专题06 三角恒等变换与解三角形（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（江苏专用）

专题06 三角恒等变换与解三角形 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 3 考点一：利用三角恒等变换公式求值 3 考点二：三角恒等变换与三角函数综合 4 考点三：利用正余弦定理解三角形 5 考点四：正余弦定理的实际应用 6 实战能力训练 7 明晰学考要求 1、了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程； 2、能利用两角差与和的余弦、正弦、正切公式进行求值、计算； 3、能利用余弦、正弦、正切的二倍角公式求值、计算； 4、了解正弦定理，能利用正弦定理解三角形； 5、了解余弦定理，能利用余弦定理解三角形； 6、能利用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题. 基础知识梳理 1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）两角和与差的余弦公式： 简记 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； （2）两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ （3）两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 2、二倍角公式 （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sinαcosα C2α cos 2α＝cos2α－sin2α=1-2 sin2α= 2cos2α-1 T2α tan 2α＝ （2）注意余弦的二倍角公式的逆用：1-2 sin2α= cos 2α，2cos2α-1= cos 2α，1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos 2α＝2sin2α等. 3、辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 4、正弦定理 （1）正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). （2）正弦定理变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝. 5、余弦定理 （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 则a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. （2）推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 考点精讲讲练 考点一：利用三角恒等变换公式求值 【典型例题】 例题1． （2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 例题4．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时演练】 1．（    ） A． B． C．1 D．2 2. 的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，且，则的值为（ ） A．-7 B．7 C．1 D．-1 4. 已知角是第一象限角，，则（ ） A． B． C． D． 考点二：三角恒等变换与三角函数综合 【典型例题】 例题1．（2024·江苏省扬州市学业水平考试模拟）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 例题2．函数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 【即时演练】 1． 函数，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的最大值为，则 ，的一个对称中心为 3. 已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 考点三：利用正余弦定理解三角形 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023·江苏徐州·学业考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 例题4．（2024·江苏省扬州市学业水平考试模拟）的内角A，B，C的对边分别为，已知. （1）求B； （2）若的周长为的面积. 【即时演练】 1． 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2. 在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 考点四：正余弦定理的实际应用 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（    ） A． B． C． D． 例题3．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1． 某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（    ） A．400 B． C．800 D． 2.如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ） A． B． C． D． 实战能考点精讲讲练力训练 1. 若，则（    ） A． B． C．1 D． 2. 的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（    ） A． B． C． D． 3. 已知，则（    ） A． B． C． D． 4. 如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 5. 中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 7. 已知中，，其中A，B，C为的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则 A． B． C． D． 8. 在相距4千米的A，B两点分别观测目标点C，如果，，那么A ，C两点间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．()千米 9. _______. 10. 已知，则 . 11. 已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角恒等变换与解三角形 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 3 考点一：利用三角恒等变换公式求值 3 考点二：三角恒等变换与三角函数综合 6 考点三：利用正余弦定理解三角形 9 考点四：正余弦定理的实际应用 13 实战能力训练 16 明晰学考要求 1、了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程； 2、能利用两角差与和的余弦、正弦、正切公式进行求值、计算； 3、能利用余弦、正弦、正切的二倍角公式求值、计算； 4、了解正弦定理，能利用正弦定理解三角形； 5、了解余弦定理，能利用余弦定理解三角形； 6、能利用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题. 基础知识梳理 1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）两角和与差的余弦公式： 简记 公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； C(α－β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； （2）两角和与差的正弦公式 简记 公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ （3）两角和与差的正切公式 简记符号 公式 使用条件 T(α＋β) tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) T(α－β) tan(α－β) ＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) 2、二倍角公式 （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sinαcosα C2α cos 2α＝cos2α－sin2α=1-2 sin2α= 2cos2α-1 T2α tan 2α＝ （2）注意余弦的二倍角公式的逆用：1-2 sin2α= cos 2α，2cos2α-1= cos 2α，1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos 2α＝2sin2α等. 3、辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定. 4、正弦定理 （1）正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). （2）正弦定理变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC； sin A＝，sin B＝，sin C＝. 5、余弦定理 （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍， 即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 则a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. （2）推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 考点精讲讲练 考点一：利用三角恒等变换公式求值 【典型例题】 例题1． （2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】. 故选：C. 例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 例题3．（2023高三·江苏·学业考试）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】，，，解得. 故选：D 例题4．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简得,再根据充分、必要条件的知识判断即可. 【详解】因为, 所以， 解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【即时演练】 1．（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 故选：C 2. 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和角公式，计算即可. 【详解】． 故选：D 3．（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，且，则的值为（ ） A．-7 B．7 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得， 再由两角和的正切公式，将代入运算即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 又 ， 则， 解得= 7， 故选B. 【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题. 4. 已知角是第一象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据同角三角函数基本关系及两角和余弦公式求解即可. 【详解】因为角是第一象限角，， 所以， 所以. 故选：B 考点二：三角恒等变换与三角函数综合 【典型例题】 例题1．（2024·江苏省扬州市学业水平考试模拟）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期. 【详解】因为， 所以该函数的最小正周期. 故选：. 例题2．函数的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可. 【详解】， 所以当，即，即，时， 取得最大值. 故选：C. 例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换的知识化简，根据二次函数的性质求得正数的值. 【详解】 . 令，则，， 开口向下，对称轴为， 当时，则，无解. 当时，则. 综上所述，的值为. 故选：B. 【即时演练】 1． 函数，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据正弦型函数的最值可求得结果. 【详解】，当，即时，取得最大值. 故选：D. 2．若函数的最大值为，则 ，的一个对称中心为 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心. 【详解】由，其中， 又函数的最大值为，则， 又，则，，不妨取， 故， 则的对称中心满足，，解得，， 即的对称中心为，， 则的一个对称中心可为：， 故答案为：，（答案不唯一） 3. 已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦的倍角公式化简，再直接代入自变量即可得解； （2）利用辅助角公式化简，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 考点三：利用正余弦定理解三角形 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得即，解得， 故选：B. 例题2．（2023·江苏徐州·学业考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角． 【详解】∵，由正弦定理得， 设， 则，又是三角形内角， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题． 例题3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定角的大小，再利用和角的正切及整数条件求出，然后利用同角公式、正弦定理及向量数量积的运算律求解即得. 【详解】在中，由，得，即， 则，由为整数，得，， ，整理得， 而，且均为整数，则， 由，解得， 由，解得， 由正弦定理得，则， 由D为AC中点，得，则 ， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决本问题的关键是求出的值，再转化为解三角形问题. 例题4．（2024·江苏省扬州市学业水平考试模拟）的内角A，B，C的对边分别为，已知. （1）求B； （2）若的周长为的面积. 【答案】（1）  (2) 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【详解】（1）, ， , ， . , . (2)由余弦定理得， ， ， ， . 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用． 【即时演练】 1． 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可求，从而可求. 【详解】由正弦定理可得，故， 因为，故，故为锐角，故， 故选：A. 2. 在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理公式和面积公式直接求解即可. 【详解】解：因为， ， 所以， 所以，，， 所以，. 故选：C. 3．在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 考点四：正余弦定理的实际应用 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求得正确的. 【详解】依题意， 所以. 故选：D 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点， 则， 则， 又因，所以. 故选：C. 例题3．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，， 所以， 即此建筑物的高度是. 故选：A. 【即时演练】 1． 某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（    ） A．400 B． C．800 D． 【答案】B 【分析】根据题意，过点作于点，可得，在中解三角形可得解. 【详解】如图，过点作于点， ，， ，， 在中，. 故选：B. 2.如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】求出中的边的长，求得,利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由题意得，在中,，，, 由正弦定理有 代入数据得, 解得（海里）， 故选：A． 3．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得：， .故选：C. 实战能考点精讲讲练力训练 1. 若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 2. 的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，解得， 故选：D. 3. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用两角和的正切公式求出，然后用倍角公式化简，再用弦化切求解. 【详解】因为， 所以，可得， 又 . 故选：A． 4. 如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知, 由余弦定理可得， 故选：D 5. 中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可直接求出. 【详解】由余弦定理得， . 故选：C. 6. 已知，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角的正切公式求出，再利用两角和的正切公式求. 【详解】 , . 故选：D. 7. 已知中，，其中A，B，C为的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理整理得到，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】由题意结合正弦定理得， 即，由余弦定理得， ，则. 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，利用正弦定理对题中的条件进行合理变形并结合余弦定理求解是解题的关键. 8. 在相距4千米的A，B两点分别观测目标点C，如果，，那么A ，C两点间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．()千米 【答案】C 【分析】利用正弦定理列方程，解方程求得的长度． 【详解】在中，，， 所以， 由正弦定理得，即千米． 故选：C． 9. _______. 【答案】 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】. 10. 已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式等知识求得正确答案. 【详解】， 所以， 由于， 所以，所以. 故答案为： 11. 已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求的最大值. 【答案】(1)2 (2) (3)12 【分析】(1)利用两角和与差的余弦公式展开，合并，再利用辅助角公式化简即可 (2)化简后，利用,即可求出周期. (3)利用正弦定理由边化角，化简整理得到形式，利用三角函数求最值. 【详解】（1）， 则; （2）； （3）由得，因为则，. 记外接圆半径为，所以 ， 整理可得： ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$