精品解析：辽宁省点石联考2025届高三上学期11月期中数学试题

高三期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 命题和命题都是真命题 B. 命题的否定和命题都是真命题 C. 命题的否定和命题都是真命题 D. 命题的否定和命题的否定都是真命题 3. 函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（ ） A. 2024 B. 2 C. 1 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 的图像关于轴对称 B. 不是的一个周期 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的值域为 11. 已知函数，则（） A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列其前项和为，则______. 13. 如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_________. 14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 16. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. （1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 17. 已知向量，，函数. （1）若，求； （2）当时，求函数的值域. （3）若将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，可得到的图象，求的解集. 18. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三期中考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的概念求出答案. 【详解】，故. 故选：C 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 命题和命题都是真命题 B. 命题的否定和命题都是真命题 C. 命题的否定和命题都是真命题 D. 命题的否定和命题的否定都是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解. 【详解】对于命题，当或时，，故命题是假命题，命题的否定为真命题； 对于命题，因为，所以命题为假命题，命题的否定为真命题； 综上可得：命题的否定和命题的否定都是真命题， 故选：D 3. 函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性与有无零点，借助排除法即可得. 【详解】定义域为，， 故该函数为偶函数，故可排除B、D， 当时，有，故可排除A. 故选：C. 4. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】由，得或，则A错误． 由，得或相交，则B错误． 由，得或，则C错误． 由，得，则D正确． 故选：D 5. 已知向量，，且，则向量与的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可. 【详解】由，，得， 由，得，解得，则， 则，，， 因此，而， 所以. 故选：D 6. 中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】5斗＝50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50， 解得a1＝，所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝， 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题. 7. 已知正数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小. 【详解】由，得， 令函数，显然函数在上单调递增， 而，，则； 令函数，函数在上单调递增，， 而， ，则； 令，函数在上单调递增，而， ，，则， 所以的大小关系为. 故选：D 8. 已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（ ） A. 2024 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性及其对称性推导得到的周期为，进而利用函数的周期性求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以，即， 又因为函数的图象关于点对称， 所以，进而可得： 又，所以，即， 所以函数的周期为4， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件或，则可以是，或，分情况即可求得的值. 【详解】依题意是的真子集，则可以是，或. 当时，易得；当时，可得； 当时，可得. 故选：BCD. 10. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 的图像关于轴对称 B. 不是的一个周期 C. 在区间上单调递减 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶性判断A，利用周期性定义判断B，利用单调性定义判断C，分类讨论去绝对值符号后求得值域后判断D． 【详解】，定义域是全体实数关于原点对称，是偶函数，图象关于轴对称，A正确； ， ，所以不是的一个周期，B正确； ， ，，C错； 时， ， 又，则， 时， ， 又，所以， 综上，时，，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（） A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】先将用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可. 【详解】由题意得， 所以， 对于A，当时，， 所以在上单调递减，故A错误; 对于B，当时，，当时，，当时，, 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，故B正确; 对于C，当时，，当时，, 又, 的大致图象如图所示， 的值域为, 所以有最小值，无最大值，故C错误; 对于D，当时，在上单调递增, 因为, 所以, 所以在上有一个零点; 当时，在上单调递增，在上单调递减, 又，当时，. 结合的大致图象（如上图）， 在有一个零点，在上有一个零点， 综上，当时，有三个零点，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列其前项和为，则______. 【答案】5000 【解析】 【分析】按奇偶项分类求和． 【详解】由题意. 故答案为：5000. 13. 如图，正方体中，是的中点，是侧面上的动点，且//平面，则与平面所成角的正切值的最大值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设分别为边上的中点,根据面面平行的判定定理，可得平面平面，结合已知中面，可得落在线段上，即为与平面所成角,求出该角正切的最大值即可得到结论. 【详解】设分别为边上的中点, 则四点共面， 且平面平面， 又面， 落在线段上， 是与平面所成的角， ， 设的中点为, 则当与重合时最小， 此时与平面所成角的正切值有最大值为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查面面平行、线面平行的判断与性质以及线面角的求解方法，属于难题. 根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程. 14. 已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可. 【详解】设曲线与的切点分别为，， 因为，，则两切线斜率，， 所以，， 所以，所以， 即， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C的正切，进而可求角C； (2)由三角形面积公式及角C可得，进而由余弦定理整体得的值解决问题. 【小问1详解】 由正弦定理可得：, , , , , . 【小问2详解】 由三角形面积可知：, ， 由余弦定理可知： , 解得：， 所以三角形的周长为：. 16. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. （1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】（1）3年 （2）方案①较为合算 【解析】 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【小问1详解】 由题意可得，即， 解得，， 该车运输3年开始盈利.； 【小问2详解】 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 17. 已知向量，，函数. （1）若，求； （2）当时，求函数的值域. （3）若将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，可得到的图象，求的解集. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据两向量平行的坐标表示可求得，再根据诱导公式化简即可； （2）根据题意先求出的解析式，再根据定义域求出值域即可； （3）先进行图形变换，再根据不等式求解集. 【小问1详解】 因为，，，则， 显然，所以， 则； 【小问2详解】 ，， 当时，，， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 由（2）知， 结合题意，得， ，即， 即，所以，， 即的解集为，. 18. 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，． （1）证明：平面ABC； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取BC的中点M，连结MA、． 因为，，所以，， 由于AM，平面，且， 因此平面， 因为平面，所以， 又因为，所以， 因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC， 因为，所以平面ABC. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证. （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为，且，所以． 以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：将直三棱柱补成长方体． 连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ， 因为平面，且平面， 所以， 又因为，由于BD，平面，且， 所以平面，则为直角三角形， 由于平面，所以， 因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ， 因为平面CPQ，所以， 则∠CQP为平面与平面的夹角或补角， 在中，由等面积法可得, 因为，所以， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $