精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分． 2.数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 平均数，众数 D. 中位数，众数 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式化简后得 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 5. 分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 6. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ） A. 众数是6吨 B. 平均数是5吨 C. 中位数5.5吨 D. 方差是1.2 7. 对任意整数，都能（　　） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 8. 关于的代数式分解因式得，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A. 1 B. 3 C. D. 10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 12. “若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（ ） A. 尖尖对，丹丹错 B. 尖尖错，丹丹对 C. 两人的答案合起来也不完整 D. 两人的答案合起来才完整 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 已知一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5，则这组数据的众数是___________． 14. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 15. 将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解__________． 16. 某企业接到一批生产甲种板材、乙种板材的订单．已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材或乙种板材 ，则应安排__________人生产甲种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务． 17. 若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为______． 18. 若，则______． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 20. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 21. 解方程： （1）； （2） 22. 解答下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 23. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是______． （4）经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 24. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 25. 阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中质量检测 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分． 2.数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3.第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、是因式分解，符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 2. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，注意是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有，共个，，，，是整式， 故选A 3. 某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 6 7 9 A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 平均数，众数 D. 中位数，众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法．通过计算本数为2、3的人数和，判断不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时将这组数据按顺序排列，不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，但影响数据的平均数和方差，即可解题． 【详解】解：这组数据中本数为2、3的人数和为：， 则这组数据中出现次数最多的本数为8本，即众数为8，与遮盖的数据无关； 将这组数据按从小到大的顺序排列，第15、16个数据分别为7、7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关； 但影响数据的平均数和方差； 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式化简后得 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程，最简分式等知识．熟练掌握分式的化简，解分式方程，最简分式是解题的关键． 根据分式的化简，解分式方程，最简分式对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中分式中x，y都扩大3倍，为，故不符合要求； C中分式的值为0， ∴， 解得，（舍去），故不符合要求； D中分式是最简分式，故符合要求； 故选：D． 5. 分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：，， 故最简公分母为： 故选：C 【点睛】本题考查最简公分母．将各分式分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义即可求解． 6. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ） A. 众数是6吨 B. 平均数是5吨 C. 中位数5.5吨 D. 方差是1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，解题的关键是熟练掌握定义和计算公式． 根据众数、平均数、中位数和方差的定义进行计算，即可得出答案． 【详解】解：A、吨出现了3次，出现的次数最多， 众数是6吨，故选项正确，不符合题意； B、平均数是吨，选项正确，不符合题意； C、把这些数从小到大排列为3，4，5，6，6，6， 则中位数是吨，故选项正确，不符合题意； D、这组数据的方差为，选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 对任意整数，都能（　　） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 对任意整数，都能被4整除， 故选：B． 8. 关于的代数式分解因式得，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 关于x的方程的根为，则a应取值（　　） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于的分式方程，求解检验即可． 【详解】解：把代入方程得：， 在方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 故选：C． 10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】由题意得： 故选：C． 11. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，平方差公式 ，是解题的关键． 根据几何图形得到，，，利用完全平方公式变形求出，再求出，根据，求出，的值，根据即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． 故选：C． 12. “若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∵原方程无解， ∴， ∴． 丹丹： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 解得, ∵原方程无解， ∴x为增根， ∴，解得， ∴，解得． 下列说法正确的是（ ） A. 尖尖对，丹丹错 B. 尖尖错，丹丹对 C. 两人的答案合起来也不完整 D. 两人的答案合起来才完整 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 关于x的方程无解， ∴为增根或， 当，解得， 此时，解得； 当，解得； 综上所述：的值为3或4， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 已知一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5，则这组数据的众数是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数．先根据平方数的计算方法列出方程，求出数据x，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5， ∴， ∴， ∴这组数据为：3，4，4，5，5，5，9，其中数据5出现的次数最多， ∴众数为5． 故答案为：5 14. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是_________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案． 【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光合作用速率， 而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用速率的稳定性强， ∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁． 故答案为：丁． 15. 将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可． 【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积， 即：， ∴根据图形写出一个多项式的因式分解为 故答案为：． 16. 某企业接到一批生产甲种板材、乙种板材的订单．已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材或乙种板材 ，则应安排__________人生产甲种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设安排x人生产甲种板材，则安排人生产乙种板材，根据“他们用相同的时间完成各自的生产任务”列方程求解即可． 【详解】解：设安排x人生产甲种板材，则安排人生产乙种板材， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴安排80人生产甲种板材， 故答案为：80． 17. 若关于x的方程的解为非负整数，则所有符合条件的正整数m的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据分式方程的解为非负整数以及分母不为0得到且，据此求出符合题意的m的值，再求和即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， ∵该方程的解为非负整数，且， ∴且， 解得：且， ∴符合条件的正整数有2、3、4， ∵， ∴所有符合条件的正整数m的和为， 故答案为：． 18. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 【答案】（1）甲 （2）乙 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可； （2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可． 【小问1详解】 解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． 【小问2详解】 “能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键． 21. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉解分式方程的基本步骤． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 22. 解答下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当时，原式． 23. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是______． （4）经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】（1） （2）分 （3）8分 （4）乙组的方差为，乙组的成绩比较整齐 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键． （1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲、乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数； （4）先计算出乙的方差，根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【小问1详解】 解：根据统计图和统计表数据可知，甲组成绩中得分为8分的人数最多，乙成绩中得分为8分的人数最多， 甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分， ∴甲组成绩的众数乙组成绩的众数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙组的平均成绩为（分）； 【小问3详解】 解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人， ∴第20个和21个数据都是8分， ∴这40个学生成绩的中位数是（分）； 【小问4详解】 解：乙组的方程为 ∵甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，， ∴乙组的成绩比较整齐． 24. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 【答案】（1）B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元 （2），最少值为元，购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，最少，最少值为元，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足要求； ∴B种书架的单价为元，A种书架的单价为元； 【小问2详解】 解：购买a个A种书架，则购买个B种书架， 由题意知，， 解得，； ，即， ∵， ∴当时，最少，最少值为元， ∴费用最少时的购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个． 25. 阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键． （1）先求，再求，即可求解． （2）先求，再求，即可求解． （3）由（1）、（2）的方法可得，将所求式子化简，代入求值即可． 【小问1详解】 解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． 【小问2详解】 由，得到， 即， ∴， 则； 【小问3详解】 根据题意得：，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $