专题07 杨辉三角与裴波那契数列（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题07 杨辉三角与裴波那契数列 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、杨辉三角 2 题型二、裴波那契数列 6 压轴能力测评（9题） 9 一、斐波那契数列 1、斐波那契数列概念 把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。 2、斐波那契数列的递推公式 3、斐波那契数列的通项公式 4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 【题型一 杨辉三角】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A．462 B．465 C．468 D．475 【答案】B 【分析】记第n层有个球，则根据题意可得，再根据累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 则第30层的小球个数为 . 故选：B 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可. 【详解】由题意可得， 则， 则， 又， 则， 则， 则使数列的前n项和的最小正整数n为7 故选：C. 二、多选题 3．（23-24高二下·湖北·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，结合等差数列的求和公式，以及裂项法求和，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得：， 以上个式子累加可得， 其中时，满足上式，所以， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层开始，第层从左到右的数字之和记为，如，，…，则的前9项和 . 【答案】1022 【分析】由题意，总结得出的表达式，证明其为等比数列，利用等比数列求和公式计算即得. 【详解】由题意得，因，可得数列是等比数列， 则. 故答案为：1022. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 【答案】 【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解即可. 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为，…， 第n行的第一个数为， 表中一共2018行， ∴第2018行的第一个数即． 故答案为： 6．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】由题意可知是第5行第4个数，故而直接能得到答案； 令每行的序数与该行的项数相等可得第行最后项在数列中的项数为；根据可求得，进而可确定位于第行第个；根据每一行数字和的规律可知，计算可得结果. 【详解】由题意可知是第5行第4个数，所以； 使得每行的序数与该行的项数相等，则第行最后项在数列中的项数为： 设位于第行，则：，解得： 且第行最后一项在数列中的项数为：， 位于杨辉三角数阵的第行第个 而第一行各项和为，第二行各项和为，第三行各项的和为 依此类推，第行各项的和为 故答案为：4，. 【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，确定第项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题. 【题型二 裴波那契数列】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式，，累加即可求得结果. 【详解】根据斐波那契数列的递推公式， 可得 . 故选：B. 2．（22-23高二下·江西抚州·期中）19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推公式累加即可. 【详解】由， 累加得： 即. 故选：D. 3．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，，，……，，相加得到答案. 【详解】由题意得， 故，，，……，， 上面的式子相加得， 又，故. 故选：A 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（    ） A．714 B．1870 C．4895 D．4896 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得，进而变形可得，据此可得，计算可得答案. 【详解】根据题意，数列满足，即， 两边同乘以，可得， 则 . 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二下·辽宁·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】列出数列前几项，可计算AB；由可计算CD. 【详解】对于A，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由题意，， 所以， ，，，，， 所以，故C正确； 对于D，由C可知， ，故D正确. 故选：ACD 6．（24-25高二上·全国·课后作业）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据斐波那契数列递推公式的性质化简计算判断各个选项. 【详解】“斐波那契数列”为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 所以，A选项错误； 依题意，所以， 故对恒成立，B选项正确； ，，，…，， 所以，C选项正确； ，，，…， ， 所以，D选项正确． 故选：BCD. 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项分别为：，则该数列的第11项为（    ） A．190 B．192 C．194 D．196 【答案】B 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算可得答案. 【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以， 即该数列的第11项为． 故选：B. 2．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（    ） A．4052 B．2047 C．2048 D．2026 【答案】D 【分析】由没有去掉“1”之前，第行的和为，可求得前n行所有数的和，再得到前n行的数的所有个数，再由时，去掉“1”后为45个数求解. 【详解】解：因为没有去掉“1”之前，第行的和为， 所以每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列， 所以前n行所有数的和为， 又因为每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列， 所以前n行的数的所有个数为：， 当时， ，所以去掉“1”后的所有数的个数为 ， 所以数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为： ， 故选：D 3．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）    A．5052 B．5057 C．5058 D．5063 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式得出，计算，再根据数列得出奇数项、偶数项的通项公式即可得解. 【详解】由题意得：， 所以， 则数列即为， 其整数项为即， 所以的奇数项是以2为首项，以5为公差的等差数列，则； 的偶数项是以3为首项，以5为公差的等差数列，则， 所以， 故选：C 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斐波那契数列的递推公式，迭代可得，，进而可得. 【详解】因为， 所以 ， 所以，所以， 所以，所以， 故选：A 5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（    ） A．175 B．176 C．177 D．178 【答案】B 【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将中的倍展成和的形式（如）即可求解． 【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，， 由，得 ， 所以， ， ， ， 将这个式子左右两边分别相加可得： ， 所以. 所以 . 故选：B． 二、多选题 6．（23-24高三上·河南·期中）斐波那契是公元13世纪意大利著名的数学家，他在自己的著作《算盘全书》中记载着一个兔子繁殖问题：假定有一对大兔子（一雌一雄），每个月可以生下一对小兔子（一雌一雄），并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力.假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？数学家斐波那契在研究时，发现了这样一个数列的数学模型：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，即数列满足：，，且.这个数列就是著名的“斐波那契数列”.已知斐波那契数列有如下性质：①存在正整数k使得成立；②存在正整数m使得成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据的关系，可得，即可求解. 【详解】对于①：，，两式相加可得，所以. 对于②：因为，，，…， ， 累加可得：，所以， 故选:AB. 7．（23-24高二上·浙江·阶段练习）斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，（，）.则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，直接由递推关系式运算即可判断；对于B，可以举出反例判断；对于C，通过累加法进行判断；对于D，先变形然后再通过累加法即可判断. 【详解】对于A，由题意可得，， 所以，故A正确. 对于B，，，，，，，故B错误. 对于C，，，…，，以上各式相加得，， 化简得，故C正确. 对于D，由题意可得， ， ， …， ， 累加得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题AB选项的判断比较常规，判断CD选项的关键是要通过适当的变形然后利用到累加法变形. 三、填空题 8．（2023·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为 ；表示第行所有项的乘积，设，则 . 【答案】 8 365 【分析】空1：直接写出第5行的数列，即可解决；空2：首先归纳出，进而可以求得数列的通项公式，即可得解得. 【详解】空1：由题意可得：第5行得到数列， 所以第5行从左数起第8个数的值为8； 空2：根据题意可得：， ， ， 总结可得， 所以，可得. 故答案为：8；365. 【点睛】关键点点睛：根据题意列出前几项，并据此归纳总结一般规律，分析运算. 9．（2024·河南·二模）数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项. 【答案】 10 2025 【分析】由得到数55是该数列的第10项；进而由相加得到答案. 【详解】显然，故数55是该数列的第10项； 由，相加得 ， 则，是第2025项. 故答案为：10，2025 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 杨辉三角与裴波那契数列 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、杨辉三角 2 题型二、裴波那契数列 4 压轴能力测评（9题） 5 一、斐波那契数列 1、斐波那契数列概念 把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{Fn}。 2、斐波那契数列的递推公式 3、斐波那契数列的通项公式 4、斐波那契数列的性质（通项公式an,前n项和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） 【题型一 杨辉三角】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A．462 B．465 C．468 D．475 2．（23-24高二上·山东烟台·期末）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 3．（23-24高二下·湖北·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层开始，第层从左到右的数字之和记为，如，，…，则的前9项和 . 5．（24-25高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ． 6．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，记作数列，则 ；若数列的前项和为，则 . 【题型二 裴波那契数列】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江西抚州·期中）19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波纳契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列满足，若其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（    ） A．714 B．1870 C．4895 D．4896 二、多选题 5．（23-24高二下·辽宁·期中）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的为（   ） A． B．对恒成立 C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项分别为：，则该数列的第11项为（    ） A．190 B．192 C．194 D．196 2．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（    ） A．4052 B．2047 C．2048 D．2026 3．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）    A．5052 B．5057 C．5058 D．5063 4．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，．其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和．后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（    ） A．175 B．176 C．177 D．178 二、多选题 6．（23-24高三上·河南·期中）斐波那契是公元13世纪意大利著名的数学家，他在自己的著作《算盘全书》中记载着一个兔子繁殖问题：假定有一对大兔子（一雌一雄），每个月可以生下一对小兔子（一雌一雄），并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力.假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？数学家斐波那契在研究时，发现了这样一个数列的数学模型：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，即数列满足：，，且.这个数列就是著名的“斐波那契数列”.已知斐波那契数列有如下性质：①存在正整数k使得成立；②存在正整数m使得成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江·阶段练习）斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，（，）.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2023·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列：第三行得到数列，则第5行从左数起第8个数的值为 ；表示第行所有项的乘积，设，则 . 9．（2024·河南·二模）数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$