总利润为 万元. 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值，从而求出总利润. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 此时总利润为. 故答案为：；. 四、解答题 13．已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 【答案】(1)108 (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用幂的运算性质计算即得； （2）利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）； （2）由，，可得 则. 14．计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果； （2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【详解】（1）由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； （2）由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 15．已知函数（其中） (1)当时，求函数的零点； (2)讨论关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求函数的零点 【分析】（1）求解方程的根即可得解， （2）由因式分解得，即可分离讨论，结合一元二次不等式的解的特征求解. 【详解】（1）当时， 由解得. 故函数的零点为. （2）由可得，即， ①当时，不等式的解集为     ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 16．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量时，总成本为142万元. (1)求：k的值； (2)若每吨产品出厂价为48万元，求：引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大 【答案】(1)1 (2)日产量8吨时有最大利润 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）表达出企业引进了除尘设备，每日生产总成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的关系式，当时，，从而列出方程，求出； （2）引进除尘设备后，每吨产品的利润，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）该企业引进了除尘设备， 每日生产总成本（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的关系为， 当时，，故，解得； （2）引进除尘设备后，， 每吨产品的利润， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故， 所以引进除尘设备后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大. 17．已知函数，且. (1)求实数的值，在图中作出的图象（可直接作图，不用书写过程），并求函数有个不同的零点时实数的取值范围； (2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)；作图见解析， (2) 【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数值直接可得参数值，再根据基本初等函数的性质作出函数图象，将函数零点转化为两函数交点问题，根据函数的单调性与值域情况，数形结合可得解； （2）根据函数的单调性可得范围，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 易知当时，函数单调递增，且， 当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 函数的大致图象如图所示， 令，即， 故有三个零点可转化为方程有个不同的实根， 即函数与函数有个交点， 由图象可知； （2）由（1）可知，函数在区间和上分别单调递增， 因为， 且函数在区间上为增函数， 所以可知， 解得或 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$