精品解析：河北省沧州市献县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期学业水平检测期中大联考 九年级数学人教版 （考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 错误方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（ ） A. 是圆心角 B. 是圆周角 C. D. 是圆周角 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转，得到对应线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 正比例函数和二次函数的图象一致的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 以上三个都可以 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列四个结论中错误的是（ ） A. 若，当时，没有实数根 B. 若4是方程的一个根，那么是方程的另一个根 C. 若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同 D. 若没有实数根，则二次函数与直线没有交点 11. 如图，O是等边内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段 嘉嘉：由图知； 琪琪：． 以下说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 12. 为了测量圆形工件的直径． 甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可； 乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可． 下面的说法正确的是（ ） A. 甲对乙不对 B. 甲不对乙对 C. 两人都不对 D. 两人都对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若2是关于的方程的一个根，则________． 14. 有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为______． 15. 小明推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系式为，当铅球行进的高度为时，铅球行进的水平距离______m． 16. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的顶点A，B分别在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转后得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 18. 按要求解一元二次方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 19. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点（点C不与点A，B重合），点D是的中点，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，，求的长． 20. 开展盐碱地综合利用对保障国家粮食安全、端牢中国饭碗具有重要战略意义．我市某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行抗盐碱实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了20亩，收获后发现，B品种的平均亩产量比A品种高100千克，且A、B两个品种总产量为14000千克． （1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了小麦的种植方法，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．由于B品种深受市场欢迎，今年决定对两个品种的种植面积进行调整，B品种种植面积比去年增加m亩，且保持总种植面积与去年相同，使总产量达到15200千克，求m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）作关于y轴对称的图形，记为，画出，并写出点，的坐标； （2）请画出关于原点O成中心对称的； （3）在x轴上找一点P，使得点P到点A，C的距离最小，并求出点P坐标． 22. 已知抛物线（a，b，c是常数，）中x与y的部分对应值如下表． x … 0 1 2 … y … 0 … （1）根据以上信息，可知ac______0（选填“＜”“＞”或“＝”）； （2）求抛物线的解析式并在图中画出的图象； （3）抛物线的解析式为．设直线与抛物线、都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段的值． 23. 如图1所示，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，在线段上找一点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）如图2所示，将绕点A逆时针旋转一定的角度，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）点D为的中点，，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点B，D，E恰好第一次在一条直线上，如图3，直接写出线段的长． 24. 抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期学业水平检测期中大联考 九年级数学人教版 （考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 错误方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关键． 先明确一元二次方程一般式的定义：我们把、、为常数，称为一元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到、、的值，求和即可． 【详解】解：． ． ． ． 故：，，． ． 故选：B． 2. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（ ） A. 是圆心角 B. 是圆周角 C. D. 是圆周角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角，圆周角，等腰三角形，熟练掌握圆心角、圆周角的定义，等腰三角形的性质是解题的关键． 根据顶点在圆心，两边与圆相交的角叫圆心角判定A；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定B；根据，由等腰三角形的性质等边对等角判定C；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定D． 【详解】解：A、是圆心角，正确，故此选项不符合题意； B、是圆周角，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； D、不是圆周角，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转，得到对应线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称点的特点，掌握点的中心对称点的特点及计算方法是解题的关键． 根据将线段绕原点旋转，可得是点的中心对称，根据中心对称点的特点，即横纵坐标均为原来点坐标的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点的坐标是，连接，将线段绕原点旋转， ∴点关于原点成中心对称点， 故选：C ． 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把1移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 【详解】解： 故选：B． 6. 正比例函数和二次函数的图象一致的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，理解它们的图象和性质是解答关键． 根据正比例函数图象都是随的增大而减小，得到，得到，从面得到二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，分别判断各项即可求解． 【详解】解：A．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． B．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． C．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项不符合题意． D．由图象可知，正比例函数，随的增大而减小，则，所以，所以二次函数的图象是抛物线开口向上，抛物线与轴负半轴有交点，故此项符合题意． 故选：D． 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 以上三个都可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．先把代入求出，然后根据一元二次方程的定义求出或，即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得， 因为方程为关于x的一元二次方程， 所以， 解得：或， ∴． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移2个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图形与性质、二次函数图像的平移等知识，理解并掌握二次函数图像平移的规律是解题关键．首先将原抛物线解析式转化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的规律得到平移后抛物线的解析式，进而可得平移后得到的抛物线的顶点为，结合确定平移后得到的抛物线的顶点所在象限即可． 【详解】解： ， 将抛物线沿轴向下平移2个单位， 则平移后的抛物线解析式为， ∴平移后得到的抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴平移后得到的抛物线的顶点一定在第一象限． 故选：A． 9. 某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设从2月份到4月份该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：B． 10. 对于一元二次方程，下列四个结论中错误的是（ ） A. 若，当时，没有实数根 B. 若4是方程的一个根，那么是方程的另一个根 C. 若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同 D. 若没有实数根，则二次函数与直线没有交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 若，则，当时，则，例如时， ∴此时有实数根，故该选项不正确，符合题意； B. 若4是方程的一个根，则即， ∴那么是方程的另一个根，故该选项正确，不符合题意； C. 若方程的两根符号相同，又，则同号，那么方程的两根,符号也相同，故该选项正确，不符合题意； D. 若没有实数根，则二次函数与直线没有交点，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 11. 如图，O是等边内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段 嘉嘉：由图知； 琪琪：． 以下说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 两人都正确 D. 两人都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理的逆定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键．利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理逐一计算判断即可． 【详解】解：由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴，，故嘉嘉说法正确； 在等边中，，， 则， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，则， ∴，故琪琪说法正确； 综上，两人的说法都正确， 故选：C． 12. 为了测量圆形工件的直径． 甲：如图1，在工作台上用边长相同的两个立方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可； 乙：如图2，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱半径n和两个圆心之间的距离m即可． 下面的说法正确的是（ ） A. 甲对乙不对 B. 甲不对乙对 C. 两人都不对 D. 两人都对 【答案】D 【解析】 【分析】甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F， 根据图形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F， 根据图形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答． 【详解】 甲：如图1，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F， 根据图形可知：，， ∵， ∴， 设圆O的半径为r， ∴， 在中，有：， ∴， 解方程即可求出r，即甲的说法正确； 乙：如图2，连接，，，过O点作于E点，交圆O点F， 根据图形可知：，， 设圆O的半径为r， 同理可得：， 解方程即可求出r，即乙的说法正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的知识，掌握垂径定理是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若2是关于的方程的一个根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：4． 14. 有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的弧长和圆锥的底面周长，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可． 【详解】解：设该扇形的圆心角的度数为， 由题意可得：， 解得， 故答案为：． 15. 小明推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系式为，当铅球行进的高度为时，铅球行进的水平距离______m． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，函数式中自变量与函数表达的实际意义，解题的关键是理解题意． 把代入函数解析式求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故答案为：2或6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的顶点A，B分别在x轴和y轴上，将绕点O逆时针旋转后得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边夹角等于旋转角，含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半，以及勾股定理． 过点作轴，根据旋转的性质得出，，进而推出，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点作轴， ∴轴， ∵点A的坐标为，为等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：点不在这个二次函数的图象上． 理由：当时，． 点不在这个二次函数的图象上． 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）利用顶点式求解二次函数解析式即可． （2）把代入函数的解析式求得函数值即可判断． 【小问1详解】 解：此二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为：， 它的图象过点， ，解得， 此二次函数的解析式为． 【小问2详解】 略 18. 按要求解一元二次方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法和因式分解法是解题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 19. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点（点C不与点A，B重合），点D是的中点，过点D作交的延长线于点E． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ； 又为的中点， ， ， ， ； 又， ， ， ； 又是半圆O的半径， 是半圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由弧相等得，从而，则，再由即可得证； （2）连接，，过点D作于点F，证明，得，再证明，得；则可得，从而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，过点D作，垂足为点F， ，，， ，； 又， ， ； 四边形是圆内接四边形， ； 又， ； ，， ， ； 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题涉及的知识点较多，还涉及常作的辅助线． 20. 开展盐碱地综合利用对保障国家粮食安全、端牢中国饭碗具有重要战略意义．我市某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行抗盐碱实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了20亩，收获后发现，B品种的平均亩产量比A品种高100千克，且A、B两个品种总产量为14000千克． （1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了小麦的种植方法，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．由于B品种深受市场欢迎，今年决定对两个品种的种植面积进行调整，B品种种植面积比去年增加m亩，且保持总种植面积与去年相同，使总产量达到15200千克，求m的值． 【答案】（1）A、B两个品种去年平均亩产量分别为300千克和400千克 （2）5 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意，列出方程是解题的关键． （1）设A品种去年平均亩产量为x千克，B品种去年平均亩产量为千克，根据A、B两个品种总产量为14000千克．列方程，求解即可． （2）根据预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．则A品种平均亩产量为千克，B品种平均亩产量为千克，根据B品种种植面积比去年增加m亩，则B品种种植面积为亩，又根据保持总种植面积与去年相同，所以A品种种植面积为亩，则A品种总产量为千克，B品种总产量为千克，根据A品种总产量品种总产量今年总产量，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A品种去年平均亩产量为x千克，B品种去年平均亩产量为千克 解得： 答：A、B两个品种去年平均亩产量分别为300千克和400千克． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得：，（舍去） ∴m的值为5． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）作关于y轴对称的图形，记为，画出，并写出点，的坐标； （2）请画出关于原点O成中心对称的； （3）在x轴上找一点P，使得点P到点A，C的距离最小，并求出点P坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， ，． （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点P即为所求，点P坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可画出图形，再直接写出点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质即可画出关于原点O成中心对称的； （3）找到点A关于x轴对称的点，并与点C连接，与x轴的交点即为所求；先求出直线解析式，再令即可求出交点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线PC所在直线解析式为： 将和代入，得 解得： 当时， ∴点P坐标为 22. 已知抛物线（a，b，c是常数，）中x与y的部分对应值如下表． x … 0 1 2 … y … 0 … （1）根据以上信息，可知ac______0（选填“＜”“＞”或“＝”）； （2）求抛物线的解析式并在图中画出的图象； （3）抛物线的解析式为．设直线与抛物线、都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段的值． 【答案】（1） （2）， 描点，连线得， （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，以及二次函数性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据表格中的数据可得抛物线对称轴为直线，与轴交于点，且开口方向向上，故可得结论； （2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，在平面直角坐标系中画出图象即可； （3）根据函数图象结合一元二次方程根与系数的关系可得结论． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得抛物线对称轴为直线，与轴交于点，且开口方向向上， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把分别代入，得： ， 解得， 所以，直线的解析式为， 【小问3详解】 解：如图， 设点对应的横坐标分别为， ∴， ∴， 令，可得，它对应的两个根应为， ∴， 令，可得，它对应的两个根应为， ∴， ∴． 故答案为：1． 23. 如图1所示，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，在线段上找一点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）如图2所示，将绕点A逆时针旋转一定的角度，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）点D为的中点，，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点B，D，E恰好第一次在一条直线上，如图3，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可得：，，， ∴ ∴． （2） 仍然成立， 证明：设将绕点A逆时针旋转， 由旋转可得：，，， ∴ ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）设将绕点A逆时针旋转，由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； 由旋转可得：，，， （3）过点A作于F，先证明，得到，根据点D为的中点，得，根据等腰三角形求得，再根据勾股定理求得，继而求得，则可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作于F，如图， 由旋转可得：，， 当点B，D，E恰好第一次在一条直线上时，设绕点A逆时针旋， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B，D，E恰好第一次在一条直线上， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． （1）求k，b的值； （2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交AB于点E，，垂足为点F，当时，求点F的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点M，直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）或4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将代入解方程组即可； （2）过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，设，则，则，得到，可得或，得到为等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，则在中，由勾股定理得，故当时，此时，；当 时，此时，； （3）当时，则，设直线解析式为：，可求直线解析式为：，与直线联立得：，求得，那么；当时，则，同理可求，综上所述：的面积为或4． 【小问1详解】 解：当，， 解得：或， ∴， 当， ∴， 将代入 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：过点作轴于点G，过点E作于点H， 由（1）得一次函数解析式为：， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴，而， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，由勾股定理得， 又轴， ∴， ∴在中，由勾股定理得 ∴当时，此时， ∴； 当 时，此时 ∴， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：当时，则， 设直线解析式为：， 代入得：， 解得： ∴直线解析式为：， 与直线联立得：， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，同理可求， 综上所述：的面积为或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $