精品解析：广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量检测数学试题

2024-2025学年第一学期高二期中学业质量检测试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 2. 直线的方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 4. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 5. 设，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3 6. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 10. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数据的平均数5，则数据的平均数为_______. 13. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 16. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率； （2）求这3人都参加市知识竞赛的概率； （3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 17. 某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图： （1）求图中的值； （2）从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率； （3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数） 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）证明：平面； （2）当为何值时，的长最小并求出最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二期中学业质量检测试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（  ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】B 【解析】 【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案. 【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42， 因为，所以第75百分位数为. 故选：B. 2. 直线的方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可. 【详解】直线的斜率为，所以方向向量是. 故选：A. 3. 装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 4. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 5. 设，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直、平行的坐标表示求出参数，再利用向量运算及模的坐标表示求解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，则，， 所以. 故选：D 6. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得. 【详解】在平行六面体中，E为BC的中点， 所以. 故选：B 7. 在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个独立事件及对立事件来解决问题. 【详解】此时灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合， 由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮， 而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合， 所以灯亮的概率为. 故选：D. 8. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 点到直线的最大距离为 D. 直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；选项B，利用，求得，即可求解；选项C，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项D，由题知，即可求解. 【详解】对于选项A，因为与互斥，则，所以选项A错误， 对于选项B，与相互独立，则，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，所以选项C正确， 对于选项D，因为发生时一定发生，所以，则，所以选项D错误， 故选：BC. 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数据的平均数5，则数据的平均数为_______. 【答案】17 【解析】 【分析】根据样本平均数公式计算结果. 【详解】由条件可知， 那么 . 故答案为： 13. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 14. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为______. 【答案】37 【解析】 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【小问1详解】 ∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 【小问2详解】 ∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 16. 第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响． （1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率； （2）求这3人都参加市知识竞赛的概率； （3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）)计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式可求得所求事件的概率； （3）计算出3人中有两人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率； 【小问1详解】 由题意可得：3人全通过初赛的概率为， 所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为； 【小问2详解】 甲参加市知识竞赛的概率为， 乙参加市知识竞赛的概率为， 丙参加市知识竞赛的概率为， 所以这3人都参加市知识竞赛的概率为； 【小问3详解】 由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛， 记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件， 则. 17. 某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图： （1）求图中的值； （2）从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率； （3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数） 【答案】（1） （2） （3）分 【解析】 【分析】（1）利用频率和为可构造方程求得的值； （2）根据分层抽样原则可确定分数在和的人数，采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果； （3）分析可知所求为样本数据的中位数，根据频率分布直方图估计中位数的方法即可求得结果. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 原始分在和的频率之比为， 抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为； 则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件； 其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件； 人均在的概率. 【小问3详解】 由题意知：等级排名占比为， 则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）； ，， 中位数位于之间，设中位数为，则，解得：， 原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面； 所以平面； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理知平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面； （2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）假设存在，根据三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连结，， 因为，所以； 又因为平面，平面平面， 所以平面； 因为平面，所以； 因为，所以； 如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， 设平面的法向量为，则 即， 令，则； 所以； 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设是棱上一点，则存在使得． 因此点，． 因为平面，所以平面当且仅当， 即，解得． 所以在棱上存在点使得平面，此时． 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用． 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）证明：平面； （2）当为何值时，的长最小并求出最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，所以，. 则，易知平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，所以平面. （2）时，最小为 （3） 【解析】 【分析】（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间两点间的距离公式可求得的最小值及其对应的的值； （3）写出点、的坐标，利用空间向量法可求出平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，其中. ， 当时，最小，最小值为. 【小问3详解】 解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短， 此时、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $