专题03 函数的概念与性质（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

专题03 函数的概念与性质 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：函数的概念 4 考点二：函数的表示 5 考点三：函数的单调性与最大（小）值 6 考点四：函数的奇偶性 7 考点五：幂函数 8 考点六：函数的应用（一） 9 实战能力训练 12 明晰学考要求 1、体会集合语言和对应关系刻画函数的概念； 2、了解构成函数要素，能求简单的函数定义域； 3、会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用； 4、了解简单的分段函数，并能简单应用； 5、会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值； 6、了解奇偶性的概念； 7、了解周期性的概念 基础知识梳理 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 7、函数对称性 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ 8、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 9、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 10、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 考点精讲讲练 考点一：函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024福建）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024云南）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 例题3．（2024浙江）若，，则（    ） A．55 B．190 C．210 D．231 【即时演练】 1．下列各组函数中为同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 考点二：函数的表示 【典型例题】 例题1．（2024安徽）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 例题2．（2024浙江）已知函数（表示不超过的最大整数），则 . 例题3．（2024江苏）已知函数满足，且，则 ． 【即时演练】 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 3．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 考点三：函数的单调性与最大（小）值 【典型例题】 例题1．（2023新疆）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024北京）已知则 ；的最大值为 ． 例题3．（2023吉林）已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若，求实数的取值范围． 【即时演练】 1．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 3．已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 考点四：函数的奇偶性 【典型例题】 例题1．（2024安徽）已知函数，若的图象关于原点对称，则实数 . 例题2．（2024福建）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由 (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 例题3．（2024安徽）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【即时演练】 1．已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．1 2．已知函数为偶函数，则实数 ． 3．已知函数是上的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式，并画出具体函数图象； (2)若，求实数m的取值范围. 考点五：幂函数 【典型例题】 例题1．（2024湖南）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 例题2．（2023江苏）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 例题3．（2023宁夏）已知幂函数的图象过点，则 【即时演练】 1．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 3．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是 ；若，则 考点六：函数的应用（一） 【典型例题】 例题1．（2024浙江）有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（    ） A．2 B．3 C． D． 例题2．（2022浙江）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 例题3．（2023安徽）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【即时演练】 1．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 3．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 战能力训练 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中与是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   6．函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 8．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表： 1 2 3 4 3 2 1 2 （1） ；（2）不等式的解集为 ． 12．若函数，，若的最小值为2，则 四、解答题 13．已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 14．已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 15．已知    (1)将写出分段函数的形式； (2)画出的图象，写出的单调增区间； 16．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 17．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与性质 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：函数的概念 4 考点二：函数的表示 7 考点三：函数的单调性与最大（小）值 9 考点四：函数的奇偶性 12 考点五：幂函数 16 考点六：函数的应用（一） 19 实战能力训练 23 明晰学考要求 1、体会集合语言和对应关系刻画函数的概念； 2、了解构成函数要素，能求简单的函数定义域； 3、会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用； 4、了解简单的分段函数，并能简单应用； 5、会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值； 6、了解奇偶性的概念； 7、了解周期性的概念 基础知识梳理 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 5、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 6、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 7、函数对称性 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ① ② ③ 8、幂函数定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数． 9、五种常见幂函数 函数 图象 性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 10、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 考点精讲讲练 考点一：函数的概念 【典型例题】 例题1．（2024福建）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解析式有意义即可. 【详解】由题意可得：，∴ 故选：A 例题2．（2024云南）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】由函数解析式求解． 【详解】因为，所以， 故选：A 例题3．（2024浙江）若，，则（    ） A．55 B．190 C．210 D．231 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】利用赋值法分析可得，，即可得结果. 【详解】令，则，可得； 令，则，可得； 令，则，即， 则， 可得， 所以. 故选：B. 【即时演练】 1．下列各组函数中为同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项错误. B选项，，， 两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确. C选项，对于，，解得或， 所以的定义域是， 对于，，解得， 所以的定义域是，所以C选项错误. D选项，的定义域是， 的定义域是，所以D选项错误. 故选：B 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】由题可得，解得且. 所以的定义域为. 故选：B. 3．已知函数满足，则（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】根据给定条件，令，即取代入计算即得. 【详解】函数满足，当，即时，. 故选：C 考点二：函数的表示 【典型例题】 例题1．（2024安徽）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 例题2．（2024浙江）已知函数（表示不超过的最大整数），则 . 【答案】3 【知识点】函数新定义 【分析】根据定义直接求解即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 例题3．（2024江苏）已知函数满足，且，则 ． 【答案】或2021. 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】，通过赋值法，求出t的值，进而得到，再求解即可. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，故.因此. 则， 即， 因此或 当时，，时，此时； 当时，. 故答案为：或2021. 【即时演练】 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值 【分析】根据分段函数解析式分段求解，取并集即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 所以时，的值域为， 故选：D 2．若函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数值、二次函数的图象分析与判断、函数图象的应用 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，因此可得， 又易知，所以可得； 即，所以. 故选：D 3．已知函数，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故选：C 考点三：函数的单调性与最大（小）值 【典型例题】 例题1．（2023新疆）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】先分析的对称轴，然后根据在上的单调性得到关于的不等式，由此求解出结果. 【详解】因为的对称轴为，且在上是减函数， 所以，所以， 故选：A. 例题2．（2024北京）已知则 ；的最大值为 ． 【答案】 1 2 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的值域或最值 【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解. 【详解】由解析式可知：， 当，易知， 当，，当时，取最大值2， 所以的最大值为2， 故答案为：1，2 例题3．（2023吉林）已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. （2）由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 【即时演练】 1．已知函数在区间上是单调函数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】函数的图象对称轴为， 由函数在区间上是单调函数，得或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 2．若在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数单调性结合一次函数、二次函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； （2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 考点四：函数的奇偶性 【典型例题】 例题1．（2024安徽）已知函数，若的图象关于原点对称，则实数 . 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的性质，令，即可得到答案. 【详解】∵函数的图象关于原点对称, ∴为奇函数, ∴， ∴，经验证满足题设. 故答案为： 例题2．（2024福建）已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由 (2)当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可判断； （2）由题意可得当时，恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可得答案. 【详解】（1）的定义域为R，且满足， 故为奇函数； （2）当时，恒成立，即， 即恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 故. 例题3．（2024安徽）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可; （3）利用单调性及定义域列出不等式即可 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 【即时演练】 1．已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．1 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求出，再求出即可得解. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 2．已知函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求解即得. 【详解】由函数为偶函数，得， 当时，，， 而当时，，则，即， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：3 3．已知函数是上的偶函数，当时，. (1)求函数的解析式，并画出具体函数图象； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，图象见解析； (2). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、画出具体函数图象、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义，求出时，函数的解析式，结合二次函数及偶函数的性质画出图象即可； （2）根据函数的图象以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【详解】（1）当时，则， 由题意可得：， 因为函数是上的偶函数,所以， 所以， 所以函数的解析式为， 结合二次函数知识易画出图象如图所示： （2）结合该函数的图象可知：在上单调递减,在上单调递增. 又因为函数是上的偶函数，且， 所以， 整理可得: ，解得：. 故实数m的取值范围为. 考点五：幂函数 【典型例题】 例题1．（2024湖南）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 例题2．（2023江苏）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 例题3．（2023宁夏）已知幂函数的图象过点，则 【答案】2 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【分析】将点代入函数，即可求解. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得. 故答案为：2. 【即时演练】 1．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据幂函数的知识求得，由此化简不等式并求得不等式的解，从而求得的取值范围. 【详解】因为函数是幂函数，则，解得或. 当时，是偶函数，其图象关于轴对称，与已知矛盾； 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为， 即，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 2．已知幂函数在上单调递减，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值. 【详解】因为为幂函数，所以，所以， 当时，，在上单调递增，不符合； 当时，，在上单调递减，符合； 故答案为：. 3．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是 ；若，则 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、基本（均值）不等式的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】由条件先求，根据函数单调性及定义域解不等式求，根据基本不等式判断与的大小. 【详解】因为函数图象经过点， 所以， 所以，故， 函数的定义域为，且函数在单调递增， 所以可化为， 所以，即的取值范围是； 因为，， 所以 所以， 所以， 即. 故答案为：，. 考点六：函数的应用（一） 【典型例题】 例题1．（2024浙江）有一支队伍长，以的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回排尾，速度为，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】分式型函数模型的应用 【分析】计算队伍前进的总时间，传令兵从排头到排尾的时间及从排尾到排头的时间，根据传令兵往返总时间与队伍前进时间相等即可求解. 【详解】设总时间为，传令员从排头到排尾所用时间为，从排尾到排头所用时间为， 所以，所以， 解得，即， 所以. 故选：C. 例题2．（2022浙江）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝ 厘米． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意可得函数，利用基本不等式求解. 【详解】由题意及，可得，即， ∴． 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元）， 当且仅当，即（厘米）时达到最小值． 故答案为: . 例题3．（2023安徽）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据矩形面积即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）则，， 所以 （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【即时演练】 1．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 2．辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 3．学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 战能力训练 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数与具体函数定义域的求法列式计算即可. 【详解】根据题意得解得且. 故选：. 2．下列选项中与是同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数的概念，即可判断. 【详解】对于A，因为的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以与不是同一函数. 对于B，因为的定义域为，而的定义域为，二者定义域不同，所以与不是同一函数. 对于C，因为与的定义域相同，对应关系也相同，所以与是同一函数. 对于D，因为与的定义域相同，但是对应关系不相同，，所以与不是同一函数. 故选：C. 3．已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】求函数值 【分析】结合换元思想，令即可代入求解. 【详解】令，则. 故选：A 4．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 5．函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数图像的识别 【分析】将函数分段表示出，再直接判断即可. 【详解】依题意，，因此函数的图象为选项D. 故选：D 6．函数在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递增， 只需，解得，即的取值范围为. 故选：B 7．若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 8．已知函数满足对任意的，恒成立，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据单调性定义易知在定义域上递增，进而列不等式求参数范围，最后由的区间单调性求值域. 【详解】由题设在定义域上递增，所以， 而在上递增，故其值域是. 故选：A 二、多选题 9．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【答案】BD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】通过判断具体函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】A.（），则， 因为，故函数不是奇函数，错误； B. （），，函数是偶函数，不是奇函数，错误； C. （），函数为奇函数，根据幂函数的性质可知函数为减函数，正确； D. ，则，故函数为奇函数， 又，如图： 根据图象函数为减函数，正确. 故选：CD 三、填空题 11．已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表： 1 2 3 4 3 2 1 2 （1） ；（2）不等式的解集为 ． 【答案】 2 【知识点】求函数值、列表法表示函数 【分析】利用给定的对应数据，求出及不等式的解集. 【详解】（1）依题意，； （2）依题意，，而， 所以不等式的解集为. 故答案为：2； 12．若函数，，若的最小值为2，则 【答案】2 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，根据最小值求出a. 【详解】根据题意，函数， 根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则的最小值为. 故答案为：2 四、解答题 13．已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a、b的值； (2)若函数，求值域. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由不等式的解集知的两个根，根据方程根的定义或韦达定理便可得到a、b的值. （2）先将函数化为顶点式，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定区间找出函数的最大值和最小值，从而确定值域. 【详解】（1）∵的解集为或， ∴的根为，， ， ∴，. （2）由（1）知， ， 抛物线开口向上，对称轴为. ∵，∴； 又，∴. ∴函数的值域为. 14．已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）用单调性的定义证明即可. （2）由在区间上的单调性易得值域. 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 15．已知    (1)将写出分段函数的形式； (2)画出的图象，写出的单调增区间； 【答案】(1) (2)图象见解析，单调增区间为和 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值即可得分段函数解析式； （2）根据二次函数的图象作图即得分段函数的图象，利用函数图象写出单调增区间即可. 【详解】（1）由，当时，， 当时，， 故； （2）函数的图象如图所示，函数的单调增区间为和.    16．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)，. (2)函数在上为减函数；证明见解析 (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，且，即可求得解析式；（2）用函数单调性的定义证明即可；（3）由前两问可得函数的单调性，结合已知条件的奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】（1））函数是定义在上的奇函数，， 解得：， ∴，而，解得， ∴，. （2）函数在上为减函数；证明如下： 任意且， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以函数在上为减函数. （3）由题意，不等式可化为， 所以，解得，所以该不等式的解集为. 17．最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？ 【答案】(1) (2)90万件 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）分和两种情况，由题意得到函数解析式； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到答案. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故 （2）时，， 当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当即时取到等号， ， 时，取得最大值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$