专题01 数轴上的10种动点问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题01 数轴上的10种动点问题 目录 2 类型一、绝对值最值问题 2 类型二、相遇问题 8 类型三、中点问题 15 类型四、翻折问题 19 类型五、相距问题 23 类型六、和差倍分问题 28 类型七、定值问题 33 类型八、折返问题 39 类型九、规律问题 43 类型十、新定义问题 47 53 【总结】解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 类型一、绝对值最值问题 解题方法：可利用奇点偶段解决几个绝对值式子相加求最小值问题. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 2．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 【答案】(1) (2)，0，1 (3)，7 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，而当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴x可以取整数，0，1． 故答案为：，0，1； （3）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，7． 3．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 4．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 类型二、相遇问题 等量关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离（相向而行，注意出发时间和地点） 1．如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． (1)点在数轴上表示的数为 　　，点在数轴上表示的数为 　　， (2)当点与点相遇时，求点，在数轴上表示的数； (3)当运动到（单位长度）时，求出此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)，22 (2)当点与点相遇时，点表示的数为3，点表示的数为12 (3)当运动到（单位长度）时，点在数轴上表示的数为或 【分析】（1）根据点A，点C表示的数以及，计算即可； （2）根据速度时间距离列方程求解即可； （3）分情况讨论：根据绝对值的意义，列方程求出t的值，然后再分别计算点B在数轴上表示的数即可． 本题考查了数轴，一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点在数轴上表示的数为； 点在数轴上表示的数为． 故答案为：，22； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ，． 答：当点与点相遇时，点表示的数为3，点表示的数为12； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，． 答：当运动到（单位长度）时，点在数轴上表示的数为或． 2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)个单位/秒 (3)存在，6秒或12秒 【分析】（1）根据非负数的性质，可得，，求解即可获得答案； （2）设点的运动速度为个单位长度/秒，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，可得点对应的数为，结合点，对应的数，求得，的值，然后根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 所以A，B两点之间距离为：． 故答案为：16． （2）解：设点Q的运动速度为x个单位/秒， 根据题意，得， 解得， 所以点Q的运动速度为1.2个单位/秒． （3）解：存在，理由如下： 因为点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒， 则点P对应的数为， 所以，． 因为，所以， 当时， 解得秒， 当时， 解得秒， 所以当t的值为6秒或12秒时，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、一元一次方程的应用以及绝对值方程等知识，理解题意，根据题目中的描述找到等量关系式是解题的关键． 3．【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 【答案】（1）32；（2）；8；（3）①s；②s或s 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）根据两点之间的距离公式计算即可； （2）根据甲运动的路程加上乙运动的路程等于列出方程，再求出解即可； （3）①根据甲运动的路程加上等于乙运动的路程列出方程，再求出解即可； ②，分两种情况相遇前，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解；相遇后，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解即可． 【详解】解：（1）. 故答案为：32； （2）根据题意，得， 解得，则， 所以点A表示的数是. 故答案为：； （3）①根据题意，得：． 解得． ∴当s时，乙恰好追上甲． ②分两种情况： 情况一：乙追上甲之前相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 情况二：乙追上甲之后相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 综上，当s或s时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度． 4．如图，数轴上A点和B点表示的数分别为和，如果两个点同时开始在数轴上运动，且A点的运动速度为3个单位/秒，B点运动速度为1个单位/秒， (1)如果A点向数轴的正方向运动，B点向数轴的负方向运动时，请问几秒钟后两点相遇？ (2)如果A、B两点同时向正方向运动，请问几秒钟后A点与B点相遇？ (3)如果A、B两点同时向正方向运动，请问当t为何值时，之间的距离等于8？ 【答案】(1)秒后两点相遇 (2)秒后两点相遇 (3)或者时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点之间的距离，数轴上动点问题，解题的关键是设未知数，找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设秒后两点相遇，根据题意列出方程求解即可； （2）设秒后两点相遇，根据题意列出方程求解即可； （3）根据题意考虑两种情况，①点在点左侧，②点在点右侧，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后两点相遇， 则有， 解得：， 秒后两点相遇； （2）解：设秒后两点相遇， 则有， 解得：， 秒后两点相遇； （3）解：本题考虑两种情况： ①点在点左侧， 则有， 解得：； ②点在点右侧， 则有， 解得：； 或者时，之间的距离等于8． 5．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A与点B 在数轴上对应的数a和b； (2)现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P和点Q相遇于点C，求点C 在数轴上表示的数； ②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值． 【答案】(1)a为，b为40； (2)①20；②t的值为秒或秒． 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性等知识点， （1）利用绝对值的非负性，即可求出的值； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为，①由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，再将其代入中即可得出点C在数轴上表示的数；②由，即可得出关于t的一元一次方程，解之可得结论； 熟练掌握相关知识点是解决此题的关键．正确记忆是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴点A与点B在数轴上对应的数a为，b为40； （2）当运动时间为t秒时，点P在数轴上对应的数为，点Q在数轴上对应的数为， ①， ∴， ∴， ∴点C在数轴上表示的数为20； ②∵， ∴或， ∴或， ∴当为15个单位长度时，t的值为秒或秒． 类型三、中点问题 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为a，b，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：. 1．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】【简单应用】（1）；（2）或；【拓展运用】第秒、第秒时、两点相距个单位长度 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， 简单应用： （1）根据题目给定的距离及中点公式即可求得； （2）利用点与点的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； 拓展运用:结合运动方式写出点和点在秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：简单应用：（1）∵点在数轴上所对应的数为，点表示的数为， ∴， 、两点的中点表示的数为． 故答案为：， （2）∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的为：， 当点在点右边时，则点的为：， 故答案为：， 拓展运用: 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距个单位长度， 当点在点左侧时： 解得； 当点在点右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距个单位长度． 2．[背景知识]： 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． [问题情境]： 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．    [综合运用]： (1)线段的中点表示的数为________． (2)求：当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)1 (2)或 (3)不变，5 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）利用已知线段中点公式求解即可； （2）根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是，再利用数轴上两点的距离公式列绝对值方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上；②当点在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为6， 线段的中点表示的数为， 故答案为：1； （2）解：根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 解得：或， 答：当或时，； （3）解： 线段的长度不变，理由如下： ①当点在线段上时，   点为的中点，点为的中点， ； ②当点在线段的延长线上时，   点为的中点，点为的中点， ； 所以线段的长度不变，是5． 3．已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数______的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当时，直接写出x的值． 【答案】(1)； (2)①；②A点表示的数是，B点表示的数是7；③或8． 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2； ①设9表示的点所对应点表示的数为y，根据中点坐标公式列方程可得y的值，可得结论； ②根据折叠的性质可得结论； ③根据列出方程，求解方程可得出x的值． 本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值的意义，有理数的混合运算，知道数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键． 【详解】（1）解：折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为， 则表示4的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，折叠点对应的数为， ①设表示9的点与表示y的点重合，于是有，解得， 即表示9的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点A表示的数为， 点B表示的数为， 答：A点表示的数是，B点表示的数是7； ③∵， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，x的值为或8． 类型四、翻折问题 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为a，b，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：. 翻折后，任意一点到中点的距离等于其对称点到中点的距离. 1．如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当在的右侧及当在的左侧，利用及，列出方程解答即可． 【详解】解：设对折后，使点落在处， 当在的右侧且距离是2时， 点表示的数为5， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是0． ②当在的左侧且距离是2时， 点表示的数为1， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：0或． 2．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)3， (2)或 (3)和 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）找出表示的点与9表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）分点在小之间和点右侧两种情况解答； （3）先求出A，两点之间距离和连续对折5次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． 【详解】（1）解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； （2）解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ①点在线段上时，， 解得：； ②当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； （3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 3．操作与探究 请借助数轴，解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点开始，第次向左移动个单位，紧接着第次向右移动个单位，第次向左移动个单位，第次向右移动个单位，…，依此规律移动，当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______；当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______； (2)翻折变换 操作一  若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示的点重合，此时折痕点表示的数是______，表示的点与表示______的点重合； 操作二  若数轴上，两点经折叠后重合，两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），则点表示______，点表示______； 操作三  如图，一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点与点的距离为个单位长度，则点表示的数为______． 【答案】(1)， (2)操作一：，；操作二：；；操作三： 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，两点之间距离的计算，中点的计算方法， （1）根据题意，分别表示出第次的数，找出规律即可求解； （2）操作一：根据中点的计算方法即可求解；操作二：；操作三：根据点与点的位置与距离可得点表示的数为，根据折叠后，中点的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：从原点开始，第次向左移动个单位，表示的数为， 第次向右移动个单位，表示的数为， 第次向左移动 个单位，， 第次向右移动个单位， ∴第次时，落在数轴上的点表示的数是， ∴奇数次向左，偶数次向右， ∴它跳完第次时，表示的数为，它跳完次时，表示的数为， ∴第次时，是向右跳了次，即， ∴， 故答案为：； （2）解：操作一：表示的点与表示的点重合，此时折痕点表示的数是， ∴， 故答案为：； 操作二：由上述折叠可得，折点表示的数为，且，两点之间的距离为， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：； 操作三：点表示的数为，点表示的数为， ∵向右对折，若点对应的点落在点 的右边，并且点与点的距离为个单位长度， ∴点表示的数是， ∴折点为， ∴点表示的数为， 故答案为：． 类型五、相距问题 1．数轴上有A，B，C三点．已知点A，B表示的数互为相反数，点A在点B的左边，且点A，B相距6个单位长度，点A，C相距2个单位长度．问：点A，B，C表示的数各是多少？ 【答案】点，，表示的数为，3，或，3，． 【分析】本题考查了数轴，关键是掌握相反数的定义．因为点，表示的数互为相反数，点在点的左边，且点，相距6个单位长度，可得点、点表示的数，因为点，相距2个单位长度，可得点表示的数． 【详解】解：设点表示的数分别为， 点，表示的数互为相反数，点在点的左边， ，且， 点，相距6个单位长度， ，， 点表示的数是，点表示的数是3， 点，相距2个单位长度， ， 解得：或， 点表示的数是或， 答：点，，表示的数为，3，或，3，． 2．已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，点对应的数为 ，点对应的数为 ． （1）的中点 对应的数为 （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 秒． 【答案】 40 13秒或27秒 【分析】本题主要考查题考查数轴上两点之间的距离． （1）先求出4、B两点之间的距离，再求出M点到A、B两点的距离，然后再用B点对应的数减去M点到A、B两点的距离即可求得答案． （2）此问分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，根据距离除以速度等于时间即可求得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∵点对应的数为 ， ∴对应的数为， 则与A，B两点距离相等的M点对应的数为40， 故答案为：40； （2）相遇前∶ (秒)， 相遇后∶(秒)， 则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度， 故答案为：13秒或27秒． 3．数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离表示为：．若数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且满是． （1）求得A、B两点之间的距离是 ； （2）若P、Q两点在数轴上运动，点P从A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．经过 秒，P、Q两点相距5个单位长度． 【答案】 15 2或4 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）分当PQ相遇前和当PQ相遇后，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：15； （2）设两人运动的时间为t秒 如图1所示，当PQ相遇前， 由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，即， 解得， 如图2所示，当PQ相遇后， 由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，即， 解得， 故答案为：2或4． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点的距离，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解． 4．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足，动点M从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点N从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1） ； （2）当M，N两点相距9个单位长度时，t的值为 ． 【答案】 6或12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性，解题的关键是用t表示出M，N表示的数； （1）根据偶次方和绝对值的非负性求解即可； （2）用t表示出M，N表示的数，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）， ，， ，， ， 故答案为：； （2）当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值为6或． 故答案为：6或． 5．已知：线段． (1)如图1，点沿线段自点向点以运动，同时点沿线段自点向点以运动，求几秒钟后，、两点第一次相距？ (2)如图2，，，点绕点以10度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点运动，假如、两点能相遇，求点运动的速度． 【答案】(1)经过9秒钟后，、两点第一次相距相距 (2)点运动的速度为或 【分析】本题借助数轴考查数轴上动点问题及一元一次方程的应用．确定数量关系是解答此类题目的关键． （1）设经过 ，、两点相距，分点在点左右两边两种情况分别列方程来解答； （2）设点的速度为，分、在点左右两边相遇来解答． 【详解】（1）设经过 ，、两点第一次相距， 即遇前相距，有，解得：， 答：经过9秒钟或15秒钟后，、相距； （2）点，只能在直线上相遇，则点旋转到直线上的时间为： 或. 设点的速度为，则有：或. 解得或. 答：点运动的速度为或. 类型六、和差倍分问题 1．在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： (1)如图，，分别表示数，7，求线段的长； (2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值． (3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间． 【答案】(1)8 (2)5或9 (3)运动时间为8秒时，，重合 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题． （1）用“用较大的数去减较小的数”即可求解； （2）分点在点左侧和点在点右侧时，两种情况讨论，，列式计算即可求解； （3）根据题意得到点对应数值表示为，点对应数值表示为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，线段的长为：； （2）解：设点对应的数值为， （ⅰ）当点在点左侧时，， 因为， ， 则， （ⅱ）当点在点右侧时， 因为， 所以，解得， 答：时，点对应的数值为5或9； （3）解：设运动时间为秒时，，重合， 点对应数值表示为，点对应数值表示为， 由题意得， 解得， 答：运动时间为8秒时，，重合． 2．已知是关于的一元一次方程，且方程的解是，若数轴上、两点所对应的数分别是和．    (1)则______，______、、两点之间的距离______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使它到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，请你直接写出点的位置． 【答案】(1)，6，8 (2) (3)存在，点位置对应的有理数为或0 【分析】本题考查了有理数加减运算，一元一次方程和数轴，数轴上两点之间的距离． （1）根据一元一次方程的定义，方程的解，直接可求解； （2）根据点的运动特点，可得：； （3）①当P点在A点的左侧时，得到，P点对应的数是；②当P点在之间时，得到，P点对应的数是． 用数轴上点表示有理数；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵方程的解是， ∴，解得， ∴， 故答案为：，6，8； （2）解：由题意可得： ； （3）解：①当P点在A点的左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是； ②当P点在之间时， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的数是， ∴P点对应的数为或0． 3．若点在数轴上对应的数分别为满足． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出的值； （2）分点在点之间，点在点的左边，点在点之间，点在点的右边四种情况，进行分类讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）存在，设点对应的数为x， 当点在点之间时，由得：， 解得：， 当点在点的左边时，由得：， 解得：， 当点在点之间时，由得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当点在点的右边时，由得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离及非负性等知识，列出正确的方程是本题的关键． 4．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． (1)______，_______； (2)若数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上对应的数n的值； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为秒．点D到点G的距离与点D到点B的距离相等，点F到点D的距离与点F到点H的距离相等（D为线段的中点，F为线段的中点），请直接写出点F在数轴上对应的数．（用含t的式子表示） 【答案】(1)；20； (2)10或50； (3)． 【分析】本题考查多项式和数轴，多项式的概念，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． （1）由题意直接求解即可； （2）注意分情况讨论，①当点C在之间时，②当点C在B右侧时，分别计算的长，可得结论； （3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示得数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和点F表示的数． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式， ， ∴， ∵二次项系数为b， ∴； 故答案为：，20； （2）解：分两种情况： ①当点C在之间时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当点C在B右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上可知，点C在数轴上对应的数n的值为10或50； （3）由题意得，点G表示的数为，点H表示的数为， ∵， ∴点G在线段之间， ∵D为中点， ∴点D表示的数为：， ∵F是中点， ∴点F表示的数为：． 类型七、定值问题 考虑动点在数轴上的运动方向和速度，分析其在运动过程中满足定值条件的时刻 1．如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 【答案】(1)3 (2)①；②的值为 【分析】（1）先求出，再根折叠后点与点重合求出折叠点为2，再根据与点重合的点到折叠点的距离等于点到折叠点的距离进行求解即可； （2）①分别表示出运动秒后点，点，点表示的数，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据数轴上两点距离计算公式和整式的加减计算法则求出或，由的值是一个定值，得到的结果与无关，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，， ∴， 则， ， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折叠点为， ∴与点重合的点表示的数为； （2）解：①由题意得，运动秒后点，点，点分别表示的数为， ∵点在点右侧， ， 故答案为：； ②∵， 当时， ， 的值是个定值， 的结果与t无关， ， ． 当时， ∵的值是一个定值， ∴的结果与无关， ， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，数轴上两点的距离计算，最小的正整数，数轴上的动点问题等知识点，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 2．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)3 (3)存在，，此时值为 【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据得，计算即可． （2）设表示的数为表示的数为，小火车的长度为，根据题意，建立方程计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点P表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：设A表示的数为，B表示的数为，小火车的长度为l， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． （3）解：存在，，此时值为， 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒， ∴， 根据题意，得到点Q表示的数是，点P示的数是， ∴， ∴ ， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 3．已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5或15 (3)存在，，定值为 【分析】对于（1），设点B表示的数为x，则点A表示的数为，再两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； 对于（2），分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，分别表示，再根据P、B两点之间相距10个单位长度，列出方程，求出解即可； 对于（3），分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得， ∴点A表示的有理数是；点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是． 故答案为：； （2）当点P在点B左边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得； 当点P在点B右边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得， ∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度. 故答案为：5或15； （3）存在常数m，使得为一个定值． 理由如下： 由题意可知，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，弄清并表示线段的长是解题的关键． 类型八、折返问题 1．数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 【答案】(1)点P与点Q第一次相遇时t的值为3 (2)9 (3)或或13或17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离． （1）利用路程速度时间，结合点P和点Q第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出点Q到达点A所需时间，找出当时点P，Q表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P到点Q的距离； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴当点P和点Q第一次相遇时，t的值为3； （2）解：（秒）， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∴当时，点P到点Q的距离为9； （3）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得或． 综上所述，在整个运动过程中，当t为或或13或17时，P，Q两点间的距离为2． 2．如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点、的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别同时从点、出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，直接写出、距离为时的值． 【答案】(1)点所对应的数是 (2)点所对应的数是或 (3)或或或 【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，一元一次方程的应用； （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）先求得点到达点，点到达点所需时间，进而分段讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）解：点到达点所需时间为：，点到达点所需时间为：； ①当时，P：；Q：； ∴， 解得：或， ②时，P：；Q：； ∴， 解得：（舍去）或（舍去）， ③时，P：；Q：； ∴， 解得：或， 综上：或或或． 3．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，注意进行分类讨论． 类型九、规律问题 1．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 2．已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，； (2)当运动到第次时，点到达点； (3)第次运动点对应的数为． 【分析】（）根据是关于的二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； （）根据（）得到的规律求解即可； 本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，， ∴， ∴，两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； ， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 3．已知数轴上两点相距米，一只乌龟从点出发向点爬行，第一次它前进米，第二次后退米，第三次前进米，第四次后退米，第五次再前进米，．．．，按此规律行进，若点表示的数为． (1)直接写出在数轴上点表示的数； (2)经过第七次行进后小乌龟到达点，第八次行进后到达点，点、点到地的距离相等吗？说明理由？ (3)若点在原点的右侧，经过次行进后，小乌龟到达点，求两点之间的距离． 【答案】(1)或 (2)点、点到地的距离相等 (3)两点之间的距离． 【分析】本题考查了数轴，有理数加减运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）当点在点左侧和右侧时，按照左减右加的规律分别进行计算即可 （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算点和点即可； （3）根据为时，可列式，根据点为，求解即可． 【详解】（1）解：有两种情况， 当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，， ∴点表示的数为：或． （2）解：经过第七次行进后，点为：， 第八次行进后，点为：， ∵点和点到地的距离均为：， ∴点、点到地的距离相等． （3）解：当经过次行进后，小乌龟到达点，它在数轴上表示的数为：， ， ∵点在原点的右侧，点表示的数为，两点相距米， ∴点为， ∴两点之间的距离． 类型十、新定义问题 1．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1)___________，___________； (2)已知，求的值； (3)当时，求． 【答案】(1)3，2 (2)3 (3)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握的定义，的定义是解题关键． （1）根据的定义，的定义即可求解； （2）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解； （3）先根据新定义得出关于的方程求得，进一步根据的定义即可求解． 【详解】（1）解：，． 故答案为：3，2； （2）解：， ， 解得， 则； （3）解：， ， 解得或8， 当时，； 当时，． 故的值为或． 2．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点，，，满足，点是、的“倍分点”．已知点，，，，在数轴上所表示的数如图所示． (1)，，三点中，点______是点，的“倍分点”； (2)若数轴上点是点，的“倍分点”，则点对应的数有______个，分别是______； (3)若数轴上点是点，的“倍分点”，且点在点的右侧，此时点表示的数为多少． 【答案】(1) (2)4；，，1， (3)点表示的数为或24． 【分析】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键． （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设点表示的数为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， 点是点，的“倍分点”； 故答案为：． （2）解：，设点表示的数为， ①当时，， ， 解得：或， ②当时，， ， 解得：或， 综上所述，则点对应的数有4个，分别是，，1，， 故答案为：4；，，1，； （3）解：， 当时，， 点在点的右侧， 此时点表示的数为， 当时，， 点在点的右侧， 此时点表示的数为24， 综上所述，点表示的数为或24． 3．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么．    (1)若，则x的值为__________． (2)当__________（x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出A点与B点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)）1或3 (2)或或0或1 (3)存在，1或3 【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离计算公式，即可求解； （2）根据题意可得表示x的点到表示1的点和表示的点的距离之和为3，由此分图1，图2，图3三种情况讨论求解即可； （3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得 ，然后分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，表示数轴上表示x的数到表示2的数的距离为1， ∴或， 故答案为：1； （2）解：表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数的点的距离之和， 分下列三种情况：①当表示数x的点在到1之间时，如图1，    此时成立； 满足条件的x的整数为，，0，1； ②当表示数x的点在左侧时，如图2， 此时，不存在这样的点； ③表示数x的点在1右侧时，如图3， 此时，不存在这样的点． 故答案为：或或0或1． （3）解：存在，理由如下： 设点M所表示的数位m，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b， ∵点M和N重合， ∴点N所表示的数为n， ∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点， ∴，， ∴， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上，存在，此时的长为1或3． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 4．已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点”． (1)如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为，那么m的值是          ； (2)如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为      ； (3)如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值． 【答案】(1)7 (2)或 (3)m的值为5或15 【分析】（1）根据“m和距离点”的概念解答； （2）设点D表示的数为x，根据“m和距离点”的定义分情况列式解答； （3）设E点表示的数为x，需要分类讨论：①当E点在线段上时（不与A，B重合），②当E点在线段延长线上时（不与B重合），列方程可得结论． 【详解】（1）∵点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）设D点表示的数为x， ∵，， ∴， D点不会在线段上（）， ∴当D点在A点左边时， ， ， 当D点在B点右边时， ， ， ∴点D表示的数为：或； 故答案为：或； （3）设E点表示的数为x， ∵， ∴E的位置有两种可能， 当E点在线段上时（不与A，B重合）， ，， ∴， 解得： ， 此时， 当E点在线段延长线上时（不与B重合）， ，， ， 解得：， 此时， 综上所述，m的值为5或15． 【点睛】本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“m和距离点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般． 1．如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：． 2．如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据列方程，求解即可．找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：动点所表示的数是， 是线段的中点， 点所表示的数是， ， ， ，或， 解得或． 故选：C． 3．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 4．如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，18，点P为数轴上一动点．如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动．若t分钟时点P到点M，N的距离相等，则t的值为 ． 【答案】4或24 【分析】此题主要考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用．设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即，点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是，再建立方程求解即可. 【详解】解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ∴，． ∴， ∴或， 解得：或． 综上所述，t的值为或． 故答案为：或 5．如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 个单位长度/秒． 【答案】60或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 根据，，得出，利用点A对应的数是20，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵点对应的数是20， ∴点对应的数是． 假设点的速度为个单位长度/秒，则点的速度是个单位长度/秒，点的速度是个单位长度/秒， ∴2秒后点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为：，，， 由当时，，得：． 有两种情况：， 解得：． 或， 解得：． ∴或． 则或． 故答案为：60或． 6．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点，同时出发，点与点之间的距离为4个单位长度时， ． 【答案】2或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据，求得，，用含t的代数式表示出P、Q，列出方程即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴， 设运动时间为秒，则P表示的数为，Q表示的数为， ∴， 即， 解得或， 故答案为：2或． 7．通过研究数轴，我们发现许多重要规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： 【实践操作】 （1）若点P与表示的点的距离是5个单位长度，则a的值为________；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________；若数轴上比a小3的数用m表示，比a大9的数用n表示，则的最小值为________． 【灵活运用】 （2）解方程 【迁移拓展】 （3）已知，，，……，， 求式子的最小值． 【答案】（1）或4；5；19（2）或（3） 【分析】本题考查化简绝对值，解绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键： （1）根据两点间的距离求出的值，根据的范围，化简绝对值求值，根据，得到，根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，进行求解即可； （2）分和两种情况解方程即可； （3）将转化为，根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小，进而得到当时，有最小值，取代入求值即可． 【详解】解：（1）或； 当数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间时，； ， ∴， ∴当时，的值最小为：； （2） 当时：，解得：； 当时：，解得：； 综上：或 （3）∵，，，……，， ∴ ； 根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小， ∴当时，有最小值， 把代入，得：； ∴的最小值为． 8．“数形结合”是一种重要的数学思想方法，数轴可以被视为“形”的一部分．研究数轴可以发现很多重要的结论： ①绝对值的几何意义：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为，记作．例如，4与2之间的距离可表示为． ②中点公式：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么线段的中点C表示的数为．例如，可理解成数－1与2中间的数为． 请借助数轴和上面的结论解决下列问题： 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为，10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴的正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴的负方向运动，设运动的时间为秒． (1)A，B两点之间的距离是______个单位长度，线段的中点C表示的数是______． (2)运动t秒后点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含有t的代数式表示） (3)当P，Q两点之间的距离为6个单位长度时（点P在点Q的左侧），求t的值． (4)在P，Q两点运动的过程中，O，P，Q三点中恰好有一点是另外两点构成的线段的中点，求此时t的值． 【答案】(1) (2) (3)两点经过时相距6个单位长度 (4)的值为或 【分析】本题主要考查了借助数轴相关结论来解决点的运动问题，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握其性质并灵活构建方程是解决此题的关键． (1)利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； (2)数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； (3)由秒后，点表示的数为，点Q表示的数为，表示,再构建绝对值方程，再解方程即可； (4)分①当O是线段的中点，②为线段的中点,③当Q为线段的中点讨论，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可. 【详解】（1）解: 由题意知，两点的距离为， 线段的中点C所表示数为， 故答案为：； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为， 故答案为：； （3）解：秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， , 又两点相距6个单位长度， ,解得:或, 点P在点Q的左侧， 当时,P表示的数为，Q表示的数为，不满足点P在点Q的左侧，舍去， 两点经过时相距6个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点， 由题意得，,解得舍去， ②为线段的中点, 由题意得，,解得， ③当Q为线段的中点， 由题意得，解得, 综上所述：的值为或． 9．阅读材料： 距离产生美！在数轴上，两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.如：数轴上表示数1和5的两点间的距离为，例如数轴上表示数x和2的两点间的距离为.依据上述材料，解答下列问题：如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为________，b的值为________，点A与点B的距离为________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动：点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是______，点N表示的数是________（均用含t的代数式表示）； ②若，求时间t的值． 【答案】(1)；；10 (2)①；；②或3 【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，点A在原点O的左边，点B在原点O的右边，求出a、b的值，再求出的值即可； （2）①根据M、N运动速度，表示出点M表示的数和点N表示的数； ②根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，点A在原点O的左边，点B在原点O的右边， ∴，； ∴之间的距离为10； （2）解：①点M表示的数为； 点N表示的数为； ②根据题意可得： 由（1）知且， ，得， 解得或3． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 10．阅读材料： 距离能够产生美，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度，“数轴”是数形结合的重要工具．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为，15． (1)点P是数轴上任意一点，且，则点P对应的数是______． (2)M，N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点N从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度运动． ①若点M向右运动，点N点向左运动．当M，N两点相距2个单位长度时所需要的时间？ ②若M，N两点都向数轴正方向运动，经过几秒，M，N两点分别到原点O的距离相等？请直接写出答案． 【答案】(1)5 (2)①或；②1秒或5秒 【分析】此题主要考查了数轴以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程求解． （1）利用两点间的距离公式，依据列方程求解可得结果； （2）①由题可得，点表示的数为，点表示的数为，根据点相距2个单位长度即可列方程求解； ②由数轴知，当重合时，，可得；当在点异侧时，，解得1． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 由题意得，， 解得，， 故答案为：5； （2）解：①由题可得，点表示的数为， 点表示的数为， 若点相距2个单位长度时，， 解得或， ②由数轴知，当重合时，，解得，(秒)； 当在点异侧时，， 解得(秒)； 综上所述，经过5秒或1秒，点、点分别到原点的距离相等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴上的10种动点问题 目录 1 类型一、绝对值最值问题 2 类型二、相遇问题 4 类型三、中点问题 6 类型四、翻折问题 7 类型五、相距问题 9 类型六、和差倍分问题 10 类型七、定值问题 11 类型八、折返问题 12 类型九、规律问题 13 类型十、新定义问题 14 16 【总结】解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 类型一、绝对值最值问题 解题方法：可利用奇点偶段解决几个绝对值式子相加求最小值问题. 简单来说就是: 若绝对值的个数为奇数，则当x对应的点取中间点时，式子有最小值； 若绝对值的个数为偶数，则当x对应的点在中间段(包括端点)时，式子有最小值. 解题大招：奇取中间点，偶取中间段. 注意：若x的系数不为1，可以将其拆分为多个系数为1 的含绝对值的代数式之和，这时候相等的零点的值依旧一一罗列. 1．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 2．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 3．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 4．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 类型二、相遇问题 等量关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离（相向而行，注意出发时间和地点） 1．如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． (1)点在数轴上表示的数为 　　，点在数轴上表示的数为 　　， (2)当点与点相遇时，求点，在数轴上表示的数； (3)当运动到（单位长度）时，求出此时点在数轴上表示的数． 2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)A，B两点之间距离为__________； (2)若点P以2个单位/秒的速度从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过5秒相遇，求点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 4．如图，数轴上A点和B点表示的数分别为和，如果两个点同时开始在数轴上运动，且A点的运动速度为3个单位/秒，B点运动速度为1个单位/秒， (1)如果A点向数轴的正方向运动，B点向数轴的负方向运动时，请问几秒钟后两点相遇？ (2)如果A、B两点同时向正方向运动，请问几秒钟后A点与B点相遇？ (3)如果A、B两点同时向正方向运动，请问当t为何值时，之间的距离等于8？ 5．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A与点B 在数轴上对应的数a和b； (2)现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P和点Q相遇于点C，求点C 在数轴上表示的数； ②当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值． 类型三、中点问题 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为a，b，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：. 1．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 2．[背景知识]： 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． [问题情境]： 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．    [综合运用]： (1)线段的中点表示的数为________． (2)求：当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 3．已知在纸面上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数______的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当时，直接写出x的值． 类型四、翻折问题 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为a，b，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：. 翻折后，任意一点到中点的距离等于其对称点到中点的距离. 1．如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 2．如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 3．操作与探究 请借助数轴，解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点开始，第次向左移动个单位，紧接着第次向右移动个单位，第次向左移动个单位，第次向右移动个单位，…，依此规律移动，当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______；当它移动完次时，落在数轴上的点表示的数是______； (2)翻折变换 操作一  若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示的点重合，此时折痕点表示的数是______，表示的点与表示______的点重合； 操作二  若数轴上，两点经折叠后重合，两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与①折痕相同），则点表示______，点表示______； 操作三  如图，一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点与点的距离为个单位长度，则点表示的数为______． 类型五、相距问题 1．数轴上有A，B，C三点．已知点A，B表示的数互为相反数，点A在点B的左边，且点A，B相距6个单位长度，点A，C相距2个单位长度．问：点A，B，C表示的数各是多少？ 2．已知，如图A 、B分别为数轴上的两点，点对应的数为 ，点对应的数为 ． （1）的中点 对应的数为 （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度的时间为 秒． 3．数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离表示为：．若数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且满是． （1）求得A、B两点之间的距离是 ； （2）若P、Q两点在数轴上运动，点P从A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．经过 秒，P、Q两点相距5个单位长度． 4．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足，动点M从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点N从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1） ； （2）当M，N两点相距9个单位长度时，t的值为 ． 5．已知：线段． (1)如图1，点沿线段自点向点以运动，同时点沿线段自点向点以运动，求几秒钟后，、两点第一次相距？ (2)如图2，，，点绕点以10度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点运动，假如、两点能相遇，求点运动的速度． 类型六、和差倍分问题 1．在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： (1)如图，，分别表示数，7，求线段的长； (2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值． (3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间． 2．已知是关于的一元一次方程，且方程的解是，若数轴上、两点所对应的数分别是和．    (1)则______，______、、两点之间的距离______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度……按照如此规律不断地左右运动，当运动到2023次时，求点所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，是否存在一点，使它到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，请你直接写出点的位置． 3．若点在数轴上对应的数分别为满足． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由． 4．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． (1)______，_______； (2)若数轴上有一点C，点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，求点C在数轴上对应的数n的值； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为秒．点D到点G的距离与点D到点B的距离相等，点F到点D的距离与点F到点H的距离相等（D为线段的中点，F为线段的中点），请直接写出点F在数轴上对应的数．（用含t的式子表示） 类型七、定值问题 考虑动点在数轴上的运动方向和速度，分析其在运动过程中满足定值条件的时刻 1．如图所示，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，其中是最小的正整数，． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___________表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． ①当点在点右侧时，___________，___________（用含的代数式表示）； ②小西同学发现：的值是个定值，求此时的值． 2．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 根据题意，得到点Q表示的数是，点P示的数是， 3．已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 类型八、折返问题 1．数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 2．如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点、的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别同时从点、出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，直接写出、距离为时的值． 3．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 类型九、规律问题 1．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 2．已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 3．已知数轴上两点相距米，一只乌龟从点出发向点爬行，第一次它前进米，第二次后退米，第三次前进米，第四次后退米，第五次再前进米，．．．，按此规律行进，若点表示的数为． (1)直接写出在数轴上点表示的数； (2)经过第七次行进后小乌龟到达点，第八次行进后到达点，点、点到地的距离相等吗？说明理由？ (3)若点在原点的右侧，经过次行进后，小乌龟到达点，求两点之间的距离． 类型十、新定义问题 1．有理数a和b分别对应数轴上的点A和点B，定义为数a、b的中点数，为点A、B之间的距离，其中表示数a、b的差的绝对值．例如：数和3的中点数是，数轴上表示数和3的点之间的距离是．请阅读以上材料，完成下列问题： (1)___________，___________； (2)已知，求的值； (3)当时，求． 2．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点，，，满足，点是、的“倍分点”．已知点，，，，在数轴上所表示的数如图所示． (1)，，三点中，点______是点，的“倍分点”； (2)若数轴上点是点，的“倍分点”，则点对应的数有______个，分别是______； (3)若数轴上点是点，的“倍分点”，且点在点的右侧，此时点表示的数为多少． 3．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，，那么．    (1)若，则x的值为__________． (2)当__________（x是整数）时，式子成立． (3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当时，点P叫点A的1倍伴随点，当时，点P叫点A的2倍伴随点，……当时，点P叫点A的n倍伴随点． 试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出A点与B点之间的距离；若不存在，请说明理由． 4．已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有，则称点C为点A，B的“5和距离点”． (1)如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为，那么m的值是          ； (2)如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为      ； (3)如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值． 1．如图，在数轴上有一动点，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移个单位长度到达点，第二次将点向左移动个单位长度到达，第三次将点向右移动个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若、互为相反数，则点表示； 乙：若点表示，点到原点的距离为，则； 丙：当为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 2．如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 3．如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 4．如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，18，点P为数轴上一动点．如果点P以每分钟2个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动．若t分钟时点P到点M，N的距离相等，则t的值为 ． 5．如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 个单位长度/秒． 6．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点，同时出发，点与点之间的距离为4个单位长度时， ． 7．通过研究数轴，我们发现许多重要规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： 【实践操作】 （1）若点P与表示的点的距离是5个单位长度，则a的值为________；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________；若数轴上比a小3的数用m表示，比a大9的数用n表示，则的最小值为________． 【灵活运用】 （2）解方程 【迁移拓展】 （3）已知，，，……，， 求式子的最小值． 8．“数形结合”是一种重要的数学思想方法，数轴可以被视为“形”的一部分．研究数轴可以发现很多重要的结论： ①绝对值的几何意义：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为，记作．例如，4与2之间的距离可表示为． ②中点公式：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么线段的中点C表示的数为．例如，可理解成数－1与2中间的数为． 请借助数轴和上面的结论解决下列问题： 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为，10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴的正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴的负方向运动，设运动的时间为秒． (1)A，B两点之间的距离是______个单位长度，线段的中点C表示的数是______． (2)运动t秒后点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含有t的代数式表示） (3)当P，Q两点之间的距离为6个单位长度时（点P在点Q的左侧），求t的值． (4)在P，Q两点运动的过程中，O，P，Q三点中恰好有一点是另外两点构成的线段的中点，求此时t的值． 9．阅读材料： 距离产生美！在数轴上，两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.如：数轴上表示数1和5的两点间的距离为，例如数轴上表示数x和2的两点间的距离为.依据上述材料，解答下列问题：如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为________，b的值为________，点A与点B的距离为________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动：点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是______，点N表示的数是________（均用含t的代数式表示）； ②若，求时间t的值． 10．阅读材料： 距离能够产生美，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度，“数轴”是数形结合的重要工具．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为，15． (1)点P是数轴上任意一点，且，则点P对应的数是______． (2)M，N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点N从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度运动． ①若点M向右运动，点N点向左运动．当M，N两点相距2个单位长度时所需要的时间？ ②若M，N两点都向数轴正方向运动，经过几秒，M，N两点分别到原点O的距离相等？请直接写出答案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$