精品解析：天津市滨海新区田家炳中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

滨海新区田家炳中学2024—2025—1高三年级期中考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则= A. {5} B. {2,4} C. {2,4,5} D. {2,4,6} 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由已知得，，所以. 考点：集合间的基本运算 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解可得a的范围，结合是的真子集，即可得答案. 【详解】由可得或， 由于是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据否定命题的定义即可求解. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 4. 已知， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得． 【详解】， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查对数与幂的大小比较，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键，对于不同类型的幂、对数比较大小时可中间值如1、0等比较． 5. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 6. 已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理即可判断出ABD，.若，，则可能在平面内，即可判断出C. 【详解】A. 若，，利用线面垂直的性质定理得正确； B. 若，，利用线面垂直的性质定理得正确； C. 若，，则可能在平面内，不正确； D. 若，，利用线面垂直的性质定理得正确； 故选：C. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 其图象关于原点对称，所以排除C、D项， ，所以排除B项． 故选：A 8. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（）,令，解得， 因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 9. 连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的边长为1，则根据题意正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成，再结合题意计算即可得答案. 【详解】解：根据题意得，正八面体是由两个全等的底面为正方形的四棱锥构成， 设正方体的边长为，则四棱锥的底面边长为， 所以正八面体的体积为：，正方体的体积为：， 所以正八面体的体积和正方体的体积之比为：. 故选：B. 【点睛】本题考查几何体的体积的计算，是基础题. 10. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C. 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用. 11. 已知函数，以下说法中，正确的是（ ） ①函数关于点对称； ②函数在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的解析式为. A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】先对化简变形，得到，再对①②③④逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】因为, 对于①，由，即，所以对称中心为， 令，得到一个对称中心为，所以①错误； 对于②，当时，，由的图像与性质知，在上单调递增，所以②正确； 对于③，当时，，由的图像与性质知，，所以③错误； 对于④，将函数的图像向右平移个单位长度，得到图像对应的解析式为，所以④错误. 故选：D. 12. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为“与的图象有三个交点”，然后根据图象分析有三个交点时的取值范围即可. 【详解】由题意可知：与的图象有三个交点， 在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如下图所示： 当时，若与的图象有三个交点，需满足，即； 当时，考虑与相切，则有， 即，所以，所以， 当时，，即切点在第三象限，不符合， 当时，，符合要求， 又，所以由图象可知： 若与的图象有三个交点，需满足，即， 综上可知，， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求解参数范围问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更直观的图象交点问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 是虚数单位，复数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知直线：与圆相交于，两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出弦长. 【详解】圆化成标准方程为， 圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长. 故答案为：. 15. 计算的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 故答案为：8 16. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 【答案】 【解析】 【详解】设正方体边长为 ，则 ， 外接球直径为. 【考点】 球 【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法. 17. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】 由利用数量积公式可求的值为1，设的长为，则，，利用平面向量的几何运算法则结合数量积的运算法则，可得，再利用配方法可得结果 【详解】，； 又因为且，为正三角形， ，，， 设的长为（），则，， 时取等号， 的最小值为. 故答案为：1，. 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 18. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，，可求得；向量在向量上的投影向量的模为，计算可求得最小值. 【详解】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，即可求出结果； （2）由（1）及条件，利用正弦定理即可求出结果； （3）根据条件，求出，利用二倍角公式得到，，再利用正弦的差角公式即可求出结果. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 因为，所以，又，所以， 所以，， 故. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，再由同角三角函数的基本关系求解即可； （2）由余弦定理求解即可； （3）由题意可得出，再由二倍角的正弦和余弦公式及两角和的余弦公式求解即可得出答案. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得，因为， 所以，且. 又，可得. 【小问2详解】 因为， 由余弦定理，得， 即，解得(负值舍去). 【小问3详解】 由（1）及，，，得， 从而. 由（1）得. ，， 所以 . 21. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，， 所以，所以，设与交于点， 所以，所以，即， 又因底面，平面，所以， 又因，平面，所以平面， 又因平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据三棱锥体积相等，根据余弦定理求出，可求出可得面积，代入即可求解； （3）根据空间向量法求出平面与平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知， 是矩形，底面， 所以可得， 在中，根据余弦定理可得， 所以， 故， ， 设到平面的距离为，又因， 所以可得，代入求解可得， 到平面的距离为； 【小问3详解】 建立如图空间坐标系，则可得， 所以， 设平面法向量， 所以，即， 令，可得，即， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 所以. 22. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． （1）设为中点，求证：面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）证明：取BE的中点为G，连接， 因为为中点，所以， 而，，则，，故， 所以，则四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取BE的中点为G，连接，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，，故两两垂直， 以所在直线为轴建立空间直坐标系， 由于， 故， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 , 故点到直线的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区田家炳中学2024—2025—1高三年级期中考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则= A. {5} B. {2,4} C. {2,4,5} D. {2,4,6} 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知， ， ，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为空间两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的单调递减区间为 A. B. C. D. 9. 连接正方体各表面的中心构成一个正八面体，则正八面体的体积和正方体的体积之比为 A. B. C. D. 10. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 11. 已知函数，以下说法中，正确的是（ ） ①函数关于点对称； ②函数在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的解析式为. A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ② 12. 已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 是虚数单位，复数_____________． 14. 已知直线：与圆相交于，两点，则______． 15. 计算的值为______. 16. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 17. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 18. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 21. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）求证：； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 22. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，． （1）设为中点，求证：面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $