专题 线段上动点的四种常见题型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题09线段上动点的四种常见题型 题型01线段上动点与中点问题的综合 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段的中点M、N，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差．熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵点M、N是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：7． 【例1-2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则________； (2)小张同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小张同学说的对吗？请说明理由． 【答案】(1)7 (2)小张同学说的正确，理由见解析 【分析】本题考查了两点间距离，线段中点相关的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解： ∵，，， ， 、N分别是、的中点， ，， ； 故答案为：7； （2）解：小张同学说的正确，的长度始终不变， 理由：∵，， ， 、N分别是、的中点， ，， ， ． 即小张同学说的正确，的长度为，始终不变． 【例1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 【变式演练】 【变式1-1】（20-21七年级上·山西·期末）如图，已知A，O，B为数轴上三个点，A为原点右侧一定点，O为原点，B为数轴上一动点，B从数轴原点O出发，沿数轴运动．当时，和两条线段的中点相距 个单位长度． 【答案】1或3 【分析】分点B向左运动和点B向右运动两种情况求解即可． 【详解】解：当点B向左运动时，设OA、OB的中点分别是M、N，如图， ∵，OA=4， ∴OB=2， ∵OA、OB的中点分别是M、N， ∴OM=OA=2，ON=OB=1， ∴MN=1+2=3； 当点B向右运动时，设OA、OB的中点分别是M、N，如图， ∵，OA=4， ∴OB=2， ∵OA、OB的中点分别是M、N， ∴OM=OA=2，ON=OB=1， ∴MN=2-1=1； 综上可知，和两条线段的中点相距1或3个单位长度． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段的中点，以及两点间的距离，分类讨论是解答本题的关键． 【变式1-2】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【答案】(1)2． (2)． 【分析】本题考查的是负整数的定义，线段中点的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意是关键． （1）先求解，，由中点的定义可得，再建立方程求解即可； （2）当点，相遇时，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，且为最大的负整数， ，，． 由题意，得，． 为的中点， ， 即， 解得． 的值为2． （2）解：根据题意，得，，． 当点，相遇时，由， ，解得． 当，相遇时，． 【变式1-3】（23-24七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②； (2)8或4 【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况； （2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况． 【详解】（1）解：， ， ， ①当D点与B点重合时， ； ②如下图1， 分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得： ， ； 如下图， ， ． 题型02线段上动点问题中的存在性问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 【例2-2】（22-23七年级上·福建三明·期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点． (1)若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为___________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为18？若存在，请求出点P所表示的数；若不存在，说明理由； (3)现在点A以3个单位长度/秒的速度向右运动，点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P以2个单位长度/秒的速度从O点向右运动．点A、B、P三点同时运动，当点A与点B之间的距离为4个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1) (2)存在，P为或8 (3)3或7 【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、4，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别求出x的值即可． （3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距4个单位时，②当点A在点B右边时，两点相距4个单位时，分别求出时间，然后求出点P对应的数即可． 【详解】（1）∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、4， ∴点P对应的数是； （2）设点P所表示的数为x． 由于，如果存在点P到点A、点B的距离之和为18， 那么点P的位置有2种情况：在A点左边或在B点右边． ①当点P在A左边时，，解得：； ②点P在B点右边时，，解得：， 即当P为或8时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）设点A、B、P三点的运动时间为t，则 ①当点A在点B左边两点相距4个单位时， 则，解得：， 则点P对应的数为； ②当点A在点B右边两点相距4个单位时， 则，解得：， 则点P对应的数为； 综上所述：点P所对应的数是3或7． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【例2-3】（20-21七年级上·湖北十堰·期末）如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点． (1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？ (2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点． ①当N为的中点时，求线段的长度； ②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)8； (2)①12．②当时，P是的中点；当时，N是的中点． 【分析】（1）根据M是线段的中点，可得，从而得到，再由，即可求解； （2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意得：， ∵M是线段的中点， ∴， ． ∵， ∴， 解得． ∴当时，； （2）①当点P在B点左侧时． ∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴． ∴． 当点P在B点或B点右侧时． ∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长度为12； ②当时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得， ． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得， ． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得，（舍去）． 综上，当时，P是的中点；当时，N是的中点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22七年级上·四川眉山·期末）如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其它条件不变，直接写出MN的长度； (3)动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10cm (2) (3)存在，当为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】（1）根据线段中点的定义分别求出MC，CN，即可得到答案； （2）同（1）求解即可； （3）分三种情况：当C为PQ的中点时，当P为CQ的中点时，当Q为PC的中点时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵M是AC的中点， ∴， 又∵N是BC的中点， ∴， ∴（厘米） （2）解：∵M是AC的中点， ∴， 又∵N是BC的中点， ∴， ； （3）解：如图所示：①当C为PQ的中点时，      解得：； ②当P为CQ的中点时，如图所示： 解得：； ③当Q为PC的中点时，如图所示：      解得： 综上所述，当为4或6.4或7时，C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，一元一次方程的应用，正确理解线段中点的定义是解题的关键． 【变式2-2】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M为线段的中点．设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上，则___________秒时，． (2)若点P在的延长线上（如图），设线段的中点为N． ①线段的长度是否保持不变？请说明理由； ②是否存在t的值，使M、P、B三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①线段的长度保持不变，为4，理由见解析；②或12 【分析】（1）分别用含t的式子表示出，再由已知条件建立方程求解即可； （2）①根据可表示出的长，根据中点的定义可表示出的长，根据线段的和差关系可得出的长，即可得答案；②当P在延长线上时，先判断点N不可能为的中点．再分两种情况讨论，如图2-1，当B为的中点时，，如图2-2，当M为的中点时，，从而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵，点P在线段上， ∴， ∵M为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2； （2）解：①线段的长度保持不变，为4，理由如下： ∵，，点P在的延长线上， ∴． ∵M、N分别是的中点， ∴，． ∴． ∴线段MN的长度保持不变． ②当P在延长线上时， ∵N在点B、M的右侧， ∴点N不可能为的中点． 如图2-1，当B为的中点时，， ∵，， ∴， ， ∴， 解得：． 如图2-2，当M为的中点时，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：或12． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，线段的和差计算，根据题中线段的长度关系列出方程是解题关键． 【变式2-3】（20-21七年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)EF的长为10 (2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的 (3)存在，线段EF＝ 【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝AM，FN＝BN，可证明当点M与点N相遇时，则EF＝AB，因为AB＝20，所以EF＝10； （2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是0≤t≤，再根据EF＝AB＝×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答案； （3）由EF＝20−（t＋t）＝20−t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得最大值时，则EF取得最小值，将t＝代入EF＝20−t求出EF的值即可． 【详解】（1）解：∵E，F分别为AM和BN的中点， ∴EM＝AM，FN＝BN， 当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN， ∴EF＝EM＋FN＝（AM＋BN）＝×20＝10， ∴EF的长为10． （2）当点N到达点A时，则3t＝20， 解得t＝， ∴t的取值范围是0≤t≤， ∵AB＝20， ∴AB＝×20＝5， ∵AM＝2t，BN＝3t， ∴AE＝AM＝t，BF＝BN＝t， ∴EF＝20−（t＋t）或EF＝t＋t−20， 当EF的长为线段AB的，即EF＝5时，则20−（t＋t）＝5或t＋t−20＝5， 解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去）， ∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的． （3）存在，EF＝． 由（2）得， ∴EF随t的增大而减小， ∴当t＝时，EF的值最小，此时，， ∴当线段EF最短时，则线段EF＝． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键． 题型03线段和差倍分关系中的动点问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，点是线段上一点，，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． (1)当时，若，请求出的长； (2)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长 (3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，且，请求出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，数形结合，理解图形中的等量关系式解题的关键． （1）由题意，当时，，则，可得，由即可求解； （2）由，可知，即，即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）根据点，的运动速度可知，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． （2）根据点，的运动速度可知，， ∵， ∴，即， ∴． （3）如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵为， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， . 综上所述，或. 【例3-2】（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，求的值； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了线段的和差问题和两点间的距离的计算， （1）计算出和的长，进而可得出答案； （2）由结合（1）问便可解答； （3）由，分两种情况讨论：①点N在线段上时，②点N在的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，， ∵， ． （2）解：设运动时间为t，则， ∵， 又， ， 即， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∵， ， ， 点N在线段上时，如图， ∵， ∴， ， 即． 当点N在线段AB的延长线上时，如图， ∵， ， ∴， 即． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 【例3-3】（22-23七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______； (2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3 (2)当时，点的运动时间的值为或20 (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键． （1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案； （2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可； （3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴， ∴， ∵线段， ∴， ∴． 故答案为：3． （2）当点在线段上，，如图， 为的中点， ∴， 解得， 当点在线段的延长线上，，如图， 同理： 解得， 综上所述，当时，点的运动时间的值为或20； （3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下： 如图， 为的中点，为的中点， 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 【变式3-2】（2024七年级·全国·竞赛）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度； (2)求证：； (3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或15 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，，则由线段中点的定义可得； （2）先求出，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别表示出，即可得到结论； （3）分当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，当点重合时，点在线段的延长线上，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，后，， 点恰好分别为的中点， ． （2）证明：∵ ∴， ∴， 当点在线段上时，， ； 当点在线段的延长线上时， ， ． 综上，． （3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等， ∴， 解得； 当点重合时，点在线段的延长线上， ， 解得． 综上，或15． 【变式3-3】（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差： （1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7； （2）由题意，得：， ∵D点在线段上运动， ∴，， ∴； （3）当时，，， ∵， ∴点在点的左侧， 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 综上：或11． 题型04线段上动点的方案问题 【典例分析】 【例4-1】（20-21七年级上·吉林长春·阶段练习）用所学知识解释生活中的现象，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题： ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短，可以说明少数同学的做法不对． 【详解】解：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，用所学数学知识来说明这个问题原因是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了线段的性质，解题的关键是掌握线段的性质 【例4-2】应用我们学过的数学知识，解决下列问题： (1)如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？ (2)在一张城市地图上，有学校、医院、图书馆三地，由于墨迹污染，图书馆的具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东30°方向，在医院的西北方向，你能确定图书馆的位置吗？请画出来． 【答案】(1)(2)见解析. 【详解】分析：（1）因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短； （2）根据方向角的表示方法，可得两条射线，根据射线的交点，可得答案． 详解：（1）因为两点之间，线段最短； （2）如图所示： 点睛：本题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短和方向角，利用了方向角的定义，确定两条射线的交点是解题的关键． 【例4-3】用所学知识解释生活中的现象 情景一：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题少数同学的做法对不对？ ． 情景二：A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．理由： ． 【答案】情景一：原因是两点之间线段最短，不对；情景二：图见解析，理由是两点之间线段最短 【分析】本题两个情景均可用“两点之间线段最短”这一定理解答． 【详解】情景一：原因是因为两点之间线段最短；少数同学的做法不对，因为数学知识的应用应该建立在不破坏生态环境的基础之上． 情景二：连接线段AB与的交点为P，如下图所示，理由是两点之间线段最短． 【点睛】本题考查数学定理的实际应用，难度较低，解题关键在于从题目背景中抽象出数学定理即可． 【变式演练】 【变式4-1】科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面.下面的这两个情景，请你做出判断. 情景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所.学数学知识来说明这个问题：_______________________________________________. 情景二：农民兴修水利，开挖水渠，先在两端立桩拉线，然后沿线开挖，请你说出其中的道理：________________________________________________________________________________. 你赞同以上哪种做法，你认为应用科学知识为人类服务时应注意什么？ 【答案】情景一：两点之间，线段最短;情景二：两点确定一条直线;赞同第二种，应用科学知识为人类服务时，应注意保护周边的环境等.（合理即可） 【分析】学校和图书馆、两根立桩之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】第一个情景是根据两点之间线段最短的原理来做的，第二个是两点确定一条直线; 我赞同第二种做法．我们利用科学的同时，必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境． 故答案为两点之间线段最短；两点确定一条直线;我赞同第二种做法．我们利用科学的同时，必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境． 【点睛】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键. 【变式4-2】如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道，而横穿草坪. （1）试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由； （2）请问学生这样走行吗？如不行请你在草坪上竖起一个牌子，写上一句话来警示学生应该怎样做. 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）不行，爱护花草，人人有责 (答案不唯一) ． 【分析】（1）根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答； （2）为制止这种现象要在草坪旁立一块警示牌，如“爱护花草，人人有责”． 【详解】（1）从教室到图书馆总有少数同学不走人行道而横穿草坪，虽然明知不对，可他们还是要这样做，用我们所学的数学知识可以解释他们的理由：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短； （2）不行，为制止这种现象要在草坪旁立一块警示牌，“爱护花草，人人有责”． 故答案为：不行，爱护花草，人人有责． 【点睛】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短．通过这个现象教育学生文明做人爱护花草树木． 【变式4-3】（23-24七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09线段上动点的四种常见题型 题型01线段上动点与中点问题的综合 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·江苏泰州·期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段的中点M、N，则 ． 【例1-2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则________； (2)小张同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小张同学说的对吗？请说明理由． 【例1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【变式演练】 【变式1-1】（20-21七年级上·山西·期末）如图，已知A，O，B为数轴上三个点，A为原点右侧一定点，O为原点，B为数轴上一动点，B从数轴原点O出发，沿数轴运动．当时，和两条线段的中点相距 个单位长度． 【变式1-2】（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【变式1-3】（23-24七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）． (1)若 满足 ①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 题型02线段上动点问题中的存在性问题 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【例2-2】（22-23七年级上·福建三明·期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点． (1)若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为___________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为18？若存在，请求出点P所表示的数；若不存在，说明理由； (3)现在点A以3个单位长度/秒的速度向右运动，点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P以2个单位长度/秒的速度从O点向右运动．点A、B、P三点同时运动，当点A与点B之间的距离为4个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【例2-3】（20-21七年级上·湖北十堰·期末）如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点． (1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？ (2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点． ①当N为的中点时，求线段的长度； ②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22七年级上·四川眉山·期末）如图，已知点C在线段AB上，线段AC=12厘米，BC=8厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． (1)求线段MN的长； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其它条件不变，直接写出MN的长度； (3)动点P、Q分别从A，B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M为线段的中点．设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上，则___________秒时，． (2)若点P在的延长线上（如图），设线段的中点为N． ①线段的长度是否保持不变？请说明理由； ②是否存在t的值，使M、P、B三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（20-21七年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 题型03线段和差倍分关系中的动点问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·甘肃定西·期末）如图，点是线段上一点，，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． (1)当时，若，请求出的长； (2)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长 (3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，且，请求出的长． 【例3-2】（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，求的值； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 【例3-3】（22-23七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______； (2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【变式3-2】（2024七年级·全国·竞赛）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度； (2)求证：； (3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 【变式3-3】（22-23六年级下·山东烟台·期中）如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 题型04线段上动点的方案问题 【典例分析】 【例4-1】（20-21七年级上·吉林长春·阶段练习）用所学知识解释生活中的现象，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题： ． 【例4-2】应用我们学过的数学知识，解决下列问题： (1)如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？ (2)在一张城市地图上，有学校、医院、图书馆三地，由于墨迹污染，图书馆的具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东30°方向，在医院的西北方向，你能确定图书馆的位置吗？请画出来． 【例4-3】用所学知识解释生活中的现象 情景一：从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题少数同学的做法对不对？ ． 情景二：A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．理由： ． 【变式演练】 【变式4-1】科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面.下面的这两个情景，请你做出判断. 情景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所.学数学知识来说明这个问题：_______________________________________________. 情景二：农民兴修水利，开挖水渠，先在两端立桩拉线，然后沿线开挖，请你说出其中的道理：________________________________________________________________________________. 你赞同以上哪种做法，你认为应用科学知识为人类服务时应注意什么？ 【变式4-2】如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道，而横穿草坪. （1）试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由； （2）请问学生这样走行吗？如不行请你在草坪上竖起一个牌子，写上一句话来警示学生应该怎样做. 【变式4-3】（23-24七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$