专题04 二次根式（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）

专题04 二次根式 课标要求 考点 考向 1、了解二次根式的概念，能从具体的式子中正确识别出二次根式。即学生需要知道形如√a（a≥0）的代数式称为二次根式，并且理解根号内的被开方数必须是非负数。 2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题。例如，在含有二次根式的表达式中，根据二次根式有意义的条件，确定字母的取值范围。 3、利用二次根式的性质和四则运算的法则进行简单的四则运算。这包括对二次根式进行加、减、乘、除等运算，以及在运算过程中运用二次根式的性质进行化简。 4、通过实际生活中的问题，引导学生用含根号的式子表示问题的结果，从而体会二次根式与实际生活的紧密联系。 5、在二次根式的学习中，学生需要通过对具体问题的分析和解决，逐步建立起对二次根式的抽象认识。 考点一 二次根式的概念和性质 考向一 二次根式的定义和性质 考向二 二次根式有意义的条件 考点二 二次根式的运算 二次根式的乘除 考向二 二次根式的加减 考向三 二次根式的混合运算 考向四 二次根式的应用 考点一 二次根式的概念和性质 易错易混提醒 （1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。 （2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。 ►考向一 二次根式的定义和性质 1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（  ） 化简： 甲同学：原式； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． ►考向二 二次根式有意义的条件 4．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 考点二 二次根式的运算 易错易混提醒 （1） 加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。 （2） 乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。 （3） 分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化 ►考向一 二次根式的乘除 7．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 8．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ． 9．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． ►考向二 二次根式的加减 11．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 13．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ►考向三 二次根式的混合运算 14．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 15．（2024·上海·中考真题）计算：． 16．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 17．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． ►考向四 二次根式的应用 18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 20．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 21．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 22．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 一、单选题 1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·模拟预测）估算的结果在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．（2024·河北秦皇岛·一模）若使算式“”的运算结果最小，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·模拟预测）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．连接，若，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 11．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，中，．D是斜边上一动点，从点B运动到点C停止，连接，过点A作，且使（点E在直线右侧），点F是中点，连接，设，，y随x变化的图象如图2所示，b为曲线最低点的纵坐标，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 二、填空题 13．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 14．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ． 15．（2024·山东泰安·一模）如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ． 16．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 17．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”） 18．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 19．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式有意义： ． 三、解答题 20．（2024·北京·模拟预测）计算：． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：． 22．（2024·全国·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 23．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式 课标要求 考点 考向 1、了解二次根式的概念，能从具体的式子中正确识别出二次根式。即学生需要知道形如√a（a≥0）的代数式称为二次根式，并且理解根号内的被开方数必须是非负数。 2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题。例如，在含有二次根式的表达式中，根据二次根式有意义的条件，确定字母的取值范围。 3、利用二次根式的性质和四则运算的法则进行简单的四则运算。这包括对二次根式进行加、减、乘、除等运算，以及在运算过程中运用二次根式的性质进行化简。 4、通过实际生活中的问题，引导学生用含根号的式子表示问题的结果，从而体会二次根式与实际生活的紧密联系。 5、在二次根式的学习中，学生需要通过对具体问题的分析和解决，逐步建立起对二次根式的抽象认识。 考点一 二次根式的概念和性质 考向一 二次根式的定义和性质 考向二 二次根式有意义的条件 考点二 二次根式的运算 二次根式的乘除 考向二 二次根式的加减 考向三 二次根式的混合运算 考向四 二次根式的应用 考点一 二次根式的概念和性质 易错易混提醒 （1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。 （2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。 ►考向一 二次根式的定义和性质 1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（  ） 化简： 甲同学：原式； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】解： ， ∴开始出现错误的同学是乙同学， 故选B． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，最简二次根式、掌握探究的方法是解本题的关键. ►考向二 二次根式有意义的条件 4．（2024·云南·中考真题）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴的取值范围是． 故选：B． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 6．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 考点二 二次根式的运算 易错易混提醒 （1） 加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。 （2） 乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。 （3） 分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化 ►考向一 二次根式的乘除 7．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 8．（2024·贵州·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 9．（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关 ►考向二 二次根式的加减 11．（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 12．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． ►考向三 二次根式的混合运算 14．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 15．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 16．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 17．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（）；（2），． 【分析】（）根据有理数乘法，二次根式的性质，二次根式的除法，零指数次幂运算法则进行计算即可； （）先算括号内的单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，最后算多项式除以单项式即可； 本题考查了实数的混合运算和整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式 ， ， 当时， 原式． ►考向四 二次根式的应用 18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 19．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 20．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键． 21．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 22．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 一、单选题 1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. 是最简二次根式； 故选D． 2．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 3．（2024·重庆·模拟预测）计算的结果为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选B． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，考查学生的运算能力，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算二次根式的减法，再计算除法即可． 【详解】 ， 故选：B． 5．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即可解答，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6．（2024·云南·模拟预测）估算的结果在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则，进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选B． 7．（2024·河北秦皇岛·一模）若使算式“”的运算结果最小，则“”表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算和大小比较，掌握二次根式的运算是解题的关键． 分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴〇表示的运算符号是“”时，运算结果最小， 故选：B． 8．（2024·辽宁·模拟预测）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的化简、二次根式的混合运算、完全平方公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． A将二次根式化简到最简即可；B根据加法法则运算即可；C根据计算即可；D结合完全平方公式和二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意． B、，故选项不符合题意． C、，故选项不符合题意． D、，故选项符合题意． 故选：D． 9．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．连接，若，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得知，由菱形的性质可得出，．设，则，由勾股定理解出，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：由作图知，， 四边形是菱形， ，， ， 设， ， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（舍去）， ，， 菱形的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线的尺规作图，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质， 勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定定理以及菱形的性质是解题的关键． 11．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，中，．D是斜边上一动点，从点B运动到点C停止，连接，过点A作，且使（点E在直线右侧），点F是中点，连接，设，，y随x变化的图象如图2所示，b为曲线最低点的纵坐标，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接并延长，过点A作，交于点H，过点F作于点G，连接，证明，得出，说明点E在过点C垂直的直线上，根据垂线段最短，得出当点E在点G处时，最小，即；当点D在点C处时，在点H处，此时最大，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接并延长，过点A作，交于点H，过点F作于点G，连接，如图所示： ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过点C垂直的直线上， ∵垂线段最短， ∴当点E在点G处时，最小， ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为，即； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点D在点C处时，在点H处，此时最大， ∵， ∴的最大值为，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，分别求出a、b的值． 12．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024． 故选：D． 二、填空题 13．（2024·吉林长春·二模）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知，求出解即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：3． 14．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是倒数的含义，二次根式的化简，先求解，再化简即可． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（2024·山东泰安·一模）如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ． 【答案】24 【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解． 【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形， ∴大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：， ∴剩余的面积为：， ∴阴影部分的面积是24， 故答案为：24． 16．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 17．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 首先求出、6的平方的值，比较出它们的平方的大小关系；然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出与6的大小关系即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 18．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据，列出不等式求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 19．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式有意义： ． 【答案】且． 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解决此题的关键． 二次根式有意义的条件：被开方数，分式有意义的条件分母，列出不等式即可． 【详解】解：由题意可得： ， ∴且． 故答案为：且． 三、解答题 20．（2024·北京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算等知识．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解： ． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查二次根式的运算及实数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．先计算二次根式乘法，化简二次根式，计算零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 22．（2024·全国·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化．根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$