专题17 大学洛必达法则在导数中的应用（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题17 大学洛必达法则在导数中的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、洛必达法则的直接计算 2 题型二、利用洛必达法则解决最值问题 3 压轴能力测评（6题） 4 一、前言 在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。 二、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 三、法则形式 1、法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； (3)，则：. 3、法则3（型）：若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； (3)，则：=. 【特别提醒】 （1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 （2）洛必达法则可处理型。 （3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则 （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 （5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。 四、适用类型的转化 （1）型的转化：或； （2）型的转化： （3）、型的转化：幂指函数类 【题型一 洛必达法则的直接计算】 一、单选题 1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ． 【题型二 利用洛必达法则解决最值问题】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习），恒成立，求的取值范围 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 3．（2024高二·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 一、单选题 1．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 二、解答题 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围． 4．（2024高二·全国·专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 5．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 6．（23-24高二上·重庆·开学考试）设函数，，，且有唯一零点. (1)求a的取值范围； (2)证明：存在三个零点； (3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 大学洛必达法则在导数中的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、洛必达法则的直接计算 2 题型二、利用洛必达法则解决最值问题 4 压轴能力测评（6题） 7 一、前言 在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。 二、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 三、法则形式 1、法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； (3)，则：. 3、法则3（型）：若函数和满足下列条件： (1) 及； (2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； (3)，则：=. 【特别提醒】 （1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。 （2）洛必达法则可处理型。 （3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则 （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 （5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。 四、适用类型的转化 （1）型的转化：或； （2）型的转化： （3）、型的转化：幂指函数类 【题型一 洛必达法则的直接计算】 一、单选题 1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意利用洛必达法则求解即可 【详解】由题意得， 故选：B 2．（23-24高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据洛必达法则求解即可. 【详解】. 故选：B 二、填空题 3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ． 【答案】/0.5 【分析】依据洛必达法则去计算即可解决. 【详解】 故答案为： 【题型二 利用洛必达法则解决最值问题】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习），恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案. 【详解】当时，，即， ①当时，，， ②当时，等价于， 即， 令，，则， 记，， 则，因此在上单调递增， 且，所以， 从而在上单调递增， 所以， 由洛必达法则得， 即，. 综上所述，实数a的取值范围为. 3．（2024高二·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值. 【详解】∵，∴． ∴当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增． 若当时，恒有成立，即恒有成立． 当时，不等式恒成立． 当时，恒有成立， 即，令， 则． 令，则，进一步， ∴ 在上单调递减，∴． ∴在上单调递减，∴． 即在上恒成立，∴在上单调递减． ∴，∴． 综上，的取值范围为． 5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 一、单选题 1．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用洛必达法则直接求解即可 【详解】， 故选：D 2．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 二、解答题 3．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 4．（2024高二·全国·专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 5．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据k阶无穷递降函数的定义即可证明； （2）记，取对数得，利用洛必达法则求出，然后可得的值； （3）先证明是上的2阶无穷递降函数，可得，然后证明即可得证. 【详解】（1）记， 因为， 所以在区间不恒成立， 所以，不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）记，则， 因为， 所以，所以. （3）因为，所以， 所以， 即对任意，均有， 所以， 因为， 所以 ， 所以，时，. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点： （1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点； （2）利用好定义所给的表达式及相关条件； （3）含有参数时要注意分类讨论. 6．（23-24高二上·重庆·开学考试）设函数，，，且有唯一零点. (1)求a的取值范围； (2)证明：存在三个零点； (3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数. 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分和讨论即可； （2），再次求导证明导函数的单调性，最后利用零点存在定理即可证明； （3）由题意得，设，，利用导数证明其在上单调性，将原不等式转化为证明，再通过设新函数结合导数即可证明. 【详解】（1）当时，， 令，得，而，故， 当时，令得，， 令，，令，， 则，因为，则， 则，则，则在单调递减， 则，即，即在上恒成立， 则时，， 而时，， 时，，则， 故在上恒成立， 故在上单调递减，而，， 故，解得 （2），设，，， 则，令，解得，此时单调递减，即单调递减， 令，解得，此时单调递增，即单调递增， 而，， 当，且时，，当，， 故存在满足，使得， 且当时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增，而， 则，则， 而当时，；，且时，， 则根据零点存在定理知在和上各有一根，加上， 则存在三个零点. （3），则； ，即，且，则， 因为，所以， 令，，则， 设，其中， 则，则在上单调递增， 故，则在恒成立， 则，则， 则在上恒成立， 则在上单调递增，设， 且，，在点1的某去心邻域内两者皆可导，且， 且， 则，作出如下图象， 因为，则， 要证，即证， 只需证， 即证，即证， 设， 则， 令， 则， 令 则， 令 ， 故， 则，则在上单调递增， 则，得证， 故，故. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过转化得，设，通过导数证明其在上单调性，将原不等式转化为证明，即，再转化为，最后再通过设立新函 数并多次求导即可证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$