精品解析：新疆阿克苏地区柯坪县柯坪湖州国庆中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试试卷 高二数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息. 2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内. 3.试卷整洁，字迹清晰. 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 6. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 8 B. 7 C. D. 14 7. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题（每小题6分，共24分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分） 9. 在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为 B. 点在平面Ozx面上 C. 点，的中点坐标是 D. 两点，间的距离为3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的，满足，则三点共线 B 空间中三个向量，若，则共面 C. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 D. 设是空间的一组基底，若，则不能为空间的一组基底 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 12. 已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 圆的标准方程为 C. 圆与轴的交点坐标为 D. 圆上一点到点距离的最大值为 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（共 4小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知向量分别是直线的方向向量，若，则___________． 14. 已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a=____. 15. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 16. 平面内非零向量，，，有，，且，则的最大值为______． 四、解答题（本题共 6 小题，共 66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 三角形的三个顶点是． （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； （3）求经过两边和中点的直线的方程． 18. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. （1）用表示，并求EF的长； （2）求与夹角的大小． 19. 已知平面，四边形为正方形． （1）证明： （2）求与平面所成角的正弦值． 20. 已知△ABC三个顶点坐标分别为，线段AC的垂直平分线为l. （1）求直线l的方程; （2）点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标. 21. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 22. 在棱长为的正方体中，求 （1）直线与平面所成的角； （2）求平面与平面的距离； （3）求三棱锥外接球的表面积； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期中考试试卷 高二数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息. 2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内. 3.试卷整洁，字迹清晰. 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】已知直线经过和两点. 根据直线斜率的计算公式（其中和为直线上两点的坐标）， 所以, 因为直线的斜率（为倾斜角），已知，即. 又因为倾斜角，在这个区间内，满足的. 故选：B. 2. 已知空间向量，化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算即可求解. 【详解】， 故选：. 3. 设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的共面和空间基底的条件即可解答. 【详解】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底； B选项，，故三个向量共面，不能作为基底； C选项，设， 向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意； D选项，，故三个向量共面，不能作为基底； 故选：C. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出两直线垂直时参数值，再根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件， 故选：B． 5. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可. 【详解】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是. 故选：D. 6. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 8 B. 7 C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可. 【详解】已知向量，因为， 所以，解得． 故选：B． 7. 已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可. 【详解】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 8. 已知两点的坐标分别为，两条直线和的交点为，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点的轨迹，再设，结合辅助角公式求出即可； 【详解】 由题意可得直线恒过定点，恒过定点， 且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直， 所以点在以线段为直径圆上运动， ，设， 则， 所以， 所以当时，即时，取得最大值，此时点的坐标为. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，共24分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分） 9. 在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为 B. 点在平面Ozx面上 C. 点，的中点坐标是 D. 两点，间的距离为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项，通过计算即可求出关于坐标平面的对称点的坐标；B项，通过点的坐标即可得出点在面上；C项，通过中点坐标公式即可得出结论；D项，根据两点间距离公式计算即可. 【详解】由题意， 对A，点 关于坐标平面对称点的坐标为，A错误; 对于B，点 的坐标为 0，则点 在平面上，B正确; 对于C，点与点，则的中点坐标是，C正确; 对于 D，两点，间的距离为：，D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的，满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若，则共面 C. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 D. 设是空间的一组基底，若，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可判断；根据向量的共面定理可判断. 【详解】若空间中的，满足，即， 根据向量共线的推论，则三点共线，正确； ，则共线，对于任意向量必与共面，正确； 对空间任意一点和不共线的三点，若， 又，则四点共面，正确； 因为看作立方体中三条相邻的棱，易知与不共面， 所以能作为空间的一组基底，错误； 故选：. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 直线恒过定点 D. 若，则直线与直线垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】A化斜截式判断；B特殊值判断即可；C化为，即可确定定点；D将参数代入直线方程即可判断. 【详解】A：将直线化为斜截式，有，即直线斜率为，错； B：当时，直线为也过第三象限，错； C：， 令，即直线过定点，对； D：由题设，，显然两线垂直，对. 故选：CD 12. 已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的标准方程为 C. 圆与轴的交点坐标为 D. 圆上一点到点距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D. 【详解】设圆心坐标为，由，得， 解得，故，故A正确； 所以，故圆标准方程为， 故B正确； 令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误； 圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确. 故选：ABD. 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（共 4小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知向量分别是直线的方向向量，若，则___________． 【答案】18 【解析】 【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解. 详解】， ， 所以存在实数，使得， 则，解得，，. . 故答案为：18. 14. 已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a=____. 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据两直线垂直得到方程，求出或2. 【详解】两直线垂直，故，解得或2. 故答案为：或2 15. 已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 16. 平面内非零向量，，，有，，且，则的最大值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意建立坐标系，求出各点的坐标，再结合的几何意义，求出对应点轨迹，利用圆的几何性质，即可求解结论. 【详解】 平面内非零向量，，，有，，. 故可建立如图所示的坐标系，则，，设， 因为， ∴， 对应点在以为圆心，为半径的圆上的点， 因为， 故的最大值为:， 故答案为:. 四、解答题（本题共 6 小题，共 66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 三角形的三个顶点是． （1）求边所在的直线方程； （2）求边上的高所在的直线方程； （3）求经过两边和中点的直线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1) 根据截距式即可求解； (2)根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，利用点斜式求解即可； (3)求出分别和的中点，再根据直线的两点式即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知， 则根据直线截距式可得，即； 【小问2详解】 设高所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由(1)知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由点斜式可得， 即； 【小问3详解】 设和中点分别为， 则由， 所以 则根据两点式可得直线方程为， 即. 18. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. （1）用表示，并求EF的长； （2）求与夹角的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. 【小问2详解】 由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 19. 已知平面，四边形为正方形． （1）证明： （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，，进而可得，可证结论． （2）求得的一个法向量，的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， ∵，， ∴ ∴； 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， ∵，， ∴，∴，令，则， ∴平面的一个法向量为； ∵ ∴， ∴与平面所成角的正弦值为. 20. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为，线段AC的垂直平分线为l. （1）求直线l的方程; （2）点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线AC的斜率，再确定l的斜率，最后应用点斜式写出直线方程； （2）应用点关于直线对称转化距离和，三点共线求出最小值，联立方程求出点的坐标. 【小问1详解】 因为直线AC的斜率为，所以直线l的斜率为. 因为AC的中点为，所以直线l的方程为，即. 【小问2详解】 点A与点C关于直线l对称，又点P在线段AC垂直平分线上， 所以，当点P位于直线BC与l交点处时，取最小值，则取最小值. 由得直线BC的方程为，即， 联立方程，解得， 所以点P的坐标为. 21. 已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. （1）求圆C的方程； （2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）设，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解. 【小问1详解】 设圆C方程：， 由已知，解得， ∴圆C的方程为. 【小问2详解】 设点，. ∵， ∴. 整理得，， ∵点B在圆C上，∴， ∴点M的轨迹方程为. 22. 在棱长为的正方体中，求 （1）直线与平面所成的角； （2）求平面与平面的距离； （3）求三棱锥外接球的表面积； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【小问1详解】 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 【小问2详解】 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. 【小问3详解】 根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$